Справочное пособие по математике

Справочное пособие по теме «Использование параллельного переноса вдоль оси при решении уравнений и неравенств,

содержащих параметр»

Разработала: Шавеко Алла Валерьевна

МБОУ Ляличская СОШ Суражского района Брянской области

учитель математики

Оглавление

Функции и их графики…………………………………………………….2

Построение графика функции, с использованием параллельного переноса вдоль оси ............................................................................6

Нахождение количества решений системы уравнений графическим способом…………………………………………………………………….7

Решение уравнений графическим способом……………………………8

Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр, с использованием параллельного переноса вдоль оси ………………………9

Функции и их графики

Задания для самостоятельной работы

Постройте график функции:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

Построение графика функции, с использованием параллельного переноса вдоль оси

Правило: для построения графика функции , где -постоянное число, надо перенести график на вектор вдоль оси ординат.

Например. Построить график функции .

Строим график функции .

Параллельным переносом графика на вектор (0;2) вдоль оси получаем.

Задания для самостоятельной работы.

Используя параллельный перенос вдоль оси , постройте график функции:

а) ;в) ;

б) ;г) .

Нахождение количества решений системы уравнений графическим способом

Пример 1. Сколько решений имеет система уравнений?

Решение. 1) Строим график функции .

2) Строим график функции .

3) Находим точки пересечения построенных графиков.

4) Отвечаем на вопрос задачи.

Ответ: два решения.

Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений?

Решение. 1) Строим график функции .

2) Строим график функции .

3) Находим точки пересечения построенных графиков.

4) Отвечаем на вопрос задачи.

Ответ: одно решение.

Решение уравнений графическим способом

Алгоритм решения:

1) Привести данное уравнение к виду .

2) Построить график функции .

3) Построить график функции в этой же системе координат.

4) Найти точки пересечения построенных графиков.

5) Ответить на вопрос задачи.

Пример. Решить графически уравнение .

Решение. 1) Приводим уравнение к виду :.

2) Строим график функции .

3) Строим график функции в этой же системе координат.

4) Находим точку пересечения построенных графиков: .

5) Отвечаем на вопрос задачи: .

Ответ:.

Задания для самостоятельной работы

Решите графически уравнения:

а) ;

б) .

Ответы: а) 0.25; б) -1;1.

Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр, с использованием параллельного переноса вдоль оси

Уравнения (неравенства) с параметром, решаемые с помощью параллельного переноса вдоль оси , делятся на три группы:

Уравнения (неравенства), сводимые к виду ( ), где - параметр.

Требования этих задач содержат слова: «при каких значениях параметра уравнение (неравенство) имеет заданное количество корней» («найти все значения параметра, при которых график функции пересекает ось абсцисс в нескольких различных точках»).

Алгоритм решения:

Привести уравнение (неравенство) к виду ().

Построить график функции и семейство прямых .

Используя графическую иллюстрацию, ответить на вопрос задачи.

Пример. Найдите все значения параметра , при которых график функции пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

Решение.

Переформулируем задание на язык уравнений: при каких значениях уравнениеимеет менее трех корней.

Приводим уравнение к виду .

Строим график функции и семейство прямых

,,

При выполнено , а при выполнено

Используя графическую иллюстрацию отвечаем на вопрос задачи: выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет менее трех корней? При .

Ответ:.

Задания для самостоятельной работы

а) Найдите все значения параметра , при которых график функции пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

б) Для каждого значения укажите число решений уравнения .

в) Для каждого значения параметра определите число решений уравнения .

г) Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных корня.

Ответы: а) (-3,5;1);

б) при - нет решений, при или- два решения, при -три решения, при -четыре решения;

в) при и - нет корней, при - три корня, при - четыре корня, при - два корня;

г) -1.

Уравнения (неравенства) вида ( ), где функция задает семейство прямых.

Требования этих задач содержат слова: «при каких значениях параметра уравнение (неравенство) имеет определенное количество корней» («найти все значения параметра, при каждом из которых функция имеет определенное количество нулей»).

Алгоритм решения:

Привести уравнение (неравенство) к виду (), где функция задает семейство прямых.

Построить график функции .

Построить график функции , где .

Осуществляя параллельный перенос построенной прямой, найти ситуацию, отвечающую требованию задачи.

Ответить на вопрос задачи.

Пример 1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно три корня?

Решение.

1. Приводим уравнение к виду , где функция задает семейство прямых: .

2. Строим график функции :.

3. Строим график функции , где .

Осуществляя параллельный перенос построенной прямой, находим ситуацию, отвечающую требованию задачи: при каких значениях параметра уравнение имеет ровно три корня?

Уравнение имеет ровно три корня в двух случаях: если прямая проходит через точку и если прямая проходит через точку. Находим: при каком значении параметраточка принадлежит прямой _.

Находим: при каком значении параметра точка принадлежит прямой _.

Уравнение имеет ровно три корня при и при .

Ответ:,.

Пример 2. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

Решение.

Приводим уравнение к виду , где функция задает семейство прямых: .

Строим график функции :.

Строим график функции , где .

Осуществляя параллельный перенос построенной прямой, находим ситуацию, отвечающую требованию задачи: при каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Уравнение имеет единственное решение при и в точке касания. Найдем значение параметра в точке касания. Для этого:

Найдем абсциссу точки касания прямой к графику функции :

,

,

, .

Найдем значение параметра :

,,,.

Уравнение имеет единственное решение при и при .

Ответ: при и при .

Задания для самостоятельной работы

а) При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

б) Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно три различных решения. Для каждого полученного значения найдите все эти решения.

в) При каких значениях неравенство имеет решение?

Ответы: а) или ;

б) при решения : -2,5; 0; 10, прирешения: -2; 0,5; 8;

в) .

Уравнения (неравенства) вида ( )

Требования этих задач содержат слова: «при каких значениях параметра уравнение (неравенство) имеет заданное количество корней» («в зависимости от значений параметра решить уравнение (неравенство)»).

Алгоритм решения:

Построить схематически график функции .

Построить схематически график функции .

Найти на графике ситуацию, отвечающую требованию задачи.

Ответить на вопрос задачи.

Пример. При каких положительных значениях параметра уравнение имеет один корень?

Решение.

Строим схематически график функции :.

Строим схематически график функции :.

Находим на графике ситуацию, отвечающую на вопрос задачи: при каких положительных значениях параметра уравнение имеет четыре корня?

.

Отвечаем на вопрос задачи: .

Ответ:.

Задания для самостоятельной работы

а) При каких положительных значениях параметра уравнение имеет один корень?б) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра ?

Ответы: а) 4;

б) при - корней нет, при - один корень, при - два корня; при - три корня; при - четыре корня.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/282568-spravochnoe-posobie-po-matematike