Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Автор: Дроздов Сергей, учащийся 10 класса МБОУ СОШ №42 г. Братска Иркутской области

Руководитель:Стремилова Светлана Анатольевна, учительматематики МБОУ СОШ №42 г. Братска Иркутской области

г. Братск, 2015 год

Аннотация.

В курсе математики изучаются различные методы решений уравнений и неравенств. Одним из них является функциональный, основанный на использовании свойств функции. В отличие от графического метода, знание свойств функции позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений и неравенств.

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………4

Цели задачи………………………………………………………………………...5

3. Использование понятия области определения функции………………………..6

4. Использование понятия области значений функции……………………………7

Оценка левой и правой части………………………………………………….8

5. Использование свойства монотонности функции…………………………….....9

6. Использование свойств четности и нечетности функций…………..................11

6. Заключение………………………………………………………………………..13

7. Литература………………………………………………………………………...14

Введение

При изучении математики в школе мы знакомимся с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена (ЕГЭ) задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционально-графического метода, вызывают у учащихся затруднения.

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяет актуальность курсовой работы. Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений или неравенств следует пытаться решать стандартным методом, достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований.

Цель: ознакомиться с нестандартными методами решения уравнений и неравенств, основанными на использовании свойств функции

Задачи:

изучить учебную литературу по данной теме

рассмотреть практические примеры по данной теме

создать учебное пособие для учащихся

Гипотеза: Применение функционального метода позволит учащимся 10 – 11 классов решать уравнения (неравенства) на сознательном уровне, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решения.

Использование понятия области определения функции

Областью определения функции y=f(x) называется множество значений переменной , при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнениеf(x)=g(x), где f(x)и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D1,D2. Тогда областьюDдопустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть D= . Ясно, что когда множество D пустое (D= ), то уравнение решений не имеет.

Пример 1. Решить уравнение. + =5

Решение.

ОДЗ:=>=>решений нет.

Ответ: решений нет.

Пример 2. Решить уравнение. + = - 1

Решение.

ОДЗ: =>=> х = 1

Проверка: при x = 1 + = - 1

Подстановкой убеждаемся, что служит решением данного уравнения.

Ответ: 1

Часто оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения).

Пример 3. Решить уравнение.

Решение.

Найдем пересечение областей определения функций в правой и левой частях уравнения:

( )=и ( )= .

Ограничим множествоD, учитывая, что левая часть уравнения неотрицательна, и, значит, такой же должна быть правая часть. Для этого нужно рассмотреть пересечение множестваD с множеством решений неравенства , то есть с множеством . Следовательно, достаточно рассмотреть уравнение на множестве . Подстановкой убеждаемся, что оба его элемента служат решением уравнения.

Ответ: ,.

Пример 4. Решить уравнение.

Решение.

ОДЗ:

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение.

Решение.

ОДЗ: решений нет.

Ответ: решений нет.

Пример 6. Решить уравнение. +

Решение. + =

Так как левая часть уравнения неотрицательна, тоx – 2 ≥ 0

Тогда │x – 2│ = x – 2

x – 2 + = x – 2

= 0

х = 1,- не удовлетворяет условиюx – 2 ≥ 0

х = 4

Проверка:при x = 4 +

Ответ:x = 4.

Использование понятия области значений функции

Областью значений функцииy=f(x) называется множество значений переменнойпри допустимых значениях переменнойx.

Функция y=f(x) называется ограниченной на данном промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число N > 0, что при всех значения аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство | f(x) | < N.

Пусть дано уравнениеf(x)=g(x), где f(x)и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D1,D2. Обозначим область изменения этих функций соответственно E1 и E2. Если x₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f()=g(), где f() – значение функции f(x) при x= , а g() – значение функции g(x) при x= . Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x)иg(x) имеют общие элементы (E1E2 ). Если же таких общих элементов множестваE1 и E2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Пример 7. Решить уравнение. + = -2

Решение.

+ ≥ 0 => решений нет

Ответ: решений нет.

Пример 8. Решить уравнение. = 2

ОДЗ: => х ≥0

тогда

Ответ: решений нет.

Пусть дано уравнениеf(x)=g(x).

Если f(x) 0,g(x)0, то решением уравнения является система:

Если функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем f(x)A, а функция g(x) ограничена на промежутке X снизу, причем g(x)A, то уравнениеf(x)=g(x) равносильно системе:

Пример9. Решить уравнение.

Решение.

1. ;

2. .

Пусть ,.

Так как , то

Следовательно, , то есть .

3.Так как , а , то данное уравнение равносильно

системе

Решая первое уравнение системы, получаем . Найденный корень удовлетворяет и второму уравнению системы.

Ответ:.

Пример 10.Решить уравнение. - =0

Решение.

-= -

1.f(x)=-;

2. g(x) = -

-0

-

Тогда равенство достигается, если

Из первого уравнения системы находим ,x =2.

x =2 удовлетворяет и второму уравнению.

x =2- решение системы и корень исходного уравнения.

Ответ:2.

