Методическая разработка урока по геометрии «Перпендикулярные прямые в пространстве»

Моменты урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Результат деятельности

Оргмомент – 1мин

Приветствие студентов, проверка готовности кабинета и обучающихся к уроку, проверка отсутствующих. Сообщение темы урока, формулирование цели урока.

Преподаватель: Мы приступаем к изучению новой главы «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Сегодня на уроке введем понятие перпендикулярных прямых в пространстве; докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; научимся применять изученные понятия при решении задач. Тема урока «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Подготовка к уроку

Возникает интерес к уроку

Актуализация темы «Перпендикулярность прямых в пространстве» - 7мин

Слайд1-3. Организует работу по повторению.

Какое взаимное расположение 2х прямых возможно на плоскости?

Какое взаимное расположение 2х прямых возможно в пространстве?

Дайте определение каждого случая и покажите на модели куба.

Обратите внимание на доску. Дан параллелепипедABCDA1B1C1D1,∠BAD=30⁰. Найдите углы между прямыми АВ иA1D1; A1B1 и AD;AB и B1C1.

Сегодня поговорим о пересекающихся прямых, а именно о прямых пересекающихся под прямым углом. Как называются такие прямые?

Какие прямые называются перпендикулярными?

Что измениться в определении перпендикулярных прямых в пространстве?

Организует выполнение практических работ.

Практическая работа 1.

Дана прямая и на ней точка. Расскажите, как вы проведете прямую, перпендикулярную данной прямой через данную точку. Покажите на модели.

Сколько таких прямых можно провести?

Слайд4.

Выполните практическую работу 2.

1.Возьмите две перпендикулярные прямые а и в, и проведите им параллельные прямые на этой же плоскости.

Что можно сказать о новых прямых?

2. Возьмите две перпендикулярные прямые а и в, и проведите им параллельные прямые в пространстве.

Сделайте вывод.

Отвечают на поставленные вопросы.

Прямые на плоскости могут пересекаться и быть параллельными.

Прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.

Дают определения пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых и показывают на модели куба.

Углы между прямыми АВ и A1D1;A1B1 и AD; AB и B1C1равны соответственно 30^о, 30^о, 150^о.

Перпендикулярными.

Ученики дают определение перпендикулярных прямых.

Так как через пересекающиеся прямые проходит всегда плоскость, и притом только одна, то в определении перпендикулярных прямых в пространстве ничего не измениться.

Выполняют практическую работу, используя палочки и пластилин.

Выполняют практическую работу, используя палочки и пластилин.

палочки и пластилин.

Повторили взаимное расположение 2х прямых на плоскости и в пространстве.

Сделали вывод что определение перпендикулярных прямых в пространстве и на плоскости одинаково.

Делают вывод, что таких прямых можно провести множество.

Делают вывод, что если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно 2м перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Изучение нового материала- 15мин

Рассмотрим модель куба.

Как называются прямые АВ и ВС?

Найдите угол между прямыми АА1 и DC;ВВ1 и AD.

Значит эти прямые тоже перпендикулярные.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90^о. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b .

В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC.

Прямая АА1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1 перпендикулярна прямойСD. Нами установлено, что АА1 перпендикулярна СD.

Попробуйте сформулировать это утверждение.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90^о.

По условию, b‖a, а по построениюа ‖ МА, поэтому b‖ МА.

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямымМА и МС, угол между ними равен 90^о.

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90^о, то естьb ⊥с. Лемма доказана.

ПрямыеАВ и ВС перпендикулярные.

Углы между прямыми АА1 и DC;ВВ1 и AD равны 90^о.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

АА1‖СС1, СС1⊥СD, АА1⊥СD

Д ано:a‖ b,a⊥c

Доказать: b⊥c

Доказательство:

а ⊥ с, то ∠АМС=90^о

По условию, b‖a, а по построениюа ‖ МА, поэтому b‖ МА.

b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90^о

b⊥ с. Лемма доказана.

Закрепление изученного материала. – 17мин

Задача №117. В тетраэдре АВСD ВС⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N– середины ребер АВ и ВС.

Что можем сказать о параллельности прямых MN и ВС?

Задача: Прямые AB,AC, AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если: AB=3 см, BC=7 см, AD=1,5 см.

MN– средняя линия треугольника АВС, следовательно прямые MN и ВС параллельны.

По лемме, так как ВС⊥AD, то MN⊥AD.

У доски решает сильный учащийся.

Дано:

ABCD – тетраэдр; М∊ АВ: АМ=ВМ, N∊АС: АN=NC; ВС⊥АD

Доказать: AD⊥MN

Доказательство:

MN– средняя линия треугольника АВС, следовательно прямые MN и ВС параллельны.

По лемме, так как ВС⊥AD, то MN⊥AD.

Итог урока. – 4мин

Организация повторения изученного материала.

Слайд 6

Проверь себя.

1.Как расположены друг к другу ребра, выходящие из одной вершины куба?

а) параллельно б) скрещиваются в) под прямым углом

2. Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой в пространстве?

а) одну б) много в) ни одной

3. Пересекающиеся прямые параллельны соответственно перпендикулярным прямым сами

а) параллельны б) перпендикулярны в) скрещиваются

Оценивает работу отдельных учащихся.

Отвечают на вопросы теста.

Проверка усвоения материала.

Домашнее задание. -1мин

П.15 (лемму выучить), № 116