Развитие творческой активности учащихся при решении математических задач

Развитие творческой активности учащихся

при решении математических задач

Задачи являются одним из важнейших средств обучения математике и развития мышления учеников. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач.

Чаще всего ученику по-настоящему подумать на уроке просто некогда. Уроки идут по схеме: «разогрев» учащихся, проверка домашнего задания, повторение пройденного на прошлых уроках, объяснение нового материала, первичное закрепление, применение полученных знаний при решении задач с привлечением ранее изученного материала. Ограниченность учителя временными рамками урока (нужно успеть сделать все запланированное) и временем изучения темы (нужно помнить, что опоздание на этом уроке повлечет дальнейшее отставание), нацеленность учителя и ученика на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет)  все это никак не способствует появлению на уроке задач творческого характера.

Обучение по образцам, всегда применяющееся в математике, безусловно, является полезным: чем боль­ше образцов узнает учащийся, тем легче ему найти решение новой задачи по аналогии, еще каким-либо способом или просто потому, что в результате знакомства с образцами он стал лучше работать. Однако опыт показывает, что обучение по образцам приводит к успеху, как это ни парадоксально, не слабых учащихся, а сильных. Слабые же учащиеся в лучшем случае, запоминая (обычно по внешним признакам) схему решения образца, решают определенный класс задач, который тем самым превращается в «примеры».

Первая трудность для ученика  это понять условие задачи: ученик не может повторить условие, а если и повторяет, то механически; он не может выделить собственно условие (что дано) и вопрос задачи (что надо узнать). Поэтому важно разъяснить условие. Путем его переформу­лировки: перестановки слов, выделения главного (иногда даже просто интонацией).

В задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования.

Следующий этап работы с задачей – анализ условия и требования. Как правило, это самый трудный и самый важный этап решения.

Под анализом условия понимаем выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему. Анализ требования задачи предполагает выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, все время нужно соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.

Важнейшим компонентом умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему. Проблема формирования этого умения непосредственно связана с вооружением учащихся как можно большим числом признаков и свойств понятий. Важным является и умение видеть различные пути решения задачи.

Особое значение при решении имеет взгляд назад.Решение задачи, как правило, заканчивается получением ответа или, в лучшем случае, обсуждением базиса и идеи решения. Между тем реализация этого этапа долж­на включать, кроме изучения полученного решения, составление задач-аналогов данной, задачи-обобщения, задачи-конкретизации, задач, решаемых тем же способом, что и основная задача, поиск различных способов решения данной задачи, их оценку, выбор наиболее простого.

Задачи дают возможность организовать на уроке математики дискуссию, обсуждение.

Задача: Ребро куба равно 12 см. Найти площадь сечения, проведенного через середины двух смежных сторон основания параллельно диагонали куба (три случая).

Если убрать слова «три случая», то – можно создать неординарную ситуацию. На первом этапе ученики работают на индивидуальном уровне. Через несколько минут в классе выделяются три группы, получившие ответ 9или 72 , или 63 . Кто-то начинает усиленно проверять свое решение, кто-то заглядывает в другую тетрадь и, не глядя, кричит: «У тебя неправильно!», но в ответ слышит: «Это у тебя неправильно!».

Неожиданно, учитель просит объединиться в группы «единомышленников» и обратить внимание на то, что хотя у них и получились одинаковые ответы, но расположения плоскости сечения различны.

Учитель предлагает выяснить, существенно ли это, проверить решения и поручить кому-то одному представить и защитить свое решение на доске с использованием более наглядного изображения.

Через несколько минут «единомышленники» приходят к выводу, что разное расположение сечения куба, например, треугольник, не существенно.

На доске появляются три варианта решения задачи. Ученики пока молча пытаются осмыслить «не свое» решение.

Каждый вслед за защищающим свое решение учеником, записывает это решение, дополняя свое двумя другими, удивляясь, почему он увидел только одну возможную ситуацию, а задача, оказывается, имеет три решения, и каждое будет верным.

Учитель тоже делает свой «вклад», сообщая ученикам, что при такой формулировке задачи необходимо рассмотреть все три случая.

