Создание проблемных ситуаций на уроках математики

Создание проблемных ситуаций на уроках математики

Подготовила учитель математики

МАОУ «Школа №74 с УИОП»

Котельникова Е.Г.

Нижний Новгород

2019 г.

Создание проблемных ситуаций на уроках математики

Тема «Периметр прямоугольника»( 5 класс)

Семья Димы летом переехала в новый дом. Им отвели земельный участок прямоугольной формы. Папа решил поставить изгородь. Он попросил Диму сосчитать сколько потребуется штакетника, для изгороди, если на 1 погонный м. изгороди требуется 10 штук? Сколько денег потратит семья, если каждый десяток стоит 50 рублей.

Проблемная ситуация: нужно найти длину изгороди (периметр прямоугольника).

Тема «Площадь прямоугольника»(5 класс)

На прошлом уроке ребята мы измеряли длину и ширину нашего класса и по формуле, нашли его периметр. Р=( а+в)х2=(6+5)х2=22м. Помните!

Посмотрите, пожалуйста, на пол. Краска сносилась, много чёрных полос. Вам нравится? Мне тоже не нравится. Я думаю, что летом нам нужно обязательно покрасить пол. Давайте с вами посчитаем, сколько денег нужно будет собрать с каждого родителя на покраску пола в классе, если 1 банка краски стоит 120 рублей и её хватает, чтобы покрасить 35 кв.м.

Проблемная ситуация. Для решения этой задачи нам нужно найти площадь пола (площадь прямоугольника) 

Тема «Проценты»(5 класс)

Вашего отца наградили премией за высокие достижения в работе. Размер премии 100 тыс. руб. Но он получит не все деньги. Вычтут подоходный налог 13%. Я хочу, чтобы вы помогли сосчитать, какую сумму он получит.

Тема «Площадь квадрата» (5 класс)

К уроку вам было дано задание из газеты склеить 1 м2. Вы сделали это? Молодцы. Давайте посмотрим, сколько человек поместится на нём. Выясняем, что 4 человека. Как вы думаете, возможно ли на квадратной площадке со стороной 30 км. поместить всё население мира ?( 6,5 млрд.)

Проблемная ситуация: нужно найти площадь площадки (площадь квадрата)

Тема «Объём прямоугольного параллелепипеда» (5 класс)

Проблемная задача №1.

Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Проблемная задача №2.

Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?  

Проблема: несоответствие  единиц измерения.

Тема «Линейные уравнения с одной переменной» (6 класс)

Учитель приводит готовое решение следующих примеров, в ходе которого допущены ошибки. При проверке ответ не сходится. Ученики ищут ошибку, тем самым решают проблему, приходят к определенным выводам и решают пример уже без ошибок.

Задача 2.1.Решить уравнение

Решение:

Задача 2.2.В решении уравнения допущена ошибка. Укажите, где?

Тема «Длина ломаной» (6 класс)

На уроке ученикам была предложена работа в 2-х вариантах: первый - начертить ломанную, состоящую из двух звеньев; второй - начертить ломанную состоящую из 3-х звеньев. Путем измерений сравнить длину ломаной с расстоянием между ее концами. Учащиеся это задание легко выполнили. Учитель некоторые из полученных результатов записывает в 2 столбика на доске:

Длина ломаной

Расстояние между ее концами

Результат у всех получается разный, но учитель просит ребят внимательно рассмотреть числа и сделать предположение о зависимости между длиной ломанной и расстоянием между ее концами. Ученик формулирует предположение: «Длина ломаной больше расстояния между ее концами» и переходит к решению его в общем виде.

Тема «Простые и составные числа» ( 6 класс)

12 сентября число 12 решило пригласить в гости всех своих делителей,

которые меньше его по величине. Первой пришла единица, за ней двойка.

Задание:запишите весь список гостей.

Когда все гости собрались, число 12 увидело, что их немного. Оно

Огорчилось и предложило, чтобы каждый из гостей привёл ещё и

своих делителей.

Вопрос:сколько придёт новых гостей?

Единица объяснила, что новые гости к ней не придут.

