Конспект урока по теме «Третий признак равенства треугольников»

Урок №9

Тема урока: Третий признак равенства треугольников.

Тип урока: урок-изучение нового.

Цели урока: Учебная задача: узнать третий признак равенства треугольников, научиться применять его для решения задач. Диагностируемые цели: в результате ученик знает формулировку третьего признака равенства треугольников.

Методы: эвристический метод, беседа, метод демонстраций, объяснительно-иллюстративный.

Средства: традиционные, презентация.

Ход урока:

Мотивационно-ориентировочная часть.

Здравствуйте, дети. Назовите, какие треугольники изображены на рисунках.

Прямоугольный. 2) равнобедренный, остроугольный. 3) равносторонний. 4) тупоугольный.

Перед вами нарисованы несколько чертежей. Нам нужно определить, равны ли треугольники, и объяснить, почему.

Равны по первому признаку равенства треугольников, т.к. АВ=ЕР, АС=ЕТ, ˂АВС=˂РЕТ

Равны по второму признаку равенства треугольника, т.к. МН=ХО, ˂МНК=˂ХОУ, ˂НМК=˂ОХУ.

Не равны, т.к. нет такого признака, по которому эти треугольники были бы равны.

Посмотрим на большой треугольник ХКН. Что мы можем про него сказать? (Что он равнобедренный). Какие свойства р/б треугольников вы знаете? (Что углы при основании равны). И тогда треугольники ХКР и НКР будут равны по первому признаку равенства треугольников, т.к. ХК=НК, ХР=НР, ˂КХР=˂КНР, т.к. треугольник ХКН р/б.

Равны, по первому признаку равенства треугольников, т.к. АВ=СА, АО-общая строна, ˂ВАО=˂САО.

Равны поэлементно, МР=ТЕ, МК=ТН, КР=ЕН, ˂М=˂Т, ˂Р=˂Е, ˂К=˂Н.

Какие способы определения равенства треугольников вы знаете? ( наложение треугольников, сравнение поэлементно, 1 и 2 признаки равенства треугольников).

По каким элементам сравниваются треугольники? (по 3м сторонам, и 3м углам)

А может, есть еще признаки? Посмотрите на 6й рисунок. Треугольники сравниваются поэлементно, но чертеж получается очень загруженный. Может можно как-то облегчить его? Может, можно сравнивать треугольники просто по 3м углам? (Учитель показывает 2 треугольных линейки, для черчения на доске, и в тетради) Перед вами 2 треугольника с одинаковыми углами, но они не равны. Значит, мы не можем определять равенство треугольников по 3м углам.

Мы можем точно установить равенство треугольника поэлементно, но не можем установить равенство треугольников только по 3м углам. Как насчет 3х сторон. Возможно, мы можем точно определить, равно ли треугольники, сравнив все их стороны. Это гипотеза.

Напишите в тетрадях сегодняшнее число, «классная работа». Цель нашего урока - изучить третий признак равенства треугольников, научиться его применять для решения задач. Запишите тему урока-«Третий признак равенства треугольников».

Операционно-исполнительная часть.

Сформулируйте признак равенства треугольников по трем сторонам.

если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это теорема, то ее надо доказать.

Что у нас дано? Два треугольника, стороны которых соответственно равны. ,

Что нам нужно доказать? Что эти треугольники равны.

Запишем «Дано»: . ,

И что «Доказать»: .

Вспомните, какой метод мы использовали при доказательстве первых 2х признаков? (Метод наложения) В этот раз воспользуемся новым методом. Методом приложения.

Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В- с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой АВ. Как еще можно назвать прямую АВ? А1В1, ведь эти вершины совмещены.

Какими могут быть треугольники . ? (прямоугольные, остроугольные, тупоугольные)В зависимости от этого, какие возможны случаи расположения прямой СС1 относительно прямой АВ, как могут быть расположены луч СС1 и угол А1В1С1?

1)Луч СС1 проходит внутри угла А1С1В1. (рисунок 1)

2)Луч СС1 совпадает с одной из сторон этого угла (рисунок 2)

3)Луч СС1 проходит вне угла А1С1В1 (рисунок 3)

Сделайте чертежи для каждого случая, и оставьте место для доказательства.

Рассмотрим первый случай.

По условию нам даны , . Что вы можете сказать про треугольники А1С1С и В1С1С? Они равнобедренные. Какие свойства р/б треугольников вы знаете? Что у них углы при основании равны. Отметим их. Получаем, что

Что мы получаем? Что.

По условию , и из полученного равенства углов получаем, что по первому признаку равенства треугольников.

Запишем доказательство. (Учитель оформляет доказательство на доске, ученики записывают его в тетради.)

Доказательство: 1) рассмотрим треугольники А1С1С и В1С1С: А1С=А1С1, В1С=В1С1, следовательно, эти треугольники равнобедренные, следовательно, (как углы при основании)

2)рассмотрим и . .

3) по условию , (см. п.3), следовательно, по первому признаку равенства треугольников.

Давайте устно докажем оставшиеся два случая.

Посмотрите внимательно на второй случай, не рассматривали ли мы его уже?( доказали в начале урока, во время решения задач по готовым чертежам, задача 4). Третий случай доказывается аналогично. Что можно сказать про треугольники СА1С1, и СВ1С1? (они равнобедренные). Воспользуемся свойствами р/б треугