Методическое пособие

Министерство образования Московской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Московской области

«Сергиево - Посадский колледж»

Методическое пособие по изучению темы:

«Тригонометрические уравнения»

Сергиев - Посад

2018 г

Пособие рассмотрено и одобрено предметно- цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин.

______________________ Бурик А.В.

Автор - Рыбалкина Марина Витальевна

Пособие предназначено для самостоятельного изучения темы: «Тригонометрические уравнения»

Содержание

1. Простейшие тригонометрические уравнения........................................... 4-12

1.1 Арккосинус. Решение уравненияcosx=b..................................................4-5

1.2 Арксинус. Решение уравненияsinx=b......................................................6-8

1.3 Арктангенс. Решение уравненияtgx=b.....................................................8-10

1.4 Арккотангенс. Решение уравненияctgx=b..............................................10-12

2. Тригонометрические уравнения.................................................................12-16

2.1 Уравнения, приводимые к квадратным...................................................12-13

2.2 Однородные уравнения первой степени..................................................13-14

2.3 Однородные уравнения второй степени..................................................14-15

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители...............................15-16

3. Контрольная работа по теме........................................................................16

4. Справочный материал..................................................................................17-18

Раздел 1. Простейшие тригонометрические уравнения.

1.1 Арккосинус. Решение уравнения cosx = b.

Арккосинусом числа b называется такое число х , косинус которого равен b.

arсcos (-b)=π-arсcosb

Пример. 1) arсcos 1=0

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «cosα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2)arсcos=

3)arсcos(-)= π-arсcos=π-==

Решение уравнения cosx = b.

Еслиb,то уравнение имеет бесконечно много корней, которые находятся по обобщенной формуле:x =±arсcosb +2 гдеk.

Еслиb,то уравнение не имеет корней.

Вопросы для самопроверки

Примеры решения тригонометрических уравнений.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1.2 Арксинус. Решение уравнения sinx = b.

Арксинусом числа b называется такое число х , косинус которого равен b.

arсsin (-b)=-arсsinb

Пример. 1) arсsin 1=

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «sinα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2) arсsin =

3) arсsin(- )= - arсcos= -

Заполните таблицу.

Решение уравнения sinx = b.

Еслиb,то уравнение имеет бесконечно много корней, которые находятся по обобщенной формуле:x =arсsinb + гдеk.

Еслиb,то уравнение не имеет корней.

Вопросы для самопроверки

Примеры решения тригонометрических уравнений.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1.3 Арктангенс. Решение уравнения tgx = b.

Арктангенсом числа действительного числа b называется такое число х , тангенс которого равен b.

arсtg (-b)=-arсtgb

Пример. 1) arсtg 1=

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «tgα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2 ) arсtg =

3) arсtg(- )= - arсtg = -

Заполните таблицу.

Решение уравнения tgx = b.

Решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x = arctgb + гдеk

Примеры решения тригонометрических уравнений.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1.4 Арккотангенс. Решение уравнения ctgx = b.

Арккотангенсом числа действительного числа b называется такое число х , котангенс которого равен b.

arссtg (-b)= -arсtgb

Пример. 1) arссtg 1=

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «ctgα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2)arссtg=

3)arссtg(- )= π- arсtg=π - = =

Заполните таблицу.

Решение уравнения сtgx = b.

Решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x = arсctgb + гдеk

Примеры решения тригонометрических уравнений.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

Раздел 2. Тригонометрические уравнения.

2.1 Уравнения, приводимые к квадратным

Пример 1.

2sin²x + 3sinx -2=0

Это квадратное уравнение относительноsinx.

Введём новую переменную у = sinx.

Тогда уравнение примет вид:

2у²+ 3у -2=0

Это квадратное уравнение относительно у.

D = 3² - 4∙2∙(-2) = 9 + 16 = 25.

у₁ = , у₂ = -2.

а) у₁ = , т.е. sinx = , х = (-1)ⁿ. +πn,n Z.

б) у₂ =-2, т.е. sinx = -2, нет корней.

Ответ: х = (-1)ⁿ. +πn,n Z.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

6sin²x - 5sinx+1=0.

8sin²x – 6sinx-5 =0.

Пример 2.

6sin²x – 5cosx +5=0

Заменяяsin²x = 1-cos²x, получим

6· (1-cos² x)-5cosx+5 =0

6 – 6cos² x-5cosx+5 =0

- 6cos²x-5cosx+11 =0

Разделим каждое слагаемое уравнения на (-1).

6cos²x + 5cosx-11=0

Получили квадратное уравнение относительноcosx.

Пусть у = cosx, тогда уравнение принимает вид:

6у² + 5у – 11= 0,

у₁= 1, у₂= - .

а) cosx = 1, х₁= 2πn,n Z.

