Построение многоуровневой системы задач по теме «Показательная функция»

Построение многоуровневой системы задач по теме

«Показательная функция»

Предлагаемая технология проектирования многоуровневой системы задач по курсу алгебры и начал математического анализа по теме

«Показательная функция», позволяет ученикам успешно освоить материал как на базовом, так и на углублённом уровнях, эффективно подготовиться к итоговой государственной аттестации в форме единого государственного экзамена по данной теме.

В данном подходе предлагается в разделе школьного курса математики по теме «Показательная функция» построить многоуровневую систему учебных математических задач с охватом общеобразовательного и углубленного уровней.

Это позволяет на основе задачного подхода разработать методику обучения математике, позволяющую строить для каждого учащегося индивидуальные образовательные траектории, направленные как на формирование специальных, так и универсальных учебных действий, на успешную подготовку к итоговому государственному экзамену, к вступительным экзаменам в вузы, тем самым, в рамках учебного курса решить проблему качественного обучения математике в средней школе.

Базовые задачи по теме «Показательная функция»

Базовый уровень

Б.З.1.

Задача на вычисление значений показательных выражений.

З.З. Вычислить: а). 2^-1 · 64^2/3; б). (125^-2/3 – 16^1/2 +343^1/3-3)^-1/2.

Ответ: а) 8; б)5.

М.З. Зная, что 0,7^х =5, найти: 0,7^2х+1.

Ответ: 30.

НЗ Вычислить значение выражения: (a^2х + )·b, при a^х + 4, b^х= 8.

Ответ: 56.

Б.З. 2.

Задача на нахождение множества значений, области определения показательной функции, применение свойств показательной функции.

З.З. а) Найти область определения функции: y= 4^{x- 1}

б) Найти множество значений функции: y= 3 · 2^x

Ответ: а) (-∞; +∞), б) (0; +∞).

Н.З. Пользуясь графической иллюстрацией, определить число корней уравнения: ( )^х = 2-(х-1)² .

Ответ: 2.

М.З. Найти область определения функции: у = .

Ответ: х≠1.

Б.З.3.

Задача на построение графиков показательных функций.

З.З. Построить график функции: а). у = 2^х -3, б). у = 2^х-3.

М.З. Построить график функции: у = ( )

Н.З. Построить график функции: у = .

Б.З.4.

Задача на нахождение корней показательных уравнений различного типа.

З.З. Найти корень уравнения: 7^2х+1 = 49. Ответ: х = 0,5.

М.З. Решить уравнение: 5^2х = 13^х. Ответ: х = 0.

Н.З. Найти корень уравнения: = (3-2 ) .

Ответ: х = -1, х = 3.

Углубленный уровень

Б.З.1.

Задача на вычисление значений показательных выражений.

З.З.Вычислить:

Ответ: 3,5.

М.З.Вычислить сумму+ зная, что +

Ответ: 5.

Н.З.Найти х (х), если ( +) = 13,5.

Ответ: 3.

Б.З.2.

Задача на нахождение множества значений, области определения показательной функции; применение свойств показательной функции.

З.З.Найти область значений функции: y = .

Ответ: (-∞; +∞).

М.З. а)Найти наименьшее целое значение функции: у = + + 0,25.

Ответ: -2.

б)Найти число целых значений функции: у = .

Ответ: 81.

Н.З. Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при которых область определения функции у = ( · + - - ())

не содержит двузначных натуральных чисел.

Ответ: (1; 10).

Б.З.3.

Задача на построение графиков показательных функций.

З.З. Построить график функции: y = + 1.

М.З. Построить график функции: а). y = ; б) y = ( ).

Н.З. Построить график функции: у = .

Б.3.4.

Задача на нахождении корней показательных уравнений различного типа.

3.3. Найти корень уравнения: 3^х+2- 2·3^х= 63.

Ответ: х = 2.

М.3. Решить уравнение: 3·4^|х-2| + 5·49^|х-2| = 16·14^|х-2|.

Ответ: х = 2 ± .

Н.З. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

- (8а+5)· + 16 + 20а - 14=0 имеет единственное решение.

Ответ: -а .

