Логарифмическая функция, её свойства и график

-Мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а.Вы просмотрели презентацию и убедились в том, что логарифмы описывают многие процессы реальности.

Постановка цели урока:

Но тогда следует подумать и о логарифмической функции, о ее графике и свойствах. Этим мы и займемся. Запишем тему урока.

Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график».

II.Содержательная часть.

Далее все записи, которые осуществляются учителем на доске, фиксируются учениками в канву-таблицу.

-Рассмотрим логарифмическую функцию

Какие ограничения у основания логарифмической функции?

- Сформулируем определение логарифмической функции.

1.a>0

2.a1

Т.к. логарифм существует только при таких а.

- Логарифмической называется функция , где а – заданное число, a>0,a1

- Далее рассмотрим свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

Это свойство следует непосредственно из определения логарифма.

(Записывается в канву-таблицу)

Задание № 1.

Какие из данных функций являются логарифмическими

1).

2).

3). У

4). у

5). у

x> 0

Решение:

1). , условие не выполняется, следовательно, это не логарифмическая функция.

2). , условия выполняются, это логарифмическая функция.

3).

Область определения этой функции не множество всех положительных чисел.

Если заменить х – 1 = t, получим функцию , область определения которой t>0 – эта функция будет являться логарифмической.

4). ,последнее условие не выполняется, это не логарифмическая функция

5). Нет. По основному логарифмическому тождеству, мы получимфункцию:

-линейная функция.

2.Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел.

Док-во:

Из определения логарифма следует, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что .

-Как мы решаем такие уравнения?

-Всегда ли существует его корень?

-Следовательно, каково множество значений логарифмической функции?

(Записывается в канву-таблицу)

-По определению логарифма,

-Да, т.к.

-Множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция является возрастающей на промежуткеx>0, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.

Док-во:

Нам надо доказать, что если , то, т.е.

- Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

- Воспользуемся свойством степени с действительным показателем.

- Во втором случае основание степени 0<a<1, что происходит со знаком?

(Записывается в канву-таблицу)

-На практике чаще всего вы будете пользоваться обратной теоремой: если a>1 и
, где , то;

Если 0<a<1 и , где, то

Проведем обратную цепочку рассуждений.

(Записывается в канву-таблицу).

Доказательство:

1. Пусть a>1. По основному логарифмическому тождеству

( по свойству степени с основанием )

2. Пусть 0<a<1

По основному логарифмическому тождеству:

- Знак изменится на противоположный.

(по свойству степениcоснованием 0<a<1)

Доказательство:

Пустьа>1 и log_ax₁<log_ax₂, тогда ( по свойству степени)

x₁<x₂(по основному логарифмическому тождеству).

Пусть0<a<1 и log_ax₁<log_ax₂, тогда (по свойству степени)

x₁>x₂ (по основному логарифмическому тождеству).

4. Нули функции:

- Если х = 1, чему будет равен логарифм?

- Таким образом, график функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0)

(Записывается в канву-таблицу).

-

5. Ограниченность.

- Функция не ограниченна ни сверху, ни снизу.

- Но, существует вертикальная асимптота - ось Оу. Таким, образом график функции располагается правее оси Оу и не пересекает её.

(Записывается в канву-таблицу).

6. Промежутки знакопостоянства.

1. При а > 1,функция принимает положительные значения приx>1, отрицательные при 0<x<1.

2. При.0<a<1, функция принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1.

Док-во:

1. Это следует из того, что функция при х = 1, у = 0.

При а>1 функция является возрастающей. Поэтому на промежутке x> 1 принимает положительные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает отрицательные значения.

2. Это следует из того, что функция при х = 1, у = 0.

При 0<а<1 функция является убывающей. Поэтому на промежутке x> 1 принимает отрицательные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает положительные значения.

(Записывается в канву-таблицу).

7. Чётность/нечётность.

- Является функцией общего вида.

8. Схематичное изображение графика.

- Построим два графика логарифмических функций.

и

- Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а^х и логарифмическую у = log_aх.

-При каких условиях существует показательная функция?

- Вспомните, какая область определения и какое множество значений у показательной функции. И сравните эти данные с областью определения и множеством значений логарифмической функции.

- Какую закономерность вы видите?

-При a>0,a1

- Область определения показательной функции совпадает с множеством значений логарифмической функции, а множество значений логарифмической функции совпадет с областью определения показательной.

- Какое понятие связывает такие функции?

- Таким образом, логарифмическая функция и показательная функция , где a>0, a1, взаимно обратны.

- Действительно, решая уравнение относительно х, получим, что х = . Меняем местами х и у, получаем функцию у = .

_{-На доске уже построена функция}. Теперь построим функцию

- Относительно какой прямой симметричны графики этих функций?

- Поэтому необязательно строить графики обеих функций. Достаточно построить график одной функции и отобразить его относительно прямой у = х.

- Сделаем это на примере построения графиков ф-цийи

- На доске уже построена функция .Построим график функции отобразив график функции относительно прямой у = х.

- Понятие обратной функции.

- Относительнопрямой у = х.

III.Рефлексивно-оценочная часть.

- Какова была цель урока?

- Достигли ли вы ее?

- Как вы ее достигли?

- А также связь между какими функциями вы рассмотрели?

- Что это за связь?

Домашнее задание:

§18. № 318 (1, 4), №319 (1, 4), №321, №374.

- Рассмотреть логарифмическую функцию, её график и свойства.

- Да.

- Сформулировали определение логарифмической функции, рассмотрели по уже известной схеме все свойства функции, построили её график.

- Между показательной и логарифмической функциями.

- Логарифмическая и показательная функции взаимно обратны.

,a>0, a1

Свойства:

1. Область определения: x>0

2. Множество значений: R

3. Монотонность:

a>1

функция возрастает при х >0

0<a<1

Функция убывает при х>0

еслиx₁<x₂, то log_ax₁<log_ax₂

Док-во:

По основному логарифмическому тождеству

( по свойству степени с основанием )

еслиx₁<x₂, то log_ax₁ >log_ax₂

Док-во:

По основному логарифмическому тождеству:

(по свойству степени с основанием 0<a<1)

3’. Обратная теорема:

еслиlog_ax₁<log_ax₂, тоx₁<x₂

еслиlog_ax₁<log_ax₂, то x₁>x₂

Если х = 1, то

График пересекает ось: Ox в т. А (1 ; 0)

График не пересекает ось: Oy

6. a > 1

0<a<1

0<x<1

y<0

x > 1

y>0

0<x<1

y>0

x > 1

y<0

7.График функции.

,a>0, a1

Свойства:

1. Область определения:

2. Множество значений:

Монотонность:

a>1

функция возрастающая

0<a<1

Функция убывающая

если x₁<x₂, то log_ax₁log_ax₂

Док-во:

еслиx₁<x₂, то log_ax₁ log_ax₂

Док-во:

3’. Обратная теорема:

еслиlog_ax₁<log_ax₂, тоx₁x₂

еслиlog_ax₁<log_ax₂, то x₁x₂.

Если х = 1, то

График пересекает ось: в т. А (1 ; )

График не пересекает ось:

6. a > 1

0<a<1

0<x<1

y 0

x > 1

y 0

0<x<1

y 0

x > 1

y 0

7.График функции.