Решение уравнений и задач с параметрами

Программа элективного курса

Решение уравнений и задач с параметрами

Содержание.

1. Пояснительная записка.

2. Тематический план.

3. Краткое содержание изучаемого материала и некоторые примеры.

4. Вывод.

5. Список литературы.

Пояснительная записка.

В последние годы на выпускных и вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задачи с параметрами, которые у учащихся вызывают немалые затруднения, т.к. в школьном учебнике задачи такие отсутствуют.

Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенств, а также учитывать выполнимость производимых операций.

Цель данного курса – показать учащимся разнообразие задачи по теме, задачей которого является научить методам решения таких задач на основе часто встречаемых типов. Курс рассчитан на последовательное изучение его, начиная с линейных уравнений, содержащих параметры. Данный курс позволит учащимся учиться обобщать и конкретизировать. Объекты математических умозаключений вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Так же формулируют алгоритмическое мышление, воспитывает умение действовать по заданному образцу.

Задача курса – за короткое время овладеть расширенными знаниями по решению уравнений и систем уравнений, необходимых для применения в практической деятельности. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование мышления, а также повышение математической культуры учащихся в рамках школьной программы.

Тематический план.

Краткое содержание изучаемого курса и некоторые примеры.

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнение с параметрами задает множество уравнений ( для всех возможных значений параметров).

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Ответ к задаче «решить уравнение с параметрами» должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет корни…., при таких-то значениях параметров – корни….., при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.

Линейные уравнения.

Уравнение вида Ах=В (1), где А, В-выражения, зависящие от параметров, а х- неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Схема исследования:

если А=0, В 0, то имеем 0*х=В, уравнение не имеет решений.

Если А=0, В=0, то 0*х=0, уравнение имеет решением множество всех действительных чисел.

Если А 0, В-любое, то уравнение имеет единственное решение х= .

Замечание: если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначало нужно привести его к стандартному виду (1) и только после этого проводить исследование.

Проследим схемы исследования на примерах:

П1. Для всех значений параметра К решить уравнение (К+4)*Х=2К+1.

Решение: Уравнение записано в стандартном виде.

Если К+4=0 т.е. К=-4, то уравнение имеет вид 0*Х=-7, т.е. не имеет решений: Х Ø

Если К-4, то Х= - единственное решение.

Ответ: если К=-4, то Х Ø, если К -4, то Х=

П2. Для всех значений параметра а решить уравнение:= .

Решение: уравнение равносильно системе:

еслиа=2, то 0*Х=-7, уравнение не имеет решений, т.е.Х Ø

еслиа2, то Х= .

Найдем значения параметра, при которых Х=2а или Х= .

Имеем [ .

Таким образом, если а= , то исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ: а , то Х Ø; а , то Х= .

П3. При каких значениях параметра а и в уравнение (2а-в+1)*х+2а+в-3=0 имеет не менее двух различных решений.

Решение: Относительно множества решений любого линейного уравнения возможны лишь следующие случаи: решение единственно, нет решений и множество решений совпадает с множествомR. Поэтому если линейное уравнение имеет не менее двух различных решений, то обязательно множество решений уравнения совпадает с R. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при х и свободный член уравнения одновременно равны 0, т.е.

Ответ: при а= , в=2.

П4. При каких значениях параметров а и в уравнение (2а+в)х=а+в-1 не имеет решений.

Решение: В данном случае необходимо и достаточно , чтобы

или, что равносильно,

Ответ: при аили а= .

2.Системы линейных уравнений.

Определение: Система вида { гдевыражения , зависящие от параметров, а х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Если из какого- нибудь уравнения системы можно найти одну из неизвестных х или у через другую, то, подставив найденную неизвестную в другое уравнение, получим линейное уравнение с параметрами относительно одной неизвестной. Тем самым, исследование системы сведется к исследованию линейного уравнения.

Если системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы:

Теорема.

Если главный определитель 0, то система имеет единственное решение, определяемое по правилу Крамера:

Если0 и хотя бы один из вспомогательных определителей или не равен нулю, то система не имеет решений.

В случае 0, систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, система сводится к одному линейному уравнению.

В случае 0 часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение 0, найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую и надо исследовать.

