Научная работа по математике Инвариант

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся «Шаги в науку»

Направление: математика

Поиск инварианта

Склез Луиза,

ГБОУ СОШ №3 г. Новокуйбышевска Самарской области,

7 класс

Научный руководитель: учитель математики

Муравлева Т.Ю.

г. Обнинск, 2018 – 2019 учебный год

Оглавление.

1 Введение………………………………………………………..2

2. Глава 1. Инвариант и его виды ……………………………3

1.1 Инвариант –четности суммы и разности……………...……4

1.2 Инварианты и парность………………………………………5

1.3 Инвариант как характеристика нечисловых объектов…….5

1.4 Выделение отмеченной части……………………………….6

1.5 Инвариант и раскраски клетчатых досок…………………..7

3. Глава 2 Решение задач с помощью инварианта…………..

4. Заключение……………………………………………………...9

5. Литература……………………………………………………….9

6. Приложение……………………………………………………..9

1. Введение.

. Однажды, мне захотелось почитать что-нибудь интересное, но все книги, которые находились у меня дома, я уже перечитала, поэтому я решила отправиться в библиотеку. Там я очень долго искала подходящую мне книгу, но в конце-концов, мне удалось это сделать. Я нашла журнал 1994 года «Библиотечка «Квант»». В этом журнале я нашла очень интересную мне тему «Поиск инварианта», и я решила заняться изучением этой темы.

Инвариа́нт — это свойство некоторого класса(множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.

Инварианты используются в различных областях математики, таких как геометрия, топология и алгебра. Открытие инвариантов является важным шагом в процессе классификации математических объектов.

Актуальность Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач. Инварианты представляют собой особый раздел олимпиадной математики, но в школьном учебнике их нет.

Возниклапроблемасамостоятельного поиска в литературе, изучения и применения этого специального метода решения нестандартных и олимпиадных задач. Поэтому я решила разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие подходы. Любая задача должна чему-нибудь научить. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.

Гипотеза: умение применять инвариант, как способ решения задач, обеспечит успех в дальнейшем изучении математики.

Объектисследования: инвариант.

Предмет исследования: решение задач с помощью инварианта.

Цель исследования: изучение инварианта и применение его для решения нестандартных задач

Задачи:

1) познакомиться с историей открытия инварианта;

2) изучить виды инварианта;

3) решить задачи с помощью инварианта;

4) рассмотреть применение инварианта в практической жизни.

Методы исследования: поисковый, анализ, обобщение.

Практическая значимость исследования состоит в том, что рассмотренные инварианты суммы и произведения, четности дают возможность решать нестандартные задачи по математике. Апробация исследования. Рассмотренный способ решения нестандартных задач по математике был предложен учащимся 7 класса для подготовки к олимпиадам..

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, и приложения.

В ведении показана актуальность исследования, цель, задачи, методы исследования и практическая значимость.

В первой главе рассмотрено понятие «инвариант». Во второй главе рассмотрены инварианты суммы и произведения, решены задачи. В заключение сформулированы выводы исследования.

Глава 1.Что такое инвариант?

Инвариант (от лат. invarians - неизменяющийся), в математике - величина, остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях.

1. В ряде задач встречается следующая ситуация. Некоторая система последовательно изменяет своё состояние, и требуется выяснить нечто о её конечном состоянии. Полностью проследить за всеми переходами может оказаться делом сложным, но иногда ответить на требуемый вопрос помогает вычисление некоторой величины, характеризующей состояние системы и сохраняющейся при всех переходах (такую величину называют инвариантом для рассматриваемой системы). Ясно, что тогда в конечном состоянии значение инварианта будет то же самое, что и в начальном, т.е. система не может оказаться в состоянии с другим значением инварианта.

2. На практике этот метод сводится к тому, что некоторая величина вычисляется двумя способами: сначала она просто вычисляется в начальном и конечном состояниях, а затем прослеживается её изменение при последовательных мелких переходах.