Наступило 13 сентября и число 13 тоже решило пригласить

в гости всех своих делителей, которые меньше его по величине.

Вопрос: кто ещё пришёл в гости к числу 13?

Д(13)=1, 13.

Такие числа называются простыми.

Задание: попробуйте дать определение

простых чисел и привести примеры.

Тема: “Координатная плоскость” (6 класс) (подводящий диалог)

В начале урока учитель можно показать классу хорошо знакомые предметы, например, шахматную доску, глобус, билет в театр. Учащиеся отвечают на вопрос: “Что объединяет все эти предметы?”.

Затем предлагается провести параллель между объектами в географии и математике.

Как описать положение точки на плоскости? – Ввести координаты на плоскости.

Какова же тема урока? - Координаты на плоскости.

Географические координаты (широта и долгота) – это воображаемые окружности на поверхности земного шара. Что можно взять на плоскости вместо окружностей? – Прямые.

Сколько прямых и каково их взаимное расположение? – Две пересекающиеся прямые.

В заключение диалога подводится итог: “Рене Декарт – великий французский математик, предложивший использовать две взаимно перпендикулярные прямые для введения координат на плоскости, в последствии названные – декартовой системой координат”.

Тема « Длина окружности» (6 класс)

1.На представлении в цирке кошка показала необычайно развитый вестибулярный аппарат. Она пробежала 75 раз в колесе, диаметр которого 75 см. Какое расстояние она пробежала?

Число П округлить до единиц.

2.Яркий номер программы «Слонята на шарах». По арене на шарах движутся слоны. Радиус большого шара 1,5 м и он сделал 4 оборота. Меньший шар, радиусом всего 1 м, преодолел расстояние на 50% больше. Сколько оборотов сделал меньший шар? (п=3)

3.3.По арене цирка, диаметр которой 20 м, скачут лошади. Сколько кругов они проскачут за 2 минуты?

Тема «Площадь» (6 класс)

Как разобраться какое печенье больше? Нужно определить, какое из них занимает больше места на плоскости. Эта величина называется площадью. На глаз сравнить площади нельзя. В таком случае используют способ наложения фигур. Как видите круг поместился внутри квадрата, значит его площадь меньше.

Тема «Масштаб» (6 класс)

За лесами, за горами, за широкими морями,

Не на небе – на земле, жил старик в одном селе.

У крестьянина три сына: старший умный был детина,

Средний был и так и сяк, младший вовсе был дурак.

Братья сеяли пшеницу, да возили в град – столицу,

Знать столица та была недалече от села…

Задание:узнать расстояние отсела до столицы, если известно, что на карте расстояние между этими пунктами 3 см, а масштаб карты 1:50000.

Тема «Сумма углов треугольника» (7 класс)

Учитель читает условие задачи, ученики анализируют его и выявляют ошибки, тем самым мы можем проверить учеников на внимательность. В данных задачах следует вспомнить теорему о сумме углов треугольника, полагаясь на данную теорему, мы придем к выводу, что не все условия задач поставлены корректно, тем самым некоторые треугольники не существуют.

Задача 1.1.Построить треугольник по трем заданным углам:

Задача 1.2.Два угла треугольника равны 121º и 59º. Найти величину третьего угла.

Геометрия (7 класс) Обманные задачи

1).Построить треугольник со сторонами 2; 3 и 5 см.

2).Больший угол треугольника равен 50◦. Найти остальные углы.

3). Две стороны треугольника перпендикулярны третьей. Определите вид треугольника.

4). Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 75◦. Чему равны углы треугольника?

5). Диагональ ромба в 2 раза больше его стороны. Найти углы ромба.

Тема: «Линейная функция»( 7 класс)

Обычная форма задания:

функция задана формулой У = Х + 5

найдите значение функции при Х = 0, 7, -5, 1.