П.1. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Решение. Из второго уравнения найдем х=1-ау и подставим в первое уравнение:

а(1-ау)-3ау=2а+3-а(а+3)у=а+3.

Возможны случаи.

а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 у Ø. Следовательно, при а=0 система не имеет решений.

а=-3. Тогда 0*у=0. Следовательно, уПри этом х=1-ау=1+3у.

а 0 и а -3. Тогда

у=- , х=1-ау=1-

Ответ: если а=0, то (х;у) Ø; если а=-3, то х=1+3у, у

если а 0 и а -3, то х=2, у=- .

П.2. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Решение. Найдем определители системы

(

1) и Тогда

2) или При определители Тогда система имеет вид

При определитель Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

Ответ: если и то

если то €R, y=

если то Ø.

3. Задачи, предлагаемые централизованным тестированием.

П.1. При каких значениях а и в система не имеет решений.

Решение: Решение системы сведем к исследованию линейного уравнения.

Умножим второе уравнение системы на (-5), первое на (3) и сложим уравнения:

12у-10ау=3-5в, у(12-10а)=3-5в (1).

Уравнение (1) не имеет решения, если оно имеет вид у*0=к, т.е. 12-10а=0 и 3-5в 0, т.е. а= , в

Ответ: а= , в

П.2 При каких значениях а прямые 2х+ау=-2 и 4х+3у=3 пересекаются.

Решение: Прямые пересекаются, если система уравнений имеет единственное решение.

Первое уравнение умножаем на (-2) и сложим со вторым:

-2ау+3у=4+3, у(-2а+3)=7.

Если -2а+3т.е. ато система имеет единственное решение.

Ответ: а

П.3 При каких значениях а и в система уравненийимеет бесконечное множество решений?

Решение:

Первое уравнение умножим на 3 и сложим со вторым:

3ах+10=-3+в+3, х(3а+10)=в.

Если уравнение имеет вид х*0=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: а=- в=0.

П.4. При каких значениях а точка пересечения прямых 3х+10у=3 и 3х+5ау=5 имеет отрицательную ординату?

Решение: Если прямые пересекаются, значит, система уравненийимеет единственное решение.

Вычтем из первого уравнения второе: 10у-5ау=-2, у(10-5а)=-2.

Если 10-5а 0, т.е. а 2, то у=- .

у<0, при - <0, т.е. >0, 10-5а>0, т.е. а<2.

Ответ: при а<2.

4.Линейные неравенства.

Определение:

Неравенства Ах>В, Ах<В, Ах≥В, Ах≤В, где А, В-выражения, зависящие от параметров, а х- неизвестное, называется линейными неравенствами с параметрами.

Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений заданного неравенства.

Неравенство вида Ах>В, решается по схеме:

если А>0, то х>В/А.

если А<0, то х<В/А.

если А=0, то неравенство имеет вид 0*х>В. При В≥0 неравенство имеет пустое множество решений; при В<0 решением неравенства будет множество всех действительных чисел.

П.1. Для всех значений к решить неравенство (к+4)х+2к-1≤0.

Решение:

Запишем неравенство в стандартном виде:

(к+4)х≤1-2к 1)к+4>0 к>-4, тогда х≤ ;

2)к+4<0 к<-4, тогда х≥

3)к+4=0 к=-4, неравенство имеет вид 0*х≤9.

Это неравенство верно при любых х, поэтому решением будет множество всех действительных чисел.

Ответ: если к>-4, то х≤если к<-4, то х≥ ; если к=-4, то х€R.

П.2. Для всех значений параметров а и в решить неравенство (а+2)х<в-а.

Решение: 1) а+2>0а>-2, тогда х< ;

а+2<0а<-2, тогда х> 3) а+2=0 а=-2, неравенство имеет вид 0*х<в-2.

Если в-2>0в>2, то это неравенство верно при любых х, поэтому решением будет хЕсли в-2≤0 в≤2, то х€Ø.

Ответ: если а>-2, в- любое, то х<если а<-2, в- любое, то х>

Если а=-2, в>2, то х если а=-2, в≤2, то х Ø.