3. Наиболее простым и часто встречающимся инвариантом является четность числа; инвариантом может быть также и остаток от деления не только на 2, но и на какое-нибудь другое число. Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в 2 цвета.

1.1. Инвариант – четность суммы и разности.

Применение четности – одна из наиболее часто встречающихся идей при решении нестандартных задач, Применение этой идеи основано на следующих утверждениях:

1) четности и нечетности целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых;

2) знак произведения нескольких ( отличных от нуля) чисел определяется четностью отрицательных сомножителей.

Задача 1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение

. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.

Вывод: инвариантом может являться сумма или разность нескольких чисел.

Задача 2. А какое число останется в файле, если программа за один запуск стирает два числа и записывает вместо них их сумму?
Решение: Если в прошлой задаче инвариантом была четность суммы всех чисел в файле, то теперь это будетсама сумма. Ясно, что при замене двух любых чисел на их сумму сумма всех не меняется. Поэтому последнее число - оно же сумма чисел в конце - равносумме чисел в начале, т.е. 2007.

1.И Ф. Шарыгин, А.В.Шевкин. Задачи на смекалку.5-6 кл., г.Москва, изд. «Просвещение», 2003

Задача 3. Имеются три числа, которые можно заменять по следующим правилам: числа a, b и c стираются и вместо них записываются (a+b)/2, (b+c)/2 и (a+c)/2.Можно ли из чисел 101, 73, 125 получить 77, 79 и 83?
Решение: А давайте так, "на всякий случай", посмотрим, как меняется сумма чисел. Было a+b+c, а стало... вместо них записываются (a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2 = (2a+2b+2c)/2 = a+b+c - не изменилась. То есть, как ни крути, а сумма трех чисел не меняется. Но 101+73+125=299, а 77+79+83=239 - суммы исходной и конечной тройки разные. Поэтому из однойнельзя получить другую

Вывод: инвариантом может быть и четность самой суммы нескольких чисел

1.2 Инварианты - парность

Задача 1. Все костяшки домино выложены в цепь. На одном конце цепи оказалось 3 очка. Сколько на другом конце?

Решение: рассмотрим костяшки домино их 28:

Заметим, что “0” - 8 штук, “1” - 8 штук и т.д., то есть чётное число, а значит, каждому числу соответствует парное ему число.

Что является инвариантом в данном случае? (парность)

Так как при игре в домино в цепи они должны располагаться парами, то на другом конце цепи будет 3 очка.

Костяшка 3-3 имеет “тройку” на обоих концах. Без нее остается 6 костяшек. Так как при игре в домино в цепи они должны располагаться парами, то на другом конце цепи будет 3 очка.

Вывод: при решении аналогичных задач полезно иногда объекты разбивать на пары.

1.3 Инвариант как характеристика нечисловых объектов.

Во всех предыдущих примерах в задаче фигурировали числа, от которых мы в качестве инварианта брали какую-то функцию. Но, конечно, в исходной формулировке может ни быть никаких чисел! Что тогда делать? Конечно, эти числа придумать.

2.И.В. Ященко Приглашение на математический праздник .Москва. Издательство МЦНМО. 2005.

Задача 1. В стране серобуромалинии 27 серых, 32 бурых и 45 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разных цветов, они оба перекрашиваются в третий цвет. Могут ли когда-нибудь все хамелеоны стать одного и того же цвета?
Решение: Ну где же тут у нас числа? Наверное, количества хамелеонов серого, бурого и малинового цвета. Как же они изменяются? Либо (A, B, C) переходит в (A-1, B-1, C+2) - встречаются серый и бурый хамелеоны и перекрашиваются в малиновый цвет, либо в (A-1, B+2, C-1) - серый и малиновый в бурый, либо, наконец, в (A+2, B-1, C-1) - бурый и малиновый в серый. Сумма всех трех, конечно, сохраняется, но это нам не поможет. А что поможет установить, могут ли два количества из трех стать нулями? Скорее, разности - кстати, еще один из базовых видов инвариантов. Между теми двумя числами, которые уменьшились на 1, разность не поменяется, зато разность между ними и третьим изменится ровно на 3. То есть по модулю 3, все попарные разности неизменны (сравните, как в задаче 1, из того, что сумма может уменьшаться на 2, мы находили, что ее четность неизменна). Значит, инвариант - значения попарных разностей по модулю 3. Если какая-то разность в конце стала нулем (а так будет, если два количества станут нулями!), то исходно она делилась на 3. Но разности между исходными количествами на 3 не делится! Значит, не могут...