Б.З.5.

Задача о нахождении решений показательных уравнений, неравенств, используя свойства обратной функции.

З.З. а) Решить уравнение: 3^x+1=14; Ответ: log₃14-1

б) Решить неравенство: 2^x>5. Ответ: (log₂5;+)

М.З. Найти произведение корней уравнения: 4^x- 5∙2^x= - 6. Ответ: log₂3.

Н.З. a) Найти все значения x , при каждом из которых график функции

y= 9^x- 2∙3^x- 13 лежит ниже, а график функции y = 2^1-x- 4^2-x+ 16 лежит выше , чем график функции y = 2. Ответ: (0; log₃5);

б) Решить неравенство: >2^x. Ответ: x[0;+ ) при a(- ; 0);

x ( a log₃2)² ; +)при a [0;+).

Б.З.6.

Задача о нахождении решений показательных неравенств различного типа.

З. З. Решить неравенство: ( < 0,00243. Ответ: (1;2) (3;4).

М.З. Найти область определения функции f, если f(x)=

Ответ: [- 0,5; 0) (0; 0,5].

Н.З. Найти а из неравенства x²- 2^a+2 ∙x - 2^a+3+12 > 0, при условии, что оно верно для любых значений х.

Ответ: а .

Б.З.7.

Задача о нахождении решений системы показательных уравнений.

2^х+ 2^у= 12;

З.З. Решить систему: x – y = 1.

Ответ: (3;2)

М.З. Найти решение системы уравнений:

х= 1 + 3log₅y,

y²= y ∙5^x+ 20∙5^2x. Ответ: (-2; 0, 2)

Н .З. Найти все значения а, при которых система 2^3х+y+ 2^x+3y= 4,

8^x+y+ 2^-x-y= 4^y+a

имеет решения.

Ответ:a > -1.

Б.З.8.

Задача о нахождении решений системы показательных неравенств.

З.З.Решить систему неравенств:

∙ 5^2х-0,5≥ 1,

0,2^6-9х ≤ 125. Ответ: 0 ≤ х ≤ 1

М .З. Решить систему: y² ≥ 5 ∙ 4^x+ ,

2^х+2+ 2y+1 = 0.

Ответ: (0; - )

Н.З. Решить систему с параметром:

( )^{8 + log x} > ()^{log x},

0 < х < 1.

Ответ: (0; ) при а (1; + );

(0; ) при а (0;1).

Б.З.9.

Задача о нахождении решений показательных уравнений, неравенств и их систем функционально-графическим методом. Нахождение множества точек плоскости, удовлетворяющих неравенству или системе неравенств.

З.З. а) Решить уравнение графически: 5^х= - х + 6. Ответ: 1.

б) Решить неравенство графически: ( )^х > 3х + 1. Ответ: х<0

М.З. Решить графически систему уравнений:

у = 2^x-1;

= y + 1. Ответ: (1;1)

Н.З. На плоскости ХОУ укажите точки, удовлетворяющие неравенству:

≤ ( )^х.

Список используемой литературы:

Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Ч.1 учебник, ч.2 задачник. М.: Мнемозина, 2013.

Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактический материал. 10 класс. Базовый уровень. М., 2010.

Рурукин А.Н. и др. Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа. 11 класс. М.: Вако, 2012.

Максютин А.А. Проектирование и применение многоуровневой системы учебных математических задач, как средство реализации ФГОС. Кпк Сызрань, 2014.

Ковалёва Л.Н. и др. Математика . Тематические тесты 10-11 класс (под редакцией Ф.Ф. Лысенко) « Легион» 2008.

А.Я. Симонов и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике М. « Просвещение»1991.

А.Д. Кутасов и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ( под редакцией Г.Н. Яковлева)М. « наука» 1988.

М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ. М. 2002

В. В. Кочагин, М.Н. Кочагина Математика. Сборник заданий 2012. М. 2011.

И.Х.Сивашинский Элементарные функции и графики. М. « наука» 1968.

Г.И. Ковалёва. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности .Волгоград, 2009.

,

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/338343-postroenie-mnogourovnevoj-sistemy-zadach-po-t