П.3. Найти область определения функции ƒ(х)=

Решение: Т.к. выражение, находящееся в знаменателе, должно быть отлично от нуля, а выражение, находящееся под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то Д(ƒ) будет множество решений системы:

.

Изобразим решение полученной системы на числовой оси. При этом возможны следующие случаи расположения точек а и 3 относительно друг друга.

точка а находится левее точки 3, т.е. а<3. Тогда Д(ƒ)=(-∞;а)

точки а и 3 совпадают, т.е.а=3, тогда Д(ƒ)=(-∞; 3).

Точка а находится правее точки 3, т.е. а>3, тогда Д(ƒ)= .

Ответ: если а<3, то Д(ƒ)= ;

Если а=3, то Д(ƒ)= ;

Если а>3, то Д(ƒ)=

П.4. При каких значениях параметра а неравенство ( выполняется для всех х.

Решение: Неравенство Ах≤В выполняется для всех х, тогда и только тогда, когда А , В≥0. Следовательно, или

Ответ: а=1.

5. Простейшие рациональные уравнения и неравенства.

П.1. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение: Уравнение равносильно системе

Возможны случаи:

1) Тогда система примет вид

2) Тогда

3) Тогда и поэтому уравнение имеет два решения

и

Ответ: если то

Если то

Если и то

П.2. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение: Неравенство равносильно системе

Возможны случаи:

1) >1. Тогда

2) Отсюда < Т.к.то<-1.

3) > <1.

Отсюда

Ответ: если <1, то

Если то

Если >1, то

Квадратные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств второго порядка.

Квадратные уравнения.

Уравнение вида Ах +Вх+С=0, где А, В, С – выражения, зависящие от параметров, А 0, а х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.

В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.

1) Если А=0, то имеем линейное уравнение Вх+С=0.

2) Если А 0 и дискриминант уравнения D=В -4АС<0, то уравнение не имеет действительных решений (х€Ø).

3) Если А 0 и D=0, то уравнение имеет единственное решение х=-или, как еще говорят совпадающие корни

4) Если А 0 и D>0, то уравнение имеет два различных корня

П.1. Найти все значения параметра а , для которых квадратное уравнение

(а-1)х + 2(2а+1)х+4а+3=0

А) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет один корень.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1

0 а . Рассмотрим дискриминант уравнения

D=4(2а+1) -4(а-1)(4а+3)=4(5а+4).

Согласно схеме исследования, имеем:

А) ;

Б) ;

В) .

Ответ: если и то уравнение имеет два различных корня; если то оно не имеет корней; если то оно имеет один корень.

П.2. При каких значениях параметра а уравнение (а+6)х +2ах+1=0 имеет единственное решение.

Решение: По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому надо рассмотреть два случая.

а+6=0а=-6. При этом получаем линейное уравнение -12х+1=0, которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить.

а -6. В этом случае уравнение является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант D=4а -4(а+6)=4(а -а-6) равен нулю, т.е. а -а-6=0

Ответ: при а .

П.3. При каких значениях параметров а и в уравнение

(а +а-6)х +(а-в+4)х+а +4а+3=0

Имеет не менее трех различных решений.

Решение: Если квадратное или линейное уравнение имеет более двух различных решений, то обязательно имеет бесконечное множество решений, совпадающее с R. Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение имеет вид 0х +0х+0=0, т.е.

Ответ: при а=-3, в=1.

Теорема Виета.

При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.

Теорема Виета. Если корни квадратного уравнения Ах +Вх+С=0, А , то

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах +Вх+С были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D=В -4АС≥0,>0.

При этом оба корня будут положительны, если >0, и оба корня будут отрицательны, если<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах +Вх+С были действительны и оба неотрицательны или оба неположительны, необходимо и достаточно выполнение условий: D=В -4АС≥0,≥0.

При этом оба корня будут неотрицательны, если ≥0, и оба корня будут неположительны, если≤0.

Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах +Вх+С были действительны и имели разные знаки , необходимо и достаточно выполнение условия: <0. При этом условие D=В -4АС>0 выполняется автоматически.

Приведенные теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием расположения корней квадратного уравнения относительно точки х=0, т.е. связанных с исследованием их знаков.

