Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью квадратных уравнений

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области

Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью квадратных уравнений.

Работа педагога дополнительного

образования

Куца Фёдора Ивановича

г. Зверево

2014г.

Содержание:

1) Тригонометрические уравнения от одной тригонометрической функции одной переменной

2) Тригонометрические уравнения,приводимые к уравнениям от одной тригонометрической функции одной переменной

3) Тригонометрические однородные уравнения

4) Тригонометрические уравнения, сводящиеся к однородным

I тип: a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = d

II тип: a sin²x + b sin 2x + c cos²x = d

III тип: a sinx + b cos x + c = 0

5)Уравнениявида a (sinx + cosx) + b sin2x + c = 0

6) Уравнениявида a cos 2x + b cos x + c = 0 (a cos 2x + b sin x + c = 0)

7) Уравнения, содержащие сумму cos⁴x и sin⁴x

8)Уравнения, содержащие разность cos⁴x и sin⁴x

9) Более сложные уравнения

1) Тригонометрические уравнения от одной тригонометрической функции одной переменной:

a sin²x + b sinx + c = 0; a cos²x + b cosx + c = 0;

a tg²x + b tg x +c = 0.

Пример. 2sin²x + sinx - 1 = 0 .

Обозначив sinx = t, получим квадратное уравнение 2t² + t - 1 = 0,

корни которого t₁ = -1, t₂ = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)sin x = - 1, х = - + 2 n, n Z.

2) sin x= , х = arcsin + n = + n, n Z.

Корни исходного уравнения х = - + 2n; х = + n, nZ.

2) Тригонометрические уравнения, приводимые к уравнениям от одной тригонометрической функции одной переменной:

a sin²x+ b cosx + c = 0; a cos²x+ b sinx + c = 0;

a tg x + b ctg x +c = 0.
Пример. 1) 2sin²x - cosx - 1 = 0.

Используя формулу sin²x = 1 - cos²x, получаем:

2(1 - cos²x) - - 1 = 0,

2 - 2cos²x - - 1 = 0,

2cos²x + - 1 = 0.

Обозначив = t, получим квадратное уравнение 2t² + t - 1 = 0, корни которого

t₁ = 1, t₂ = - .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) = 1, х = 2 n, nZ.

2)= - х = ± arccos (- ) + 2 n = ± ( - arccos ) + 2 n = ±( -) + 2 n = ± + 2 n, nZ.

Корни исходного уравнения х = 2n; х = ± + 2n, nZ.

2) tg x – 2 ctg x + 1 = 0.

tg x - + 1= 0.

Умножая обе части уравнения на tgx, tgx ≠ 0, получаем:

tg²x + tgx – 2 = 0,

Полагаяtgx= у, имеем у² + у - 2 = 0, откуда у₁ = 1, у₂ = - 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)tgx = 1, х = + n, nZ.

2)tgx = - 2, х = arctg(-2) + n = - arctg 2 + n,nZ.

Корни исходного уравнения: х = + n, х = - arctg2 + n,nZ.

3) 3 cos²6x +8 sin3x cos3x - 4 = 0.

Используяформулы: sin²6x + cos²6x = 1, sin6x = 2 sin3x cos3x,

преобразуем уравнение:

3 (1 - sin²6x) + 4sin6x - 4= 0,

3sin²6x - 4sin6x +1 = 0.

Обозначивsin6x = у, получим уравнение

3у²- 4у + 1 = 0, откуда у =1, у = .

sin6x = 1, 6х = + 2 n, x = + , n Z.

sin6x = , 6x = (-1)ⁿ arcsin + n, x = arcsin +n Z.

Корни исходного уравнения: x =+ x = arcsin+ nZ.

3) Тригонометрические однородные уравнения asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0.

Пример. 4sin²x – 5sinx cosx - 6cos²x = 0.

Так как sinxи cosx не могут быть равными нулю одновременно, то разделив обе части уравнения на cos²x, имеем: 4tg²х - 5tgх - 6 = 0.

Обозначаяtgх = у, получаем уравнение 4у² -5у - 6 = 0.

у_1,2== =

у₁ = = 2, у₂ = = - ,

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) tg x = 2, х = arctg 2 + n , n Z.

2)tg х = - , х=arctg (- + n, х = - arctg + n,nZ.

Корни исходного уравнения: х = arctg 2 + n, х = - arctg + n,nZ.

4) Тригонометрические уравнения, сводящиеся к однородным:

Iтип: a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = d.

Пример. 5 sin²x + sinx cosx - 2 cos²x = 2.