Занимательная форма задания: Приглашаю к доске ученика, даю ему карточку, на которой

написано У = Х + 5. На доске заготовлена таблица:

 Ученик из класса называет какое-нибудь значение Х. Ученик у доски вписывает это число в таблицу и, поставив его в формулу, находит и вписывает в таблицу соответствующее ему значение У. Затем другой ученик из класса называет другое значение Х и ученик у доски проделывает те же операции. Задача класса – “угадать” формулу, записанную на карточке. Проблемная ситуация создана. Выигрывает тот ученик, который первый назовет формулу.

Тема: «Формулы сокращённого умножения» (7 класс)

Преступники украли в банке большую сумму денег. Их поймали, но похищенную сумму установить не удалось. Преступники категорически отказываются назвать её, утверждая, что записали это число в виде степени и зашифровали не только основание, но и её показатель. Экспертам удалось узнать основание степени. Это число 597. Но каким был показатель не говорят. После очередного допроса преступники сказали, что показатель степени является корнем уравнения

( 2y +1)² – 4y² =9

y = 2

597² = (600 – 3)² =600² -2 х 600 х 3 + 3² = 360000 – 3600 + 9 =356409

Тема « Формулы корней квадратного уравнения» (8 класс)

Перед изучением темы о формуле корней квадратного уравнения учитель может обратить внимание на примеры, решенные на предыдущем уроке и дома способом выделения квадрата двучлена, и предложить для сравнения решить следующие уравнения: х2 + 8х – 10 = 0

Ребята приступают к работе и выполняют задание так:

х2 + 2 * 4х + 16 – 16 – 10 = 0

(х + 4)2 – 26 = 0

Примеры типа ( х+а )2 ± b = 0, где b не является квадратом целого числа, учащиеся еще не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам способ решения квадратных уравнений выделения квадрата двучлена универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объявляет новую тему урока, а ученики психологически готовы ее воспринять.

Тема: «Теорема Виета» (8 класс)

Урок начинается с исторической зарисовки (на слайде – портрет Франсуа Виета).
XVI век. Франция. Адвокат и советник короля Генриха III Франсуа Виет, будучи выдающимся математиком, сумел раскрыть ключ шифра, состоявшего из 500 знаков, с помощью которого враги короля вели переписку с испанским двором. Но среди математиков Виет известен своей теоремой о свойствах корней квадратного уравнения.
Далее учащимся предлагаются задания: 

1) Запишите данные уравнения в тетрадь и подчеркните те из них, которые имеют общее отличие от остальных. Укажите это отличие.

а) - 5х² - 6х + 1 = 0; б) 6d² - 5d – 1 = 0; в) х² - 5х + 6 = 0;
г) 7х² - 6х + 2 = 0; д) z² + 8z + 15 = 0; е) t² - 3t – 4 = 0.

После выполнения этого задания даем определение приведенного квадратного уравнения, записываем его в общем виде, вводим обозначение коэффициентов.

2) Решите приведенные квадратные уравнения и найдите сумму и произведение корней.
На доске записываем только условие приведенного квадратного уравнения, сумму и произведение корней: 

3) Сравните полученные числа и коэффициенты. Что интересного вы заметили?
Запишите это свойство для уравнения х² + px + q = 0.

х² + px + q = 0

х₁ + х₂  = - p,
х₁ · х₂  = q

Далее учитель подводит итог работы: именно эту зависимость для любого квадратного уравнения и увидел Франсуа Виет.

ax² + bx + c = 0 | : a
x² + x + = 0

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида: 

х₁ + х₂ = - ,
х₁ · х₂ = 

Тема «Квадратные уравнения»(8 класс)

  Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами  равняться 2006? 2008?

Решение. У квадратного уравнения ax²+bx+c=0, где a,b,c Є Z  дискриминант D= b²-4ac.

 Так как D=2006,то найдем целые решения уравнения b²-4ac=2006.Так как правая часть уравнения делится на 2, то и левая часть должна делиться на 2, поэтому b=2k,тогда 4k²-4ac=2006.Разделив обе части уравнения на 2, получим 2k²-2ac=1003. В левой части уравнения получилось четное число, а в правой- число нечетное. Поэтому уравнение решений в целых числах не имеет. Для числа 2008 имеем b²-4ac=2008, так как b=2k,то получим: 4k²-4ac=2008. Разделив на 4 обе части уравнения , получим: k²-ac=502. Данное уравнение имеет решения в целых числах, например: a=1, c=27,k=23. Тогда уравнение x²+46x+27=0 имеет D=2116-4·1·27=2008. 