Кроме того, при решении задач, связанных с теоремой Виета, часто используются следующие равенства: х +х =( -2

х +х =(

;

(

,

при ≥0,≥0;

,

при >0,>0.

Пример 1: При каких значениях параметра b уравнение

а) имеет корни; б) не имеет корней?

Решение:; D =

а), но , следовательно, ;

если, то уравнение корни имеет.

б) – при любых значениях b, кроме нуля;

еслиb Î (– ¥; 0) È (0; + ¥), то исходное уравнение корней не имеет.

Пример 2: Решите относительно х уравнение

Решение

В первую очередь, обратить внимание учащихся на коэффициент перед х².

1) если m = 0,то

2) если m¹ 0, то D = 36 – 4m

а) 36 – 4m > 0

,

б) 36 – 4m = 0, m = 9, х =

в) 36 – 4m < 0, m > 9, исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если m Î (– ¥; 0) È (0; – 9), то

еслиm = 0, то х =

Пример 3: При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ¹ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант – положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: или .

Решение уравнений на расположение корней квадратного уравнения, графический метод решения уравнений с параметрами, в том числе, уравнений с модулями.

Пример 1: Найдите число решений уравнения в зависимости от параметра а.

Решение: Построим график функции .

В ыделим полный квадрат

Уравнение имеет столько решений, сколько раз прямая пересекает график функции . На рисунке видно:

1) если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

2) если , то графики имеют две общие точки, т.е. два решения;

3) если , то графики пересекаются в четырех точках – что дает четыре решения;

4) если , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

5) если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

Пример 2: Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет не менее трех корней.

Решение: При имеем , которое равносильно совокупности уравнений

или

При исходное уравнение будет иметь вид . Это равносильно , или

Построим графики левых частей полученных четырех уравнений

На рисунке видно, что данное уравнение имеет не менее трех решений, если прямая пересекает график в трех или в четырех точках.

Это достигается в том случае, если

Ответ: при уравнение имеет не менее трех корней.

Проверочная работа.

Предлагается решить выборочно несколько заданий 5 минут.

Ученик должен правильно оценить свои возможности при выборе уровня сложности.

Критерии оценивания: «3» - 3 - 4 балла, «4» - 5 – 7 баллов, «5» - 8 баллов.

Тестирование

Тест состоит из 5-ти заданий, последнее из них более сложное. Для каждого задания предлагается три ответа, один из которых правильный, а два другие – неверные. Класс делится на 2 варианта. Каждому ученику дается карточка с заданиями соответствующего варианта.

Вариант 1

1. Решите уравнение относительно х.

а), при m¹ 0.

б)1) при m= 0 корней нет;

2) при m¹ 0 ;

в)1) при m= 0 корней нет;

2) при m¹ 0 .

2. Решите уравнение относительно х.

а)1) при ;

2) при корней нет;

3) при

б)1) при ;

2) при корней нет;

3) при

в)1) при ;

2) при корней нет;

3) при ;

4) при

3. При каких значениях b уравнение имеет отрицательное решение?

а) при b < 1; б) при b > 1; в) при b < –2.

4. При каких значениях апроизведение корней уравнения равно нулю?

а) при ; б) при ; в) при .

5. При каком значении bсумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

а) таких значений нет; б) при ; в) при .

Ответы

Задания на расположение корней квадратного уравнения:

1.При каких значенияхуравнениеимеет решения, удовлетворяющее условию ?

2.При каких значенияхуравнениеимеет корни разных знаков?

3.При каких значенияхуравнениеимеет корни итакие, что ?

4.Найдите все значения, при которых корни уравнения меньше, чем 1.

5.Найдите все значения, при которых один из корней уравненияменьше 1, а другой больше 1.

Литература:

Сборник задач по алгебре для 8-9 кл., М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман.

Дополнительные главы к школьному учебнику Алгебра – 9 класс

3. Задачи по элементарной математике А.В. Мерлин, Н.И. Мерлина, г.Чебоксары

4.Уравнения и неравенства с параметрами В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров, г.Чебоксары

5. С.А. Тынянкин «514 задач с параметрами», г. Волгоград

6. Г.А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами». М.: «Просвещение», г.Москва

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/360468-reshenie-uravnenij-i-zadach-s-parametrami