Использование чётности при решении задач на олимпиаде по математике

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЁТНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ОЛИМПИАДЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

Однажды на перемене семиклассник предложил друзьям и учителю литературы задачу: Даны числа 1,3,5,9, 11,13, 17,19. Выберите три из них так, чтобы они в сумме составили 30. Ученики стали решать задачу методом проб. Ничего не получалось. Когда я вошла в кабинет, ученики задали это упражнение и мне. Ясно, что эта задача не имеет решения. Надо было это просто доказать, например, методом от противного. Сумма двух нечётных чисел всегда чётное число, а сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом, и тридцати не может быть равна.

Как-то девятиклассникам предложила упражнение: между цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9 вставить знаки + или – так, чтобы в результате получился нуль. Тех, кто это сделает, обещала поощрить пятёркой. Ученики искали решение до конца рабочего дня. А после окончания уроков подошли спросить: «А есть ли решение?». «Если решения нет, то докажите». Доказать ребята не сумели. А доказательство такое: сумма всех цифр равна 45. Если перед какой-то цифрой, например а, поставить знак минус, то число 45 уменьшится на 2а. Тогда 45-2а будет нечётным числом. Ясно, что сколько бы минусов мы не вставляли, нуль в ответе не получится.

Я стала предлагать ученикам задачи, в которых при решении используется чётность и нечётность чисел. Много таких задач я нашла в статье Н.Х.Агаханова, О.К.Подлипского, Д.А.Терёшина в журнале «Математика в школе» №7,2010г. Мне хочется с ними поделиться.

Задача 1. В 6 классе обучается 20 учеников. В первой четверти они по трое дежурили по классу. Могло ли так получиться, что в некоторый момент каждый из учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу?

Р е ш е н и е. Предположим, что такое возможно. Рассмотрим любого ученика. В первое своё дежуство он отдежурил с двумя одноклассниками. Во второе— с двумя другими т.д. Так как у него 19 одноклассников (нечётное число), то после девятого раза останется ровно один одноклассник, с которым он не отдежурил. Полученное противоречие приводит к ответу: не могло.

О т в е т. Не могло.

Задача 2. Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти страниц. У него получилось число 2016. Когда об этом узнал Коля, он заявил, что Вася ошибся. Объясните, почему Коля действительно прав.

Р е ш е н и е. На каждом из вырванных листов—две страницы. Номер одной из них чётный, а другой нечётный. Поэтому в сумме номеров всех вырванных страниц 25 чётных чисел и 25 нечётных. Тогда их сумма нечётна. Следовательно, она не может равняться чётному числу 2016.

Задача 3. Два натуральных числа в сумме дают 2017. Вася увеличил каждое из них на 50 и перемножил полученные числа. Он получил, что произведение также оканчивается на 2017. Докажите, что Вася ошибся.

Ре ш е н и е. Если сумма двух натуральных чисел равна 2017, то одно из них чётное, а другое нечётное. Если к чётному числу прибавить 50, получится чётное число. Аналогично, если к нечётному числу прибавить 50,то получится нечётное число. А произведение чётного и нечётного чисел должно быть числом чётным и поэтому не может оканчиваться на 2017.

Задача 4. Сумма пяти чисел равна 200. Докажите, что их произведение не может оканчиваться на 1999.

Р е ш е н и е. Если произведение чисел оканчивается на 1999, оно нечётно. Поэтому все пять чисел нечётны и их сумма не может быть чётным числом 200.

Задача 5. В клетках квадратной таблицы 10*10 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁ ,S₂,…,S₁₀–суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁,S₂,…,S₁₀любые два соседних числа различаются ровно на 1?

Р е ш е н и е. Предположим, что требуемая расстановка чисел достигнута. Тогда, так как суммы чисел, стоящих в соседних столбцах, отличаются на 1, то в пяти столбцах сумма чисел чётна, а в пяти других нечётна. Но 1+2+…+100=5050—чётное число. Противоречие.

Ответ. Не могло.

Задача № 6. На доске написаны числа от 1 до 10. Разрешается стереть любые два числа х и у и вместо них написать на доску числах-1 и у+3. Могли ли через некоторое время на доске оказаться числа 2, 3, …, 9, 10, 2002?

