Некоторые приёмы обучения решению задач в школьном курсе математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Чалтырская средняя общеобразовательная школа №1

Мясниковского района Ростовской области

НЕКОТОРЫЕ ПРИЁМЫ

ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

МАТЕМАТИКИ

Учитель математики –

Килафян Аракси Хевондовна

2013г.

* * *

Обучение математике может происходить только при активной мыслительной деятельности учащихся. И важная роль при этом отводится задачам. Это важнейшее средство формирования у школьников системы основных математических компетенций, являющееся ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития. Психологами установлено, что при отыскании способов решения задачи у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки.

Поиск решения задачи осуществляется, в основном, с помощью аналитическо-синтетического метода. Здесь выделяем три этапа рассуждения:

предполагаем, что задача решена;

посмотрим, какие из этого можно извлечь выводы;

сопоставляя полученные выводы, пытаемся найти способ решения задачи.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В V – VI КЛАССАХ

Решение текстовых задач является одним из основных видов учебной деятельности на уроках математики в V – VI классах. На этом этапе у школьников развивается логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование и т.п.

Но решение текстовых задач вызывает у учащихся большие затруднения. Главная причина – неумение анализировать условие задачи, т.е. изучать его на основе разложения, расчленения на отдельные части.

Рассмотрим несколько примеров осмысления условия задачи, вычленения данных и искомых величин и установления взаимосвязей между ними.

В V – VI классах анализ условия проводится устно, сопровождается краткой записью или графической интерпретацией. Удачно построенное краткое условие наталкивает ученика на путь решения, а возникающая иногда необходимость переформулировать условие, представить его в удобном для работы виде является, по существу первым шагом решения.

Задача. Месячная заработная плата мамы 16500 рублей, что на 7800 рублей меньше папиной заработной платы. Сколько денег они получают вместе за месяц?

В процессе обсуждения переформулируем условие задачи, приведём к более привычному для детей виду, чтобы эталоном сравнения служила не папина зарплата, а мамина:

М – 16500 р.

П– ? на 7800 р. больше

Встречаются задачи, решение которых не облегчается от краткой записи условия, так как она либо вносит путаницу, либо требует слишком много времени. В таких случаях достаточно устно обсудить условие. Например:

Задача. При покупке 5,6 кг груш Нина с 500 рублей получила сдачи 220 рублей. Лена же за 7, 2 кг яблок уплатила на 28 рублей меньше, чем Нина за все груши. Поставь разумные вопросы и реши задачу.

Аналогия – наиболее доступный приём мышления детей этого возраста. Например, решим с классом задачу №647 (6 класс, «Математика», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2011).

Девочка прошла на лыжах 300 м, что составляло всей дистанции. Какова длина дистанции?

Предложим ученикам прочитать задачи № 648, №649 и №681. Устанавливаем, что они «слово в слово» похожи с предыдущей задачей. Одну из них решаем в классе самостоятельно, две другие задаются на дом.

Способ «От простого – к сложному»

Первая ступень

Учащимся предлагается по таблице составить и решить задачу. Решение записываем в виде выражения 5*2 + 4*3.

Вторая ступень

Теперь каркас предыдущей задачи надо дополнить новыми данными. Например:

«Площадь первого участка 207,5 га, а площадь второго га 17 га больше. Сколько пшеницы собрали с обоих участков, если с каждого гектара первого участка собрали 32 ц, а с каждого гектара второго участка – 28 ц?»

И как бы ни усложнялась задача, у ребёнка есть схема-формула:

Площадь I

Урожайность II

Урожайность I

Площадь II

ПлощадьII

Которая направляет его действия по решению задачи.

Использование игровых моментов на уроке

На урок пришли сказочные герои. Пришли, чтобы научить пятиклассников решать такие задачи, как эта: «Два мальчика ловили рыбу. Один из них поймал в 3 раза больше другого. Сколько рыбок поймал каждый, если вместе они выловили 12 рыб?»

Берём на урок маски лисы Алисы и кота Базилио. Эти герои принесли в класс сказку с Поля чудес.

Задача-сказка. В лунную ночь на нашем Поле чудес хорошо растут пряники. В одну из таких ночей отправились мы за пряниками. Базилио набрал целый короб, а Алиса – втрое больше. Сосчитайте, сколько собрал каждый из нас, если дома, при подсчёте оказалось, что всего собрано 48 пряников.

В нимание учеников привлечено. Маски, надетые на руки учителя, изображают героев сказки. Они наклоняются, «собирая пряники», носят короба (кубики). Дети показывают, в каких коробах заключены 48 пряников. Потом зарисовываем условие задачи

Б

48пр.

А

Итеперь уже никто не скажет, что 48 надо делить на 3.

Эта игра требует дополнительного времени, но эти затраты окупаются пониманием и заинтересованностью учеников.

Задачи «из жизни»

В процессе обучения решению задач немаловажное значение имеет и то, хочет ли ученик решать задачу. Поэтому важно подобрать такие задачи, которые у учеников вызывали бы желание решать их.

Например, задачу: «Дочери сейчас 10 лет, а матери 36. Через сколько лет мать будет старше дочери вдвое?» можно перефразировать, адресуя каждому конкретному школьнику:

«Тебе, Саша, 11 лет, твоей маме 30 лет. Через сколько лет твоя мама будет вдвое старше тебя?»

И вряд ли найдётся ученик шестого класса, который не захочет её решать.

При изучении темы «Деление с остатком» в 5 классе наряду со стандартной задачей «Найти остаток от деления 365 на 7» можно предложить учащимся следующие вопросы:

Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

В 2010 году было 53 субботы. Какой день недели был 1 января 2011 года?

В шестом классе после изучения темы «Разложение на простые множители» можно рассмотреть такую задачу:

«Ученикам двух шестых классов выдали 469 учебников. Каждый получил одинаковое количество книг. Сколько было шестиклассников и сколько учебников получил каждый из них?»

Особой дидактической ценностью обладаютпровоцирующие задачи. Это так называемые задачи-ловушки, условия которых содержат упоминания, указания, намёки или другие побудители, подталкивающие учащихся к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа.

Эти задачи служат действенным средством предупреждения различного рода заблуждений или ошибок школьников. Попадая в заранее подготовленную ловушку, ученик испытывает сожаление и досаду от того, что не придал особого значения тем нюансам условия, из-за которых он угодил в неловкое положение. Простое сообщение о том, что учащиеся допускают в заданиях такого-то рода ошибки, несравнимо менее действенно. Ведь оно не является для конкретно взятого ученика личностно значимым, так как каждый из учащихся наивно полагает, что в число неудачников сам он не попадёт.

Совершая ошибку на глазах учителя и учащихся, ученик испытывает сильнейшее впечатление, надолго запоминает ошибочные действия и в дальнейшем на подсознательном уровне остерегается их.

Такие задачи способствуют воспитанию критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес школьников к занятиям математикой.

Рассмотрим некоторые примеры провоцирующих задач.

Сколько цифр потребуется, чтобы записать 12-значное число?

С колько вертикальных и сколько горизонтальных отрезков изображено на рисунке?

Какое простое число следует за числом 200?

Что больше: число а или число 2а?

Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько км пробежала каждая лошадь?

У палки 2 конца. Если один из них отпилить, то сколько концов получится?

На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?

Сколько получится десятков, если 2 десятка умножить на 3 десятка?

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ

Рассмотрим проблему поиска решения текстовых задач, решаемых с помощью составления уравнений или их систем. Эти задачи имеют важное методическое и прикладное значение.

Приёмы аналитического поиска решения текстовых задач (как и любых других) состоят из двух частей:

анализ текста задачи;

поиск способа решения задачи и составление плана её решения.

Рассмотрим пример.

Задача №554 (8 кл., «Алгебра», Ш.А.Алимов и др.)

Мастерская в определённый срок должна выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше, чем предполагалось, и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

После чтения задачи проводится анализ.

Какие величины содержатся в задаче?

Как связаны между собой производительность труда, время и объём выполненной работы?

Сколько можно выделить в задаче различных ситуаций (событий, случаев, фактов)?

Какие величины известны в каждой ситуации?

В каком случае производительность мастерской больше и на сколько?

В каком случае время работы мастерской меньше и на сколько?

Какая неизвестная величина является в задаче искомой?

Выполнив такой анализ, можем составить по условию задачи следующую таблицу

Если ученик самостоятельно может составить такую таблицу, значит, он усвоил условие и может самостоятельно приступить к поиску её решения.

Таблица является моделью поиска решения задачи. Для этого вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины (в зависимости от выбора стратегии решения задачи).

Тогда первоначальная таблица заполняется далее и превращается в таблицу поиска решения задачи.

Исходя из модели поиска решения задачи, можно записать неравенство:

на 30, откуда получаем уравнение .

Поиск решения задачи закончен.

Задача №108 (1) (7 кл., «Алгебра», Ш.А.Алимов и др.)

В первом мешке было 50 кг сахара, а во втором – 80 кг. Из второго мешка взяли сахара в 3 раза больше, чем из первого, и тогда в в первом мешке сахара осталось вдвое больше, чем во втором. Сколько кг сахара взяли из каждого мешка?

Анализ задачи позволяет выполнить запись условия в виде таблицы.

Вводим обозначение искомой величины, и вопросы, обозначенные в табличной записи, заменяются соответствующими выражениями, т.е. заполняется таблица поиска решения задачи.

Модель поиска решения задачи даёт уравнение 50-х = 80-3х. Поиск решения задачи закончен.

Эти примеры позволяют сформулировать обобщённый приём аналитического поиска решения текстовых задач. Он состоит в следующем.

Выполнить анализ задачи, выявив:

названия величин, содержащихся в задаче;

функциональную связь между этими величинами;

количество ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;

известные и неизвестные элементы в каждой ситуации;

связь между соответствующими неизвестными величинами;

искомую (искомые величины).

Оформить табличную запись данных и неизвестных величин в каждой ситуации и сравнить между собой соответствующие значения неизвестных величин, используя знаки равенства, неравенства, арифметических действий.

На основе табличной записи текста задачи построить модель поиска решения задачи, для этого:

Записать обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;

Использовать установленные зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин и основное отношение, реализованное в задаче.

Выписать, пользуясь моделью поиска, получившееся уравнение.

Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Остановимся на методике применения аналитико-синтетического метода к поиску решения геометрических задач на построение.

Задача 1.

Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Д ано: АВС – вписан.

АВ=ВС=8 см,

АВС=120°.

Найти: d_опис.

Анализ.

ОВ – радиус описанной окружности.

d=2r=2ОВ, ОВ неизвестно. Выполненный чертёж по условию задачи позволяет выдвинуть предположение о том, что радиус ОВ описанной около равнобедренного треугольника окружности целесообразно искать, исходя из подобия прямоугольных треугольников АВД и ОВЕ ( ОВЕ – общий); т.к. ОВЕ АВД, то , откуда:

где ВЕ и ВД неизвестны.

ВЕ= АВ, где АВ неизвестно.

ВД= АВ, т.к. в прямоугольном АВД В=60°,А=30°.

Поиск решения данной задачи закончен.

Здесь обращаем внимание на то, что неизвестно в каждой формуле, что надо искать. Например, обнаружив на первом шаге анализа, что ОВ неизвестно, мы подбираем для его отыскания необходимые формулы. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока все неизвестные величины будут выражены через известные. Для того, чтобы решить задачу, достаточно осуществить обратный переход от четвёртого действия к первому.

Задача 2.

Определить объём правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен α, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R.

Д ано:SABC – прав.треуг.пирамида,MS – радиус окруж., описанной около бок.грани, MS=R,.

Найти: V_пир.

Анализ:

Искомое находят по формуле . Выполним аналитический поиск решения задачи. С этой целью запишем формулу объёма пирамиды в обозначениях нашего рисунка, вычислив площадь правильного треугольника по формуле . Имеем:

, где BCи OSнеизвестны.

(по теореме синусов), где SMи известны.

гдеSB и OB неизвестны.

, где BEинеизвестны.

BE=, где ВС неизвестно, но определено выше (п.2).

, где известен.

, где ВС неизвестно, но определено выше (п.2).

Поиск решения задачи завершён.

Рассмотрим ещё один путь поиска решения этой задачи.

, где BCи OSнеизвестны.

гдеSB и OB неизвестны.

SB=2SN, где SN неизвестно.

SN=SMcos BSE,гдеSMизвестно,BSEнеизвестен.

, где известен.

, где ВС неизвестно.

ВС=2ВЕ, где ВЕ неизвестно.

, где SB и неизвестны, но определены на 3, 4 и 5-м шагах.

Поиск решения задачи закончен.

Для математического развития учащихся полезнее решать одну задачу несколькими способами и не жалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. После нахождения очередного метода решения задачи учащиеся получают моральное удовлетворение. Общие методы решения становятся прочным достоянием учащихся, но вместе с этим у них воспитывается умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить её проще, красивее.

Рассмотрим ещё один пример.

Задача 3.

Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны к боковым сторонам.

Д ано:ABCD – трапеция, АВ=CD, ВС=10 см, АD= =26см, .

Найти: S_трап.

Выполним аналитический поиск решения этой задачи:

, где ВС и АDизвестны, а ВЕ неизвестно.

, где АВ и АЕ неизвестны.

АВ²=АЕ , где АЕ неизвестно, АD – известно.

АЕ= ,где ВС и АD известны.

Поиск решения задачи закончен.

Рассмотрим другой путь поиска решения задачи.

, где ВС и АDизвестны, а ВЕ неизвестно.

ВЕ²=АЕ , где АЕ и ЕD неизвестны.

АЕ= ,где ВС и АD известны.

ED=AD-AE, где AD известно, AE неизвестно, но было определено в п.3.

Поиск решения задачи завершён.

Обобщая, можно сказать, что анализ поиска решения геометрических задач на вычисление содержит следующую последовательность действий:

Записать формулу (в обозначениях чертежа) для нахождения искомых задачи.

В этой формуле выявить неизвестные величины.

Для каждой неизвестной величины, входящей в исходную формулу, подобрать формулы для нахождения этих величин.

Процесс поиска завершить, когда:

для последовательности неизвестных величин, участвующих в поиске решения задачи, будут указаны формулы для их нахождения;

для последней неизвестной величины указана формула, в которой величины определяются данными задачи.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

Задачи повышенной трудности разнообразны и по тематике, и по форме, в которой они поставлены, и по способам их решения, и по возлагаемым на них учебно-воспитательным функциям.

Основная часть таких задач решается на кружковых и факультативных занятиях. Но есть достаточно задач, которые можно решить и на уроке в хорошо подготовленном классе.

Наибольшие затруднения у учащихся вызывают решения так называемыхнестандартных задач. Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Но понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной в зависимости от того, знаком решающий со способами решения задач такого типа или нет.

Даже при решении несложной задачи учащиеся очень много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи.

Так, если учащиеся затрудняются в решении задачи:

«Найдите все решения уравнениях²+5у²+4ху+2у+1=0»,

То можно предложить следующие вспомогательные задачи:

(х+1)²+у²=0 /х=-1,у=0/

х²-10х+25+у²=0 /х=5, у=0/

х²-4х+у²+2у+5=0 /х=2, у=-1/

Другой пример. Если учащиеся затрудняются решить с помощью составления уравнения задачу

«К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число»,

То в качестве вспомогательных задач целесообразно предложить следующие:

К числу х приписали справа цифру4. Представьте полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число; б) трёхзначное число.

К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число; б) трёхзначное число.

Частое использование одного и того же метода при решении задач иногда приводит к привычке, которая становится вредной. У решающего задачу вырабатывается склонность к психологической инерции. Поэтому, как бы ни казался учащимся простым найденный способ решения задачи, всегда полезно попытаться найти другой способ, который обогатит опыт решающего задачу. Кроме того, в некоторых случаях получение того же результата другим способом служит лучшей проверкой правильности результата. Рассмотрим задачу:

«Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?»

Наряду с наиболее естественным способом решения задачи – сравнением разностей и - можно предложить и более красивое решение. Рассмотрим среднее арифметическое двух заданных дробей (середину определяемого им отрезка) и сравним его с единицей. Имеем: , т.е. . Таким образом, единица ближе к левому концу отрезка, т.е. к правильной дроби.

* * *

Решение задач является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приёмов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приёмов, обобщение данной задачи – всё это даёт возможность школьникам учиться на задаче. Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определённый опыт, сформировать умения самостоятельно и творчески применять полученные знания.

Наряду с вышесказанным, возможно эффективное использование задачи в воспитательных целях. Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/26101-nekotorye-prijomy-obuchenija-resheniju-zadach