5 sin²x + sinx cosx - 2 cos²x = 2 (sin²x + cos²x),

5 sin²x + sinx cosx - 2 cos²x - 2 sin²x - cos²x = 0,

3sin²x + sinxcosx – 4 cos²x = 0,

Так как sinxи cosx не могут быть равными нулю одновременно, то разделив обе части уравнения на cos²x, имеем: 3tg²х + tg х - 4 = 0.

Обозначаяtg х = у, получаем уравнение 3у² + у - 4 = 0, откуда у = 1, у = - .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)tgx = 1, х = + n,n Z.

2)tg х = - , х=arctg(- ) + n, х = - arctg + n,nZ.

Корни исходного уравнения: х = + n, х = - arctg +n,nZ.

IIтип: a sin²x + b sin 2x + c cos²x = d.

Пример. 6sin²x + 2sin2x - 1= 0.

Используя формулы: sin²x + cos²x = 1, sin2x = 2 sinxcosx,преобразуем уравнение:

6sin²x + 4sinxcosx - sin²x - cos²x = 0,

5sin²x + 4sinxcosx - cos²x = 0.

Так как не могут быть равными нулю одновременно, то разделив обе части уравнения на cos²x, имеем: 5tg²х + 4tg х - 1 = 0.

Обозначаяtg х = у, получаем уравнение 5у² + 4у - 1 = 0, откуда у = -1, у = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)tgx = -1, х = - + n,nZ.

2)tg х = , х=arctg + n,nZ.

Корни исходного уравнения: х = - + n, х = arctg +n,nZ.

IIIтип: a sinx + b cos x + c = 0.

Пример. 2 sinx + cosx = 2.

Используя формулы sinx = 2sincos, cosx = cos² - sin² и записывая правую часть уравнения в виде 2 = 2∙1= 2∙(cos² + sin²), получаем:

4sincos + cos² - sin² = 2cos² +2 sin².

3sin² - 4sincos + cos² = 0.

Поделив это уравнение на cos², получим равносильное уравнение

3tg² – 4 tg +1= 0.

Обозначаяtg= у, получаем уравнение 3у²- 4у + 1= 0, откуда у₁ = 1, у₂= .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)tg= 1, = +n, х =+2n,nZ.

2)tg = , =arctg+ n, х = 2arctg +2n,nZ.

Корни исходного уравнения: х = +2n, х = 2arctg +2n,nZ.

5) Уравнения вида a(sinx+cosx) + bsin2x + c = 0.

Вводя замену t = sinx + cosx, откуда t² =(sinx + cosx)² = sin²x + 2sinx∙cosx + cos²x = 1+ sin2x,sin2x = t² -1,получаем уравнение: at + b(t² – 1) + c = 0.

Пример. 4 + 4sinxcosx -5(sinx + cosx) = 0.

4 + 2sin2x - 5(sinx + cosx) = 0.

sinx + cosx = t, sin2x = t²-1.

4 + 2(t²-1) - 5t = 0,

2t² -5t + 2 = 0.

t₁ = , t₂= 2,

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)sinx + cosx = , (решим методом дополнительного угла)

( sinx +cosx) = , cos sinx + sin cosx = ,

sin (x + ) = , x + = (-1)ⁿ arcsin + n,

x = - + (-1)ⁿ arcsin + n, n Z.

2) sinx + cosx = 2, sin(x + ) = ,

sin(x + ) = нет корней, т.к. | +)| ≤ 1.

Корни исходного уравнения: x = - + (-1)ⁿarcsin +n,nZ.

6)Уравнениявида a cos 2x + b cos x + c = 0 (a cos 2x + b sin x + c = 0).

В решении используется тождество: cos 2x = cos²x – sin²x = 2 cos²x -1 =1 - 2 sin²x.

Пример. 2 - cos 2x + 2cos( +x) = 0.

1. Воспользуемся формулой приведения:cos( +x) = - sinx, получим уравнение:

2 - cos 2x - 2sinx = 0.

2. Теперь cos 2x удобнее выразить через sin²x, поскольку в уравнении присутствует sinx.

2 - (1 - 2 sin² x) - 2 sin x = 0; 1 + 2 sin² x - 2 sin x = 0; 2 sin² x - 2 sin x + 1 = 0,

- 2 sin x + 1= 0, = 0, sin x = 1, sin x = .

х = arcsin + n = + n, n Z .

Корни исходного уравнения: х = + n,nZ .

7) Уравнения, содержащие сумму cos⁴x и sin⁴x.