Задача 2. По кругу стоят 232 елки, на каждой из которых сидит по белке. Если какая-то белка перепрыгивает с одной елки на соседнюю, то какая-то другая перепрыгивает на соседнюю елку в обратом направлении. Докажите, что все белки не могут собраться на одной елке
Решение: Давайте занумеруем елки по кругу от 1 до 232. Тогда каждой белке можно сопоставить число: номер елки, на которой она сидит. И все эти прыжки представятся, как преобразования набора чисел. Обычно одна белка, перепрыгивая в одну сторону, уменьшает свой номер на 1, а другая, прыгая в другую сторону, увеличивает на 1. Конечно сумма номеров не меняется. А как еще бывает? Либо одна белка прыгает с 1-й елки на 232-ю, а другая, наоборот, с 232-й на 1-ю (сумма опять не меняется). Либо одна белка прыгает с 1-й елки на 232-ю, а другая - где-то еще, увеличивая свой номер на 1 - сумма растет на 232. Последний случай: одна белка прыгает с 232-й елки на 1-ю, а другая - в другом месте, уменьшая номер на 1. Тогда сумма номеров уменьшается на 232. В любом случае значение суммы номеров по модулю 232 - неизменно (то есть инвариант). Если бы все белки собрались на одной елке, то их номера были бы 232-мя одинаковыми числами, и их сумма на 232 делилась бы. Но тогда и исходная сумма номеров делилась бы на 232, а этого не наблюдается.

3.4 Выделение отмеченной части.

Нередко помогает инвариант, считаемый как характеристика не всего объекта, а только его отдельной части. Придумывается она каждый раз по своему. Некая общая логика: эта часть должна быть регулярной по своему устройству и содержать всенерегулярности для начального или конечного состояния. Вообще, может подойти всякая часть, на которой преобразование общего вида будет выглядеть более просто. Основная идея такова: выделить в каждом объекте какую-то часть, в которой изменения, вызываемые разрешенными операциями, выглядят особенно просто.

Задача 1.. В таблице 3*3 угловая клетка закрашена чёрным цветом, все остальные – белым.

3.А.В. Спивак. Математический кружок. 6-7 классы. Москва, издательство МЦНМО, 2009.

Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Доказательство. Достаточно проследить за угловыми клетками.

1)   2) 

1чёрная и 3 белые 1чёрная и 3 белые

3)   4) 

3 чёрные и 1 белая 3 чёрные и 1 белая

Характер чётности числа чёрных клеток среди четырёх угловых не меняется при перекрашиваниях.

Раз исходно одна клетка была чёрной, то не может оказаться так, что не будет ни одной чёрной клетки.

Ответ: невозможно.

Задача 2. В одной клетке квадратной таблицы 4 х 4 стоит знак минус, а в остальных стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Докажите, что, сколько бы мы не проводили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов

Решение. Заменим знак плюс на число 1 и знак минус на число –1. Заметим, что произведение всех чисел в таблице не меняется при смене знака у всех чисел столбца или строки, так как одновременно меняется знак у четырёх чисел. В начальном положении это произведение равно –1, а в таблице из одних плюсов +1, чем и доказана невозможность перехода.

4.В.А. Гусев. А.П. Комбаров. Математическая разминка. Москва, изд. «Просвещение», 2005.

3. Глава 2. Решение задач с помощью инварианта.

Задача 1. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое своё звено ровно 1 раз

Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.

Задача 2. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.

Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным – нечётными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук чётно. Общее число рук у чётных марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже чётно. Следовательно, число нечётных марсиан чётно.

Вывод: в зтих задачах инвариантом является четность суммы.

Задача 3.Можно ли разменять 25 советских рублей на 8 купюр в 1, 3 и 5 советских рублей?
Решение: Нет, нельзя. Достоинства всех купюр - нечетные числа, а сумма 8 нечетных чисел - четная (п.2). Поэтому она не может равняться 25.

Задача 4. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы получилось выражение, равное нулю?
Решение: Нет, нельзя. По п.6 или 7', четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1+2+...+10=55, т.е. сумма всегда будет нечетной. А 0 - четное число?! ч.т.д.
Решение№2: Отрицательные числа тоже бывают четными и нечетными. А здесь мы имеет дело с суммой 10 целых чисел (положительных или отрицательных), среди которых, при любой расстановке знаков, будет 5 нечетных. Тогда, по п.3, сумма всех всегда будет нечетной. Отсюда следует ответ "нельзя".

Задача 5. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 11-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?
Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в каком именно направлении вращается первая шестеренка !) Тогда (по п.1) всего должно быть четное число шестеренок, а их 11 штук?! ч.т.д. (знак "?!" обозначает получение противоречия.

Задача 6. Фигура "крокодил" ходит по клетчатой доске на 3 клетки в одном направлении и одну в перпендикулярном (почти как шахматный конь, только конь ходит не на 3, а на 2 клетки). Докажите, что нельзя пройти крокодилом с какого-то поля на соседнее (по стороне) с данным.
Решение: Раскрасим доску в шахматном порядке. Тогда (нетрудно убедиться) крокодил при своем ходе не меняет цвет клетки, на которой стоит. А соседняя клетка, увы, другого цвета, ч.т.д.

Задача 7. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

Решение: При перекрашивании горизонтали или вертикали, содержащей k черных и 8-k белых клеток, получится 8-k черных и k белых клеток. Поэтому число черных клеток изменится на (8-k)-k=8-2k, т.е. на четное число. Так как четность числа черных клеток сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не сможем получить одну черную клетку. Задача 8. На доске написаны числа 1, 2, 3,…19, 20. Разрешается стереть любые два числа а и 6 и вместо них написать число а+b-1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Решение: Для любого набора из п чисел на доске рассмотрим следующую величину Х: сумму всех чисел, уменьшенную на n. Допустим, что с набором произведено описанное в условии преобразование. Как же изменится эта величина? Если сумма всех чисел набора, кроме а и b, равна 5, то до преобразования величинаX равнялась S+a+b-n, а после преобразования X=S+(a+b-1)-(n-1)=S+a+b-n. Итак, значение величины Х не изменилось, она-инвариант. Исходно (для набора из условия задачи) Х=(1+2+…+19+20)-20=190. Значит, и после 19 операций, когда на доске останется одно число р, Х также будет равно 190. Но по своему определению, в этот момент Х будет равно р-1. Значит, р=191. Следовательно, число, оставшееся на доске обязательно будет равно 191 Х.

Решение практических задач с помощью инварианта

Задача 1. На плоскости лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после 25 ударов?

Решение: Нет, не могут. После каждого удара изменяется ориентация (т.е. направление обхода) треугольника АВС. Даже если шайбы будут проходить одинаковый путь, то они не вернутся на свои первоначальные места, т.к. число 25 не делится на 3.

Задача 2. Можно ли окрасить на клетчатой бумаге 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечётное число окрашенных соседей? (Соседними клетками считаем те, у которых есть общая сторона.)

Решение: Пусть на клетчатой бумаге окрашено несколько клеток и n-число окрашенных клеток, имеющих ровно k окрашенных соседей. Пусть N – число общих сторон окрашенных клеток. Так как каждая из них принадлежит ровно двум окрашенным клеткам, тоN=(n₁+2n₂+3n₃+4n₄)/2= (n₁+n₃)/2+n₂+n₃+2n₄. Поскольку N – целое число, то число n₁ + n₃ четно.

Мы доказали, что число окрашенных клеток, имеющих нечетное число окрашенных соседей, всегда четно. Поэтому нельзя окрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечетное число окрашенных соседей.

Задача 3. В файле хранятся 2007 единицы и 2008 нулей. Программа читает из файла два произвольных числа, стирает, и записывает на их место 0, если они были равны, и 1, если нет. Программа запускается многократно. В конце в файле остается только одно число. Чему оно равно, 0 или 1?
Решение: Несмотря на то, что вариантов действия программы очень много, мы можем установить ответ однозначно. Что может прочитать программа за каждый отдельный запуск? Либо 0 и 0 (и записать 0), либо 0 и 1 (и записать 1), либо 1 и 1 (и записать 0). В первых двух случаях сумма всех чисел в файле не меняется, в последнем - уменьшается на 2. В любом случае, четность этой суммы остается прежней. Исходно сумма была 2007*1+2008*0=2007 - нечетная, значит,и в конце будет нечетная. Но в конце остается только одно число - оно и равно сумме всех - поэтому оно нечетное. А так как в файле бывают только нули и единицы, то это 1.

Задача 4. На плоскости расположено 13 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? А если шестеренок 14?

Решение.  Пусть первая шестеренка вращается по часовой стрелке, тогда вторая - против часовой стрелки, третья - по часовой стрелке и т. д. Получим, что двенадцатая будет вращаться против часовой стрелки, а тринадцатая - по часовой стрелке.

Значит, первая должна вращаться против часовой, что противоречит тому, что она вращается по часовой стрелке. Поэтому, все 13 шестеренок вращаться одновременно не могут. А вот 14 уже могут.

Вывод: часто при решении подобного рода задач важно найти чередующиеся объекты.

Задача 5. .Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей?

Решение: заметим, что:

15 – нечётное число,

50 – чётное,

1 и 5 – нечётные слагаемые

Так как сумма 15 нечетных чисел является числом нечетным, а 50 - число четное, то разменять 50 рублей на 15 монет по 1 и 5 рублей нельзя.

Заключение.

В различных жизненных ситуациях часто возникают нестандартные задачи, которые необходимо решить. Проанализировав литературу по инварианту, я пришла к выводу, что явление инварианта очень многогранно и требует большого опыта для его применения. Главное, это уметь увидеть инвариант. Я рассмотрела общие подходы при решении нестандартных задач, решила задачи с помощью инварианта. В приложении представила решение интересных олимпиадных задач.

Вывод: рассмотренный метод решения нестандартных задач (метод инвариантов) позволяет решать олимпиадные задачи и задача №19 ЕГЭ по математике.

Литература.

1.И Ф. Шарыгин, А.В.Шевкин. Задачи на смекалку.5-6 кл., г.Москва, изд. «Просвещение», 2003

2.И.В. Ященко Приглашение на математический праздник .Москва. Издательство МЦНМО. 2005.

3.А.В. Спивак. Математический кружок. 6-7 классы. Москва, издательство МЦНМО, 2009.

4.В.А. Гусев. А.П. Комбаров. Математическая разминка. Москва, изд. «Просвещение», 2005.

Приложение

1. На столе стоят вверх дном семь стаканов. Разрешается переворачивать одновременно любые два стакана (разумеется, можно перевернуть любой стакан, стоящий вверх дном, так, чтобы он стоял на дне, а можно перевернуть любой стоящий правильно стакан так, чтобы он стал стоять вверх дном). Можно ли добиться того, чтобы все семь стаканов на столе стояли на дне?

