Прототипы задания 8. ЕГЭ (базовый) 2019г

Прототипы задания №8 . ЕГЭ (базовый) 2019г.

Магометова Х. Н. МБОУ СОШ№1 с. Кизляр

Задание 8. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SO = 9, SC = 15. Найдите длину отрезка BD.

Решение.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат с равными диагоналями AC=BD, точка O лежит на их пересечении и делит диагонали пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC, в котором известна гипотенуза SC=15 и катет SO=9. По теореме Пифагора находим второй катет OC:

Следовательно,

BD=AC=2OC=2∙12=24

Ответ: 24.

Задание 8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 9, SC = 15. Найдите длину отрезка BD.

Решение:

Так как пирамида правильная, то основанием пирамиды является квадрат, BD = AC.

Точка О – середина BD и AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSOC.

По теореме Пифагора: SC² = SO² + OC²

OC² = SC² – SO²

OC² = 15² – 9² = 225 – 81 = 144

OC = 12

BD = AC = 2OC = 2·12 = 24

Ответ: 24

Задание 8. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

Площадь поверхности шара равна , отсюда имеем:

.

Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле

,

где h – высота цилиндра. В задании предполагается, что высота h=2R – диаметру шара. Подставляя это значение в формулу, получаем:

Ответ: 39.

Задание 8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Решение.

Многогранник представляет собой пирамиду с основанием ABC и высотой AA1. Объем пирамиды можно найти по формуле

.

В задаче дана площадь основания, равная 2 и длина бокового ребра AA1=3. Следовательно, объем пирамиды, равен

.

Ответ: 2.

Задание 8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки ABCA1C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Решение.

На рисунке красными линиями изображена пирамида, объем которой требуется найти. Объем этой пирамиды можно найти как разность объема исходной призмы и объем пирамиды A1C1B1B, у которой известна площадь основания 3 и высота BB1=2, получим

а весь объем призмы

.

Тогда объем искомой пирамиды (отмеченной красными линиями), равен

.

Ответ: 4.

Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, B1, С1, правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 7.

Решение.

В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, площадь которого равна 9. В то же время, известна формула равностороннего треугольника

,

откуда имеем

и

Вычислим высоту треугольника ABC исходя из того, что высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, т.е.

.

Площадь плоскости  равна

.

Объем треугольной призмы ABCC1B1 с высотой  из точки A на плоскость BCC1B1 равна

.

Ответ: 42.

Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, В, С, D, В1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого АВ = 9, ВС = 3, ВВ1 = 8.

Решение.

Многогранник представляет собой четырехугольную пирамиду с основанием ABD и высотой h, равной BB1. Объем пирамиды можно найти по формуле

,

где. Получаем объем:

Ответ: 72.

Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины D, Е, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.

Решение.

В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже).

Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна y/2 (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание FA=x. Тогда площадь AFO S=1/2∙x∙y/2=xy/4. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота x/2, проведенная к стороне FD=y. Получаем площадь: S=1/2∙y∙x/2=xy/4. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и отсальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна 1/6 от площади основания призмы: 10/6. В результате получаем объем многогранника:

Ответ: 20.

Задание 8. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Решение.

Линейные размеры основания отсеченной призмы будут в 2 раза меньше соответствующих размеров исходной призмы. Это означает, что площадь основания в  раза меньше основания исходной призмы. Следовательно, их объемы отличаются в

откуда

Ответ: 13.

Задание 8. Площадь боковой поверхности конуса равна 30. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2 : 3 считая от вершины конуса. Найдите площадь боковой поверхности отсечённого конуса.

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой , где r – радиус основания конуса; l – длина образующей конуса. По условию задания параллельно основанию конуса проведено сечение в отношении 2:3, то есть, вся высота делится на 2+3=5 частей и 2 части соответствуют меньшему конусу. Это означает, что линейные размеры малого конуса в 5:2 = 2,5 раз меньше соответствующих размеров большого конуса. Тогда, отношение площадей боковой поверхности, равно:

и площадь боковой поверхности малого конуса:

Ответ: 4,8.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/345983-prototipy-zadanija-8egje-bazovyj-2019g