Тема «Теорема Пифагора» (8 класс)

На охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причём стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достается козёл, если известно, что высота одной скалы 40 м, второй 20 м, а расстояние между скалами 100м?

Тема «Свойство вписанных углов, опирающихся на полуокружность» (8 класс)

Перед изучением темы ученики получают такое практическое задание на дом: «Дана прямая l и две точки А и В вне ее. С помощью угольника найти на прямой l такую точку С, чтобы угол АСВ был прямым». Предупреждаю о возможности нескольких решений и требую рассмотреть различные положения точек А,В и прямой l. Дома учащиеся, взяв в помощь угольник, сопоставят его стороны с точками А и В, а затем начнут вертеть угольник, пытаясь найти нужную точку на прямой. В зависимости от расположения точек А,В и прямой l, они ее либо найдут (возможны два решения) либо – нет.

При проверке домашнего задания (перед изучением новой темы), задаю вопрос классу: «Нельзя ли решить эту задачу с помощью циркуля и линейки?» Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. И некоторым из них придет в голову мысль, что, сами того не зная, они пользовались свойством циркуля. А будут и такие, кто уже дома догадается использовать циркуль в работе. Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, при этом новый материал может рассказать учитель, а лучше провести урок в форме беседы (с помощью системы вопросов и ответов). В конце урока дается возможность уже четко ответить на поставленный ранее вопрос.

Тема «Иррациональные уравнения» (8 класс)

Дается задание: проверьте может ли число 5 быть корнем иррационального уравнения √х-6=√4-х ? (нет, при х=5 уравнение не имеет смысла). А если бы нам нужно было решить это уравнение, то какой способ решения вы смогли бы предложить? (возведение обеих частей в квадрат).

х-6 = 4-х <=> 2х = 10 <=> х = 5.

Тема «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»(9 класс)

Изучение вопроса о сумме n–первых членах арифметической прогрессии в 9-ом классе начинаю с рассказа: “Примерно 200 лет тому назад в одной из школ Германии на уроке математики учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 натуральных чисел. Все принялись подряд складывать числа, а один ученик почти сразу же дал правильный ответ. Имя этого ученика Карл Фридрих Гаусс. В последствии он стал великим математиком. Как удалось Гауссу так быстро подсчитать эту сумму?”

Проблемная ситуация: как найти быстро сумму первых 100 натуральных чисел?

Решение проблемы (1 + 100) х 50 = 5050

Последовательность чисел 1, 2, 3,…,100 является арифметической прогрессией. Теперь выводим формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Тема «Геометрическая прогрессия» (9 класс)

Человек посадил пару кроликов в загон. Сколько пар кроликов за год может произвести эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Тема «Возрастание и убывание функций».(9 класс)

До объявления темы урока предложить учащимся решение двух уравнений:

Х³ = 27 х² = 9

х³ =33 х²= 32

х = 3 х = 3

Уравнения решены одним и тем же способом и относятся к одному классу. Верно ли решены уравнении? (Второе уравнение решено неверно, кроме корня 3 имеет еще корень х = -3). У учащихся возникает вопрос почему? Решая эти уравнения мы выяснили при каких значениях аргумента х функция х3 принимает значение 27, а функция х2 – значение 9? Результаты получились различные. В чем же дело? Очевидно дело в функциях х³ и х². Вероятно, что между функциями и х2, которые относятся к одному классу функций существует весьма существенное различие? Для его отыскания ученикам предлагается начертить схематически графики функций и выяснить сколько раз функция х3 может принимать значение равное 27, а х2 – значение 9? После этого ученики легко видят, что каждое свое значение х3 принимает только один раз, что нельзя сказать о функции х2. Вспоминают как называются такие функции. Затем сообщается тема урока и идет работа над определениями возрастающей и убывающей функций.

