План-конспект урока по алгебре и началам анализа 11 класс «Применение производной при решении задач»

План-конспект урока по алгебре и началам анализа 11 класс

Тема урока Применение производной при решении задач .

Цель урока: уметь находить производную функции;
понимать геометрический и физический смысл производной;

уметь находить уравнение касательной к графику функции;
применять производную к исследованию функций и построению графиков.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока:

Организационный момент

Устный счет

Обобщение и систематизация знаний

Самостоятельная работа

Задание на дом

Итог урока

Оборудование: мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщение темы и цели урока. Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной необходимо инженерам-технологам, конструкторам, экономистам, физикам, учёным. А наша задача довести до автоматизма приобретенные умения и знания при решении заданий ЕГЭ.

II. Устный счет

1. Повторяем основные формулы дифференцирования функций.

2. Находим производные представленных функций.

1)f(x) = cos 3x 2) f(x) = 4x³ –x²

3) f(x) = е^2х 4) f(x) = 2x

5) f(x) = ln (5-x) 6) f(x) = 12 sin 3 x

7) f(x) = 78 π x 8)(4х-2)³

Ответы:

1. -3sin3х

2. 12х²-2х

3. 2е^2х

4. 2

5. - 1/(5-х)

6. 36cos3х

7. 78

8. 12(4х-2) 2

III. Обобщение и систематизация знаний

На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х0.

а) б)

Ответ: Ответ: - 0,5 . Ответ: Ответ: 0,75.

в) решают самостоятельно

Решение:

Ответ: 0,25

2. а) Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. (задача решается на готовом чертеже)

б) Решается самостоятельно.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Решение.Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [0; 13] функция имеет одну точку максимума x = 3. Ответ: 1.

а) Нахождение промежутков возрастания убывания функции. Решения двух примеров разбираются на готовых чертежах. В промежутках возрастания функции производная положительна. В промежутках убывания функции производная отрицательна.

б) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−1; 0), (2; 7), (12; 15). Наибольший из них — интервал (2; 7), длина которого 5. Ответ: 5.

а) По графикам функции, определенных на интервале определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна, положительна или равна нулю.

Производная отрицательна - функция убывает.

Производная положительна – функция возрастает.

Производная функции в точке х0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х0, горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи — приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

б) самостоятельно. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x₁,x₂,x₃, …, x₆. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) положительна?

Решение.Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 2. Ответ: 2.

а) На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x -5 или совпадает с ней.

Решение. Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2. Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.

б) Самостоятельно. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−9; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −x − 12 или сов­п а­да­ет с ней.

Решение.Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −x − 12 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –1. Найдем количество точек, в которых y'(x₀) = −1, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −1. На данном интервале таких точек 3. Ответ: 3.

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. ( решаются у доски)

а) Решаем у доски. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на отрезке (0; 1] и неположительна на отрезке [1; 4]; заданная функция возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на отрезке [1; 4]. В точке 1 функция принимает наибольшее значение. Найдем его:

 Ответ: 1.

б) Самостоятельно. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 Ответ: 15.

IV. Самостоятельная работа.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx₀. Найдите значение производной функцииf(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2),B (−2; −5),C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

 Ответ: −0,5.

На ри­сун­ке изображен гра­фик производной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−16; 4). Най­ди­те количество точек экс­тре­му­ма функции f(x) на от­рез­ке [−14; 2].

Решение.Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) отрицательна?

Решение.Производная отрицательна в точках, лежащих в промежутках убывания: x₂,x₄,x₆ и x₈. Таких точек на графике 4.

На рисунке изображён график  — производной функции Найдите наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой y = 6 − 4x или совпадает с ней.

Решение.Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен −4. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент равен −4, а значит, и производная равна −4. Поэтому искомая точка Ответ: −3.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 1035.

V. Задание на дом

Карточка с заданием на применение производной к решению задач.

VI. Итог урока

Учащимся предлагается вспомнить виды задач на производную. Уточнить, что эти задания есть в 7 и 12 заданиях ЕГЭ.

С учетом работы учащихся на уроке учитель выставляет отметки с кратким комментарием

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/370066-plan-konspekt-uroka-po-algebre-i-nachalam-ana