Конспект урока по алгебре и началам математического анализа в 10 классе «Свойства логарифмов»

МБОУ «Открытая (сменная) школа №2» города Смоленска

Тема: Свойства логарифмов

10 класс

Выполнила

учитель математики Мищенкова Т.В.

Цели урока:

● образовательная – познакомить учащихся со свойствами логарифмов, правилами вычисления логарифмов; научить применять свойства логарифмов при решении задач;

● развивающая – развитие логического мышления, внимания, памяти, наблюдательности учащихся;

● воспитательная – воспитание аккуратности, дисциплины, самостоятельности, умения работать в коллективе.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы: дедуктивно-репродуктивный, индуктивно-исследовательский.

Технологии:информационно-коммуникационные, критического мышления (прием – составление кластера).

Требования к знаниям и умениям обучающихся:

обучающиеся должны знать:

● свойства логарифмов;

● правила вычисления логарифмов;

обучающиеся должны уметь:

● применять свойства логарифмов при преобразовании выражений, содержащих логарифмы.

Оборудование урока: ноутбук, экран, мультимедийный проектор

Литература:

1.Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений базовый и углубл. уровни/ [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.] - 3-е изд. – М. : Просвещение, 2016.–463 с.

2.Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова и др. – I полугодие/ авт.-сост. Г. И. Григорьева. – Волгоград: Учитель, 2008. – 150 с.

Структура урока:

1) организационный момент (2 мин.);

2) проверка домашнего задания (7 мин.);

3) изучение нового материала (14 мин.);

4) закрепление изученного материала (17 мин.);

5) подведение итога урока (3 мин.);

6) домашнее задание (2 мин.).

Ход урока.

I. Организационный момент.

Приветствие учителем учащихся, проверка готовности кабинета и обучающихся к уроку, проверка отсутствующих.

II. Актуализация знаний.

Учитель. Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте вспомним тему прошлого урока и ответим на следующие мои вопросы.

Учитель. Дайте определение логарифма числа?

Предполагаемый ответ. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где a>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b;

Учитель. Сформулируйте и запишите основное логарифмическое тождество?

Предполагаемый ответ. a^log_a^b=b, при a >0,b > 0,a ≠1.

Учитель. Что называется логарифмированием?

Предполагаемый ответ. Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Учитель. Что называется потенцированием?

Предполагаемый ответ. Действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму, называется потенцированием.

Учитель. В чем отличие логарифмирования от потенцирования?

Предполагаемый ответ. Потенцирование обратный процесс логарифмирования.

III. Изучение нового материала.

Учитель. Сегодня на уроке рассмотрим свойства логарифмов и применение их при решении задач. Запишите в тетрадях число и тему урока: Свойства логарифмов.

Учитель. При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов.

Рассмотрим основные из них.

Учитель. Пусть а>0,в>0,с >0, причем а≠1,r-любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

Учитель. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Запись на доске и в тетрадях:

Пустьа>0,в>0,с >0, а≠1,r -любое действительное число.

Логарифм произведения:

log_a(bc) = log_ab+ log_ac (1)

Пример: log₂6,4 + log₂10 = log₂(6,4*10) = log₂64=6

Учитель. Логарифм частного равен разности логарифмов.

Запись на доске и в тетрадях:

Логарифм частного:

log_a = log_ab - log_ac (2)

Пример:

Учитель. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Запись на доске и в тетрадях:

Логарифм степени:

log_a b^r=r log_a b (3)

Пример: log₇49² =2*2=4

Учитель. Общая формула показателя степени основания логарифма.

Запись на доске и в тетрадях:

П оказатель степени основания логарифма.

(4)

Пример: log₈16=log₂³2⁴= log₂2 =

Учитель. Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю.

Запись на доске и в тетрадях:

log_a1=0 (5)

Пример: log₅1=0

Учитель. Логарифм числа а по основанию а (т.е. тому же самому основанию, что и логарифмируемое число) всегда равен единице.

Запись на доске и в тетрадях:

log_a a=1 (6)

Пример: log ₄ 4=1

Учитель. Формула перехода к новому основанию логарифма: а, в, с >0, причем а≠1,с ≠1.

Запись на доске и в тетрадях:

Переход к новому основанию логарифма

=(7)

Пример:=

Учитель. Рассмотрим частный случай перехода к новому основанию логарифма.

Запись на доске и в тетрадях:

Частный случай перехода к новому основанию логарифма:

= (8)

Пример:= = .

Историческая справка.

В течение XVI века резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющий непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения сосудов по звездам и по Солнцу).

Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частично упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, их свойств, сводящее умножение, деление чисел к сложению, вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению П.С. Лапласа (французский математик), жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, которые существенно облегчали вычисления. Как результат, резкое повышение производительности труда вычислителей.

Например, умножение многозначных чисел x,y с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму

найти в таблицах логарифмы чисел x, y;

сложить эти логарифмы, получая (согласно свойству логарифмов) логарифм произведения;

по логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Непером (1550-1617) и швейцарцем И. Бюрги.