Решение.Конечно же, сначала нужно попробовать попереворачивать стаканы. Однако довольно быстро становится понятно, что так просто эта задачка не решается. Тогда возникает желание доказать, что добиться требуемой расстановки стаканов невозможно. Как это сделать? Давайте сравним количества стаканов, стоящих на дне и вверх дном. Сначала мы имеем   стаканов, которые стоят вверх дном и 0 стаканов, стоящих на дне. Мы можем перевернуть любые два стакана. Какие бы стаканы мы ни выбрали, у нас будет   стаканов вверх дном и   стакана, стоящих правильно. В следующий раз мы можем перевернуть стаканы различными способами. Так, мы можем поставить на дно два стакана, стоящих вверх дном. Тогда у нас останется   стакана, стоящих вверх дном, а   стакана будут стоять правильно. Мы можем перевернуть один стакан, стоящий вверх дном, и один стакан, стоящий правильно. Тогда ничего не изменится, и у нас останется   стаканов, стоящих вверх дном, и   стакана, стоящих на дне. И последний вариант: мы можем перевернуть два стакана, которые стоят на дне. Тогда получим исходную ситуацию, а именно   стаканов вверх дном и   стаканов, стоящих правильно.

Давайте посмотрим, что общего во всех этих ситуациях. Найдем разность числа стаканов, стоящих вверх дном, и числа стаканов, стоящих на дне. В исходном варианте эта разность равна семи. После первого переворачивания она становится равна трем. А дальше, в зависимости от выбранного варианта переворачивания стаканов, она станет равной   или  . Мы видим, что эта разность может измениться только на  . И в данном случае неважно, что исходно мы рассматривали   стаканов, которые были перевернуты вверх дном. Если вы рассмотрите случай, когда   стаканов стоят на дне, а   стаканов — вверх дном, вы придете к тому же самому выводу. В качестве полезного и простого упражнения попробуйте сделать это сами. Предположим, что нам удалось, переворачивая стаканы, добиться их правильного расположения. Тогда в конечной ситуации разность между числом стаканов, стоящих вверх дном, и числом стаканов, стоящих правильно, равна  . И мы видим, что число   отличается от   на   — это число не кратно  . Следовательно, действуя описанным в условии задачи способом, добиться того, что все   стаканов будут стоять на дне, невозможно.А теперь вернемся к непонятному слову инвариант. Оно имеет очень простое значение: то, что сохраняется, не изменяется при некоторых преобразованиях.

В рассмотренной задаче инвариантом был остаток от деления на   разности числа стаканов, стоящих вверх дном, и числа стаканов, стоящих на дне. Он должен всегда оставаться равным  .

2. Даны три числа:   и . За один ход разрешается заменить числа   на числа . Можно ли через несколько ходов получить числа ?

Решение. Нетрудно заметить, что в данной задаче неизменным остается произведение чисел. Действительно,

Поскольку  , то получить вторую тройку чисел из первой невозможно.

3. На доске написаны 15 плюсов и 10 минусов. Разрешается стереть любые два знака и записать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус, если они различны. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций?

Решение задачи становится очевидным, если каждый плюс заменить числом  , а каждый минус — числом  . Тогда описанная в условии операция будет следующей: вместо любой пары чисел записываем их произведение. Ясно, что произведение всех чисел, написанных на доске, не изменяется. Исходно оно равно  . Значит, после выполнения 24 указанных операций на доске будет написано число  .

4. Круг разделен на шесть секторов. В каждом секторе написано число. Разрешается одновременно увеличивать числа в двух соседних секторах на один. Можно ли сделать все числа равными, если в начале они такие: ?

Решение. Раскрасим секторы, на которые разделен круг, в два цвета, например, черный и белый, так, чтобы черный и белый секторы чередовались. Инвариантом является разность сумм чисел в черных и белых секторах. В исходном варианте эта разность равна   (если секторы с числами   черные), а в том случае, когда все числа равны, эта разность равна нулю. Значит, сделать все числа равными нельзя.

5. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то допишите к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?