Использование свойства монотонности функции

Функция называется возрастающей (убывающей) на данном числовом промежутке , если большему значению аргументасоответствует большее (меньшее) значение функции , то есть для любых и из промежутка таких, что , выполнено неравенство .

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числом промежутке, называетсямонотоннойна этом промежутке.

Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, используемых для установления характера монотонности функций и лежащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.

Теорема 1.Монотонная на промежутке функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

Теорема 2. Если функция возрастает (убывает) на промежутке и функция возрастает (убывает) на промежутке , то функция так же возрастает (убывает) на промежутке(C – произвольная постоянная).

Теорема 3. Если функция неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке , функция неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке ,, то функция так же возрастает (убывает) на промежутке.

Теорема 4. Если функция возрастает (убывает) на промежутке , то функция убывает (возрастает) на промежутке .

Теорема 5. Если функция - монотонна на промежутке и сохраняет на этом множестве знак, то функция на промежутке имеет противоположный характер монотонности.

Теорема 6. Если обе функции и возрастающие или обе убывающие на промежутке , то функция - возрастающая функция на промежутке. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то - убывающая функция на промежутке .

Сформулируем теоремы об уравнениях и неравенствах.

Теорема 7. Если функция монотонна на промежутке , то уравнение =C имеет на промежутке не более одного корня.

Теорема 8. Если функция монотонна на промежутке , то уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно на промежутке уравнению g(x)=h(x).

Теорема 9. Если функция возрастает (убывает) на промежутке , то неравенство равносильно на промежутке неравенству .

Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих неравенств.

Теорема 10. Если функция возрастает на промежутке , а убывает на промежутке , то уравнение имеет на промежутке не более одного корня.

Теорема 11. Если функция возрастает на промежутке , то уравнение f(f(x))=xравносильно на промежутке уравнению f(x)=x.

Пример 11. Решить уравнение.+= 18

Решение.

ОДЗ:x0

1.y(x)=+ - убывающая функция на промежутке -∞;0;

2.g(x) = 18 постоянная.

Следовательно, уравнение имеет не более одного корня в силу теоремы 7. Подбором находим x= -4.

Ответ:-4.

Пример 12. Решить уравнение.

Решение.

1. Так как функции,, возрастают на промежутке , то в силу теоремы 2 функциявозрастает на промежутке ;

2. - постоянная функция ;

3. Подбором находим. В силу теоремы 7, найденный корень единственный.

Ответ:.

Пример 13. Решить уравнение. = x- 1

1.y(x)= - убывающая функция на промежутке -∞;7;

2.g(x) = x - 1 возрастающая на промежутке (-∞; +∞) .

Следовательно, уравнение имеет не более одного корня в силу теоремы 10. Подбором находим x= 3.

Ответ:3.

Использование свойств четности и нечетности функций

Функция называется четной, если для любого значения , взятого из области определения функции, значение также принадлежит области определения и выполняется равенство .

Функция называется нечетной, если для любого значения , взятого из области определения функции, значение также принадлежит области определения и выполняется равенство .

Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.

Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение или неравенство , , где - четная или нечетная функция.

Чтобы решить уравнение , где - четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет , если это значение входит в область определения . Для четной функции значение проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

Чтобы решить неравенство , где - четная функция, достаточно найти его решения для (или для ). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток , где - числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток .

Чтобы решить неравенство , где - нечетная функция, достаточно найти решения для (или для ). Если нам известны промежутки знакопостоянства функции для (или для ), то легко записать промежутки знакопостоянства и для (или для ).

Пример 14.Решить уравнение.+

Решение.

1. f(x)= +- четная, возрастающая функция на (-∞; +∞) по теореме 1 четности и нечетности функции и 2 свойству монотонности;

2. g(x)=6 - постоянная

3. При x=2 левая и правая части уравнения равны. Так как функция в левой части уравнения - возрастающая функция, а в правой - постоянная, то уравнение имеет не более одного корня по теореме 7. Но в силу четности функций решением уравнения также будет x=- 2

Ответ: -2;2

Заключение

Изучив учебную литературу по данной теме, я ознакомился с нестандартными методами решения уравнений и неравенств, основанными на использовании свойств функции. В качестве практической части создал учебное пособие для учащихся. После изучения трансцендентных (показательных, логарифмических, тригонометрических) уравнений и неравенств я планирую продолжить работу теме.

Литература

1. Ковалева Г.И., Конкина Е.В. Функциональный метод решения уравнений и неравенств. М.: Чистые пруды, 2008.

2. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1991.

3. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М.:МЦНМО, 1997.

4. Шунда Н.Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств//Математика в школе, 1970, №3.

5. Марчевская Е.В., Марчевский И.К. Элементарная алгебра. Методы решения уравнений и неравенств. Учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2007.

6.ЧипышеваЛ.В. Иррациональные уравнения http://www.slideshare.net/ludmilka88888/2-2445869?next_slideshow=1

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/281418-funkcionalnyj-metod-reshenija-uravnenij-i-ner