Тема «Исследование функции с помощью производной»(10 класс)

Предлагается вопрос: Как понять это утверждение: «Неважно сколько ученик знает, но важно, чтобы у него была положительная производная»? При обсуждении учащиеся приходят к выводу: это означает, если скорость приращения знаний у ученика будет положительной, то его знания возрастут. Предлагается охарактеризовать три разные кривые роста знаний, изображённые на рисунке. Данные графики позволили проанализировать деятельность и результативность трех человек, проведено исследование.

Переходим к теме урока «Исследование функции с помощью производной и построение его графика». Повторив понятие касательной к графику функции, и связав её угловой коэффициент с производной функции в данной точке, предлагается взять несколько точек на кривой графика и провести в них касательные. В чем их различие? Графики касательных либо возрастают, если коэффициент больше нуля либо убывают, если их коэффициент меньше нуля. Значит, производная функции связана с самой функции еще и тем, что, если производная больше нуля, то сама функция на данном интервале возрастает, если производная функции меньше нуля, то сама функция будет убывать.

Этот вывод дают сами учащиеся. Тут же у кого-то возникает идея, значит, если я буду знать график производной, то можно схематически набросать и график самой функции. Даю учащимся возможность построить схематически графики функций по заданному графику производной. И снова проблема: как же построить саму функцию? Что не достает для построения? Идет поиск решения возникшей проблемы.

Логарифмирование ( 11 класс)

 До сообщения темы дается самостоятельная работа практического характера. С помощью графика функции y=lg x найти значения lg 1,5; lg 4 и lg 6. Сравнить значение выражений  lg 1,5 + lg 4 и lg (1,5*4). После проверки результатов (на доске заранее выписаны выражения из различных вариантов) учащиеся выдвигают гипотезу lg a+lg b= lg (ab), a>0, b>0.

Тема «Перпендикулярность плоскостей»(10 класс)

Учитель начинает урок не с объявления его темы, а с беседы о реальной ситуации, в которой невозможно верно решить вопрос и привлечения математики. Учитель напоминает о кладке стен, которую школьники наблюдали не раз. Вертикальность стен является правилом строителей. Правда, имеется несколько зданий, построенных с нарушением этого условия (наклонные башни в Ницце, шаровой дом в Дрездене), но известно что, с какими трудностями было связано их возведение и какие меры приходится принимать, чтобы эти сооружения не рухнули. Как же осуществляют строители контроль за вертикальностью стен? Выясняется, что для этого используют отвес. Естественно возникает вопрос: правильно ли поступают строители, является ли такая проверка достаточной? Проблема сформулирована, но пока класс ответить на поставленный вопрос не может. Несколько позже, рассмотрев одно из свойств перпендикулярных плоскостей, учащиеся смогут это сделать и только теперь объявляется тема урока. После доказательства теорем о перпендикулярных плоскостях учащиеся возвращаются к выдвинутой проблеме.

Список литературы:

Кульневич С. В., Лакоценина Т. П.  Современный урок. Часть 3 «Проблемные уроки»- Научно-практическое пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений студентов и аспирантов пед.учебных заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Изд-во «Учитель», 2006 – 288с.

В. В. Шрган Технология личностно-ориентированного урока. – ростов н/Д: Изд-во «Учитель», 2003-160с.

3.      Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении  М. Педагогика 1972.

4.       Бабанский Ю. К. Проблемное обучение как средство повышения эффективности учения школьников. — Ростов -на -Дону, 2004.

5.       Громцева С. Н. Поиск новых путей. —  М.: «Просвещение», 2000.

6.      Кулешова Л. Е. Нестандартные формы организации урока. —  Краснодар, 2000.

7.      Фоменко В. Т. Современный образовательный процесс: содержание, технологии, организационные формы. — Ростов -на -Дону, 2006.

8.      Закон Российской Федерации «Об образовании»

9.      Селевко Г. К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. —  М.: Народное образование, 2002

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/360003-sozdanie-problemnyh-situacij-na-urokah-matema