Решение.Сумма 15 исходных чисел равна 7. 7 - число - нечетное. Рассмотрим, какая сумма чисел будет получаться после выполнения операции. Если вычеркнем 2 нуля, то после дописывания нуля на доске будет 7 нулей и 7 единиц. Сумма этих 14 чисел будет нечетная. Если вычеркнем 2 единицы, то на доске останется после дописывания нуля 9 нулей и 5 единиц. Сумма данных 14 чисел будет нечетной. Наконец, вычеркивая нуль и единицу и приписывая единицу, мы получим на доске 7 нулей и 7 единиц, сумма которых снова является нечетным числом.

Таким образом, мы замечаем, что после выполнения данной операции получается на 1 число на доске меньше, причём сумма оставшихся чисел всё время остаётся нечётной. Так как 1 – нечётное число, а 0 – чётное, то на доске после выполнения 14 раз указанной операции получается нечётное число 1.

6 .Квадрат 5x5 заполнен числами так, что произведение чисел в
каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел отрицательно.

Решение: найдём произведение всех чисел в квадрате:

так как произведение чисел в одной строке отрицательно, то произведение всех чисел (5 строк) будет отрицательно. Но с другой стороны, произведение всех чисел равно и произведению чисел в столбцах (5 столбцов). А так как произведение всех чисел отрицательно, то найдется столбец, в котором произведение чисел является отрицательным.

Вывод: в задаче использовалась идея – нахождение произведения чисел.

7.Можно ли доску размером 5x5 заполнить доминошками размером 1x2?

Решение. Нет, так как общее число клеток - 25 не делится на 2.

8. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

Решение  Если число арбузов в соседних корзинах отличается на 1, то характер четности числа арбузов в этих корзинах будет разным.

Тогда четность числа арбузов в корзинах будет чередоваться, поэтому в половине корзин будет четное число арбузов, а в половине нечетное.

Так как четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых, то общее число арбузов в 8 корзинах с четным числом арбузов и в 8 корзинах с нечетным числом арбузов будет четным. По условию же всего арбузов - 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.

Ответ: нельзя.

9. Сумма 2002 натуральных чисел - число нечетное. Каким числом: четным или нечетным является произведение этих чисел?

Решение::

Так как сумма 2002 чисел - число нечетное, то число нечетных слагаемых - нечетно. Тогда среди 2002 чисел есть хотя бы одно четное число. А значит, произведение 2002 чисел будет четным числом.

Ответ: чётное число.

10. Учитель написал на листке бумаги число 10. 25 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу - как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Решение. От прибавления или вычитания единицы меняется характер четности числа.

Поэтому, если 25 раз (нечётное число) менять характер четности числа 10, то в результате получится нечетное число. Следовательно, число 0 получиться не может.

Ответ: не может.

11. В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах?

Решение. Так как сумма данных чисел: число 27 - нечетное, а при прибавлении двух одинаковых целых чисел четность суммы не меняется.

Таким образом. получить все нули во всех вершинах не получится (сумма восьми нулей – число четное).

Ответ: нельзя.

12. В таблице 4*4 знаки “+” и “-” расставлены так, как показано на рисунке.

Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей

(в частности, в любой угловой клетке). Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса?

Решение.

Заменим плюсы и минусы числами 1 и –1. 

В качестве инварианта можно взять произведение чисел, находящихся в клетках, которые заштрихованы на рисунке, поскольку оно в результате разрешенной операции все время сохраняет первоначальное значение равное –1.

Но, значит, среди заштрихованных чисел всегда будет оставаться –1, следовательно, получить таблицу, не содержащую ни одного минуса, нельзя.

Ответ: нельзя.

Перестановки

13..Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Решение.Обозначим кузнечиков А, В и С.

Назовём расстановки кузнечиков АВС, САВ и ВСА (слева направо) правильными, а ВАС, АСВ и СВА – неправильными.

При любом прыжке тип расстановки меняется.

Так что, если исходная расстановка была правильная, то после 1991 прыжка расстановка будет неправильная, так как 1991 – число нечётное, и кузнечики не смогут оказаться на прежних местах.

Ответ: нет.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/365417-nauchnaja-rabota-po-matematike-invariant