б)cosx= - , нет корней.

Ответ: х= 2πn,n Z.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

8cos²x + 6sinx – 3=0.

2sin²x – 5cosx – 5=0.

Пример 3.

tgx + 3ctgx = 4

Заменяяctgx= , получим tgx + = 4,

Умножим каждое слагаемое на tgx:

tg²x - 4 tgx + 3=0, ОДЗ: х + πn,nZ.

Это квадратное уравнение относительно tgx.

Пустьtgx = у, тогда

у²- 4у + 3=0,

у₁= 3, у₂= 1.

а)tgx = 3, х₁=arctg3 + πn, nÎZ.

б)tgx = 1, х₂ = + πn,nÎZ.

Ответ: х₁=arctg3 + πn, nÎZ,

х₂ = + πn,nÎZ.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

tgx – 4сtgx = 3.

tgx - 2сtgx + 1= 0.

2.2 Однородные тригонометрические уравнения.

2.2.1. Однородные тригонометрические уравнения первой степени.

Пример 1.

sinx - 2cosx = 0

В однородных уравнениях первой степени каждое слагаемое 1-ой степени.

Делим обе части на cosx,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так как sin²x + cos²x = 1).

Получим

= 0

tgx – 2 =0

tgx = 2

х = arctg2 + πn, nÎZ.

Ответ:

х=arctg2 + πn, nÎZ.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

sinx+3cosx = 0.

cosx = sinx.

2.2.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Пример 1.

sin²x-5sinx·cosx +6cos ²x =0

В однородных уравнениях второй степени каждое слагаемое 2-ой степени. Решаем делением обеих частей на cos²x0 (или sin²x0).

Разделим обе части на cos²x,

cosx¹0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так какsin²x + cos²x =1)

Получим

0,

tg²x - 5 tgx+ 6=0,

Пустьtgx = у, у² – 5у + 6=0,

у₁= 2, у₂=3.

а)tgx =2, х₁=arctg2 + πn, nÎZ.

б)tgx =3, х₂=arctg3 + πn, nÎZ.

Ответ: х₁=arctg2 + πn, nÎZ.

х₂=arctg3 + πn, nÎZ.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

3sin²x - 4sinx·cosx + cos ²x = 0.

5 cos ²x + 4sinx·cosx - cos ²x = 0.

Пример 2.

22cos²x + 8sinx·cosx = 7

Представим 7=7·1= 7·( sin²x + cos²x), получим однородное уравнение

2-ой степени.

Разделим обе части на cos²x,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так какsin²x + cos²x =1)

Получим 7tg²x - 8tgx – 15 = 0.

Пустьtgx = у, 7у² – 8у – 15=0,

у₁= -1, у₂=.

а)tgx = -1, х₁= - + πn, nÎZ.

б)tgx = , х₂=arctg + πn, nÎZ.

Ответ: х₁= - + πn, nÎZ;

х₂=arctg + πn, nÎZ.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

6sin²x + 4sinx·cosx = 1.

4sin²x – sin2x = 3.

2.3 Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Пример1.

sin²x+2sinx=0

Вынесемsinxза скобки, получаем

sinx(sinx + 2)=0

sinx=0 илиsinx + 2=0

x = k sinx = -2 корней нет, так какb = -2

Ответ:x = k

Пример2.

cos²x – 3sin2x = 0

Заменяяsin2x = 2sinx·cosx, получим

cos²x - 3·2sinx·cosx =0.

Вынесем множитель cosx за скобки:

cosx(cosx – 6sinx) = 0.

а)cosx = 0, х = 2πn,nÎZ,

или

б)cosx - 6sinx= 0 – однородное уравнение 1-ой степени.

Делим обе части на cosx,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так как sin²x + cos²x = 1).

Получим 1-6tgx =0, tgx = ,

х = arctg + πn, nÎZ.

Ответ: х₁ =2πn,nÎZ,

х₂=arctg + πn, nÎZ

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1)6tg²x + 4tgx = 0.

2) 5sin²x – sin2x = 0.

Раздел 3.

3.1 Контрольная работа по теме: "Тригонометрические уравнения".

1. Решите уравнение:

а)sin 4x =

б)cos =

в) 2tgх – 2 = 0

2. Решите уравнение и найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку: ctg (3x + ) = ; [- ;π]

3. Решите уравнение:

а) 4sin²x – 5sinx + 1=0

б) 2sin²x- 5sinx cosx + 7cos²x=1

в)sin²x +sinxcosx =0

Раздел 4.Справочный материал.

Таблица значений тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества

tg

tg ctg

1+ 1+

Формулы двойного аргумента

sin2 = 2sin cos

cos2 = =

tg2

Тригонометрические уравнения

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/368174-metodicheskoe-posobie