По условию задачи возможны только три сечения: треугольник, четырехугольник и пятиугольник. Их три потому, что условие недоопределено. А если автор задачи захочет, чтобы у решающего получилось только одно решение из трех возможных сейчас, как он должен дополнить условие? Предлагается каждой группе попытаться это сделать (доопределить задачу).

Сравнивая рисунки, ученики замечают, что если взять фиксированную диагональ, то вид сечения зависит от выбора смежных сторон основания и легко формулируют свои задачи.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении учащегося мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения.

Различные варианты решения одной задачи дают ученику возможность применять весь арсенал его математических знаний. Обычно тот или иной метод демонстрируется на специально подобранных задачах, при решении которых данный метод является наиболее эффективным. Однако тогда в сознании учащегося метод невольно связывается с задачей, а его самостоятельная значимость не выясняется. Но когда разные методы испробованы на одной задаче, их отличительные черты, их сильные и слабые стороны выступают наиболее выпукло, лучше видны преимущества и недостатки того или иного метода в зависимости от содержания задачи.

Первое решение задачи редко бывает лучшим, поэтому нужно, и естественно стремиться к тому, чтобы учащиеся искали более простое и красивое решение. Умение выбрать подходящий метод вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи различными методами. Это дает возможность полнее исследовать свойства геометрической фигуры. Иногда удается подметить свойство, о котором в задаче ничего не говорится, или получить интересное обобщение задачи. Важно и то, что, придя разными путями к одному и тому же результату, ученики уверенны в правильности решения.

Полезно знакомить учащихся с различными подходами к решению наиболее распространенных задач.Например, простейшая задача: разделить данный отрезок пополам.

Рассмотрим 5 вариантов решения с помощью: 1) циркуля и линейки; 2) двусторонней линейки; 3) чертежного угольника; 4) угла величиной 45°; 5) циркуля. Польза такого обсуждения задачи несомненна.

Первый способ традиционный. Рассмотрим второй способ разделить отрезок пополам с помощью двусторонней линейки (только для случая, когда ширина линейки меньше длины данного отрезка). Провести непосредственно две пары параллельных прямых через концы данного отрезка, а затем диагональ полученного ромба. О – середина АВ.

Третий способ - с помощью чертежного треугольника.

Восставим перпендикуляр l к AB в точке A; отметим на нём точки C и D. Восставим далее перпендикуляр l' к AB в точке B, а затем проведём перпендикуляры к прямой l в точках C и D до их пересечения с l' соответственно в точках C' и D'. Обозначим через X точку пересечения прямых AD' и BD и через Y – точку пересечения прямых AC' и BC. Тогда прямая XY пересекает отрезок AB в его середине.

Четвертый способ с помощью угла величиной 45°. Свернув лист бумаги, мы можем получить угол 45°. Приложив его к концам отрезка, поводим прямые и получаем прямоугольный равнобедренный треугольник. С помощью угла в 45° проведем биссектрису к основанию. Таким образом мы разделили отрезок на два равных.

Последний способ, который мы с вами сегодня рассмотрим это деление отрезка только циркулем (без линейки).

Дан отрезок AB, требуется разделить его пополам с помощью циркуля.
Шаг 1. Проведём окружность радиуса AB с центром в точке B. Тем же раствором циркуля отмерим на этой окружности три дуги, начиная от точки A. Получим точку C.

Шаг 2. Проведём окружность радиуса AB с центром в точке A и окружность радиуса AC с центром в точке C. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим D.

Шаг 3. Проведём окружность радиуса AB с центром в точке D. Она пересечёт отрезок AB в точках A и E, причём точка E делит отрезок AB пополам.

Таким образом, появление на уроках задач творческого характера дает возможность учащимся глубже понять изучаемый материал, увидеть «изюминки» в решении задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения задачи, умение выбрать из них наиболее простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения.

В конце каждого учебного года в качестве рефлексии мы предлагаем учащимся заполнить анкету «Я решаю задачу». Это позволяет нам выяснить уровень сформированности навыков решения задач.

Анкета «Я решаю задачу»

Инструкция

В графе “Самоанализ” отметьте каким-либо знаком окончание предложенных фраз, выбрав вариант, который в большей степени соответствует тому, что происходит с Вами в процессе решения математических задач.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/313653-razvitie-tvorcheskoj-aktivnosti-uchaschihsja-