Пример. cos⁴x + sin⁴x - 2 sin 2x + sin² 2x = 0.

Преобразуемсумму:

cos⁴x + sin⁴x = cos⁴x + sin⁴x + 2 sin²x cos²x - 2 sin²x cos²x = (cos²x + sin²x)² - (2sinx cosx)² =

1 - sin² 2x, тогда уравнение принимает вид:

1 - sin²2x - 2 sin 2x + sin² 2x = 0, 4 - 2 sin²2x - 8 sin2x + 3 sin²2x = 0,

sin²2x - 8 sin2x + 4 = 0.

Пусть у = sin 2x, тогда у² - 8у + 4 = 0.

у_1,2= 4 ± = 4 ± = 4 ± 2

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)sin 2x = 4 - 2

2х = arcsin (4 - 2 ) + n, n Z,

х = arcsin (4 - 2 ) + , n Z.

2)sin 2x = 4 + 2 нет корней, т.к. | sin 2x| ≤ 1.

Корни исходного уравнения: х = arcsin (4 - 2 ) + , nZ.

8) Уравнения, содержащие разность cos⁴x и sin⁴x.

Пример. cos⁴ x - sin⁴ x + 3sin x - 2 = 0.

Упростимразность: cos⁴ x – sin⁴ x = (cos² x – sin²x) (cos² x + sin² x) = cos 2x∙1=1 - 2 sin ²x.

Далее получаем: 1 - 2 sin²x + 3 sinx - 2 = 0, 2 sin²x - 3 sinx + 1 = 0.

Введем замену t = sinx, получим квадратное уравнение 2t² – 3t +1 = 0,корни которого

t₁ =1, t₂ = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) sin x = 1, x = +2 n, n Z.

2) sin x = , x = arcsin + n = + n, n Z

Корни исходного уравнения: x = +2n, х = + n,nZ .

9) Более сложные уравнения.

Пример. 1) 6tgx + 5 ctg 3x = tg 2x.

ОДЗ уравнения: cosx ≠ 0, sin 3x ≠ 0, cos 2x ≠ 0.

Запишем уравнение в виде: 5tgx + 5 ctg 3x = tg 2x - tgx и заменим

tgx = , ctg 3x = ,tg 2x = , получим: 5 = -

Приводим к общему знаменателю обе части уравнения:

=.

Числитель левой части уравнения представляет собой косинус разности двух углов, а числитель правой части уравнения представляет собой синус разности двух углов:

=; = ; 5 cos²2x = sin 3x sin x.

Заменяя правую часть уравнения полуразностью косинусов:

sin 3xsinx = (cos(3x - x) - cos (3x + x)) = (cos 2x - cos 4x) и умножая обе части уравнения на 2, имеем: 10cos²2x = cos 2x - cos 4x, 10cos²2x - cos 2x + cos 4x = 0,

10cos²2x – cos 2x + 2cos²2x + 1 = 0, 12cos²2x – cos 2x + 1 = 0.

Сделав замену cos 2x =у, получим квадратное уравнение: 12у² - у - 1 = 0.

у_1,2= = = .

у₁ = = = , у₂ = = = - .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) cos 2x = , 2х = ± arccos + 2 n, x = ± arccos +πn, n Z

2) cos 2x = - , 2х = ± arccos (- ) + 2 n, x = ± ( -arccos) + n, n Z

Корни исходного уравнения: x = ± arccos +n, x = ± ( -arccos) +n,nZ.

2) tg 2x + sin 2x = 4 ctg x.

Воспользуемся следующими формулами: tg 2x = , sin 2x = , ctgx = .

Однако в этом случае возможна потеря решений x = +n,nZ. Поэтому необходимо проверить, не являются ли углы x = +n решениями исходного уравнения:

tg 2 + sin 2 - 4ctg= tg + sin - 4ctg =

=tg + sin – 4ctg= 0 + 0 – 0 = 0.

Итак,x = +n,nZ, - решения исходного уравнения.

Далее: + = ; tgx = ; = ;

=

Решим уравнение

Произведя замену у = tg²x, у ≥ 0, имеем у² + у - 1 = 0, откуда у_1,2 = .

у = условию у ≥ 0 не удовлетворяет, следовательно,tg²x = .

|tgx |= , tgx = ± , х = ± arctg +n, n Z.

Корни исходного уравнения: x = +n, х = ± arctg +n, nZ.

Литература:

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М."Дрофа",1999г.

Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.

Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.

Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/34471-trigonometricheskie-uravnenija-reshaemye-s-po