Уже через девять лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка – вычислительный инструмент, принцип работы которого основан на свойствах логарифмов.  Логарифмическая линейка стала рабочим инструментом для многих поколений (вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов, как средство вычисления резко снижается).

IV. Закрепление изученного материала.

Учитель. Перейдем к закреплению учебного материала.

Решим следующие номера: № 290,291, 292, 293, 294 – четные.

№290

Ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

2) log₁₀8 + log₁₀125= log₁₀(8*125) = log₁₀1000 = 3;

4) log₃6 + log₃ = log₁₃(6* ) = log₃ 9 = 2.

№291

Ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

2) log₅75 + log₅3= log₅ = log₅25 = 2;

4) log₈ – log₈ 32= log₈( ) = log₈ = log₈(³= log₈8^-3= -3 log₈8= - 3.

№292

Учитель с классом.

Запись на доске и в тетрадях:

2) log₁₁ = log₁₁11^2/3 = *1 = ;

4) log ₂ = log₂ 1/ 2 ^7/6 = log₂2^-7/6 = - = - 1 .

№293

Самостоятельно (с последующей проверкой)

2) log₉15 + log₉ 18 – log₉10 = log₉ = log₉27 = log₉3³ = 3 log₉3= 3* =1,5;

Ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

4) 2 log _1/36 – log _1/3400 +3 log _1/3 = log _1\3 = log _1/3 81 = – 4.

№294

Ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

2) log₅27/ log₅9 = log₅3³ / log₅3²=3 log₅3 / 2log₅3 = 1,5;

3) log₇8 / log₇15 – log₇30 = log₇8 / log₇ = log₇2³/ log₇2^-1= – 3.

Ресурсный материал. Подготовка к ЕГЭ (каталог заданий И.В. Ященко, базовый и профильный уровни)

Ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

I. Прототипы задания №5 базового уровня (задания даны на карточках).

Найдите значения выражений:

С учащимися:

1) 2^log₂^{3 – 1};

2)log ₁₂ ^1\5 12;

3) ;

Решить самостоятельно (взаимопроверка):

Iвариант

1)3^{2 log}₃⁶;

2) log₃40,5 + log₃ 6;

3) log₇0,5 + log₇ 98;

IIвариант

1)6^{3 log}₆²;

2) log ₆72 – log₆ 2;

3) log₆0,8 + log₆ 45.

II. Прототипы задания №17 базового уровня (задания даны на карточках):

Учитель объясняет решение задания на доске.

1) На координатной прямой отмечены точкиA,B,C и D:

А В С D

● ● ● ●

0 1 2 3 4 5 6

Числоmравно log₂5.

Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.

ТОЧКИ ЧИСЛА

A 1) m – 2

B 2) m²

C 3) 4 – m

D 4)

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу номер.

2) Решить самостоятельно (взаимопроверка).

На координатной прямой отмечены точкиA,B,C и D:

А B C D

• • • •

–3 –2 –1 0 1 2 3

Числоmравно log₅4.

Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.

ТОЧКИ ЧИСЛА

A 1) 4 – m

B 2) –

C 3)

D 4) m²

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу номер.

III. Прототипы задания №9 профильного уровня (задания даны на карточках)

Учитель:

1) +log₁₁5,5; Ответ: 1

2) 8log_2,57 * log₇ 0,4; Ответ: - 8

Самостоятельно (с последующей проверкой):

1) + log₆4,5; Ответ: 2

2) 3log_0,28 * log₈ 25. Ответ: - 6

Смотрят фрагменты видеофильма «Задания 9. Логарифмы. Профильный ЕГЭ математика»(YouTube (http://interneturok.ru)

Делают записи в тетрадь.

V. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Учитель. Сегодня на уроке мы рассмотрели свойства логарифмов и применение их при решении задач. Есть ли у вас вопросы ко мне? Задавайте.

Учитель. Ответьте на следующие мои вопросы:

Учитель. Перечислите основные свойства логарифмов.

Предполагаемый ответ. Логарифм произведения, логарифм частного, логарифм степени.

Учитель. Чему равен логарифм частного?

Предполагаемый ответ. Логарифм частного равен разности логарифмов.

Учитель. Чему равен логарифм произведения?

Предполагаемый ответ. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Учитель. Чему равен логарифм степени?

Предполагаемый ответ. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитель. Кроме основных свойств логарифма, с какими вы еще познакомились свойствами сегодня?

Предполагаемый ответ. С формулой показателя степени логарифмируемого числа, с общей формулой показателя степени основания логарифма и частными случаями, со свойствами перехода к новому основанию логарифма и частными случаями.

Составить кластер с ключевыми словами «Свойства логарифмов»

Учитель. В целом работали хорошо. Выставляет оценки за урок с комментариями.

VI. Домашнее задание.

Запишите домашнее задание.

Прочитать §16 учебника, выучить записи в тетрадях, письменно №290 (1), №291 (3), №292 (1, 3), №293 (1), 294 (3).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/311701-konspekt-uroka-po-algebre-i-nachalam-matemati