Р е ш е н и е. Допустим, что мы смогли получить на доске числа 2, 3, …, 9, 10, 2002. Заметим, что после каждой операции сумма чисел увеличивается на 2. Изначально она была равна 55. Значит, после каждой операции сумма чисел, написанных на доске будет нечётной. Но 2+3+…+9+10+2002=2056 чётна. Противоречие. Ответ. Не могли.

Задача № 7. Каждый из трёх человек написал 100 различных слов. После этого слова, встречающиеся не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного осталось 45 слов, у другого—68, у третьего—54. Докажите, что по крайней мере одно слово выписали трое.

Р е ш е н и е. Допустим, каждое вычеркнутое слово написали ровно два человека. Так как они оба его вычеркнули, то число вычеркнутых записей чётно. Но 100+100+100=300 чётное число. Поэтому должно быть чётным и число оставшихся записей. Но 45+68+54=167—нечётное число. Противоречие.

Задача № 8. Можно ли на рёбрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному на каждом ребре) так, чтобы сумма чисел на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины, была одной и той же для каждой вершины куба?

Р е ш е н и е. Предположим, что мы нашли такую расстановку и сумму чисел в любой тройке рёбер, выходящих из одной вершины, равную N, тогда по всем вершинам сумма равна 8N. В то же время при таком суммировании каждое число учитывается дважды, так как каждое ребро куба входит в две тройки рёбер. Поэтому 8N=2(1+2+…+12)=12*13,откуда N=39:2—не целое, что невозможно. Противоречие.

Ответ. Нельзя.

Задача № 9. На доске написано число 123456789. У написанного числа выбираются две соседние цифры, если ни одна из них не равна нулю, из каждой вычитается по единице и выбранные цифры меняются местами (например,123456789—123436789—…). Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

Р е ш е н и е. Заметим, что при указанных операциях на нечётных местах всегда будут стоять нечётные цифры, а на чётных—чётные, так как при вычитании 1 чётность чисел меняется на противоположную, а перестановка их местами приводит к исходной чётности. Значит, на всех нечётных местах стоит цифра не меньшая 1, и потому наименьшим может быть только число 101010101. Осталось показать, что это число может быть получено указанными операциями. Сначала превратим в 01 последние две цифры за 8 шагов. Затем за 6 шагов пару 67 превратим в 01, за 4 шага пару 45 в 01, за 2 шага пару 23 в 01.

Ответ. 101010101.

Задача № 10.Произведение трех натуральных чисел оканчивается 2002. Докажите, что их сумма не может равняться 9999.

Если сумма трех натуральных чисел равна 9999,то либо они все нечётны (и тогда их произведение оканчивается на нечётную цифру), либо два из них чётны, а одно нечётно. Тогда их произведение делится на 4, а число, с 02 на конце на 4 не делится.

Задача № 11. Вася написал на доске несколько целых чисел. Петя подписал под каждым из Васиных чисел его квадрат. После чего Маша сложила все числа, написанные на доске. Она получила 2017. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.

Р е ш е н и е. Предположим, что никто не ошибся. Вася написал числа х₁, х₂, …, х_n. Тогда Петя должен был написать числа х₁², х₂², …, х_n². Маша должна была подсчитать сумму S= х₁+х₂+ …+х_n+х₁²+х₂²+…+х_n²= (х₁+ х₁²)+(х₂+ х₂²)+…+(х_n+ х_n²). Заметим, что если число а—целое, то число а²+а=а(а+1)—чётное. Значит, S—сумма чётных чисел и не может равняться 2017.

Задача № 12. На доске написаны четыре числа. Разрешается выбрать любые два из них, прибавить к ним по единице и записать полученные числа вместо выбранных. Можно ли с помощью нескольких таких операций из чисел 1, 9, 9, 4 получить четыре равных числа?

Р е ш е н и е. После n операций из чисел 1, 9, 9, 4 получаются четыре числа, сумма которых равна 2n+23, то есть нечётна. Если бы все числа были равны а, то их сумма была бы 4а, то есть была бы четной.

Ответ. Нельзя.

Задача № 13. Можно ли числа 1, 2, 3, …, 20 расставить в вершинах и серединах рёбер куба так, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось полусумме чисел на концах этого ребра?

Р е ш е н и е. Пусть искомая расстановка существует. Тогда числа, стоящие в соседних вершинах куба, должны быть одной чётности, так как число, равное их полусумме, является целым. Отсюда следует, что все числа в вершинах куба одной чётности. Но числа 1 и 20 не могут быть полусуммами никаких двух чисел от 1 до 20. Поэтому, числа разной чётности 1 и 20 должны стоять в вершинах куба. Противоречие. Ответ. Нельзя.

Задача № 14. Хромая ладья (это ладья, которая может ходить только по горизонтали или только по вертикали ровно на одну клетку) обошла доску 10*10 клеток, побывав на каждой клетке ровно по одному разу. В первой клетке, где побывала ладья, запишем число 1,во второй 2, в третьей 3, и т. д. до 100. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в двух соседних по стороне клетках, делится на 4?

Р е ш е н и е. Рассмотрим шахматную раскраску доски 10*10. Заметим, что из белой клетки своим ходом хромая ладья попадает в чёрную, а из чёрной в белую. Пусть ладья начала обход с белой клетки. Тогда 1 будет стоять в белой клетке, 2 в чёрной, 3 в белой, …, 100 в чёрной, то есть в белых клетках будут стоять нечётные числа, а в чёрных чётные. Но из двух соседних по стороне клеток одна чёрная, а другая белая, то есть, сумма чисел, записанная в этих клетках, всегда будет нечётной и не будет делиться на 4.

Ответ. Не могло.

Задача № 15. На доске написаны 2017 нечётных чисел. Разрешается стереть два числа х и у и записать вместо них числа х+у и х*у. Могло ли добиться того, чтобы на доске осталось 2017 чётных чисел?

Р е ш е н и е. Если стираются два числа, среди которых есть нечётное, то среди вновь записанных также будет нечётное число. Действительно, если стёрты два нечётных числа, то их произведение будет нечётно. Если же стираются чётное и нечётное числа, то их сумма будет нечётным числом. Итак, поскольку изначально на доске были нечётные числа, то и после любого количества операций стирания и записи на доске будет хотя бы одно нечётное число. Поэтому добиться того, чтобы на доске осталось 2017 чётных чисел, невозможно.

Ответ. Нельзя.

Задача № 16.Натуральные числа p, q, r таковы, что числа p+q, q+r, r+p простые. Докажите, что среди чисел p, q, r есть равные.

Р е ш е н и е. Среди чисел p, q, r найдутся два одинаковой чётности, например, p и q, поэтому p+q чётное число. По условию это простое число. Поэтому p+q=2, откуда p=q=1.

Задача № 17. На доске нарисована таблица 9*9, в левом верхнем углу которой стоит число 1. Серёжа последовательно заполняет оставшиеся клетки таблицы числами по следующему правилу: он выбирает пару клеток А и В, имеющих общую сторону, таких, что клетка А уже заполнена, а клетка В нет, и в клетку В записывает одно из чисел 3х или х-2, если в клетке А записано число х. Когда Серёжа заполнил всю таблицу, он подсчитал сумму всех чисел, записанных в таблице. Мог ли он получить нуль?

Р е ш е н и е. Заметим, что если число х нечётное, то и число 3х и х-2 тоже нечётные. После заполнения всей таблицы в ней стоит 81 нечётное число. Но сумма нечётного числа нечётных чисел равна нечётному числу, то есть Серёжа нуль получить не мог.

Ответ. Не мог.

Задача № 18. На гранях восьми кубиков нарисованы кляксы: по одной кляксе на двух противоположных гранях кубиков, по две кляксы ещё на двух противоположных гранях кубиков и по три кляксы на двух оставшихся гранях. Из этих восьми кубиков сложили куб. Могло ли так оказаться, что число клякс на гранях полученного куба—шесть последовательных натуральных чисел?

Р е ш е н и е. Заметим, что противоположные грани кубиков разбиваются на пары: одна грань внутри большого куба, другая находится снаружи. Всего у нас 8*2*(1+2+3)=96 клякс. Значит, снаружи нарисовано 48 клякс. Однако, 48 не представляется в виде суммы шести последовательных натуральных чисел, поскольку среди этих чисел три чётных и три нечётных числа. Поэтому их сумма будет нечётным числом.

Ответ. Не могло.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/261326-ispolzovanie-chjotnosti-pri-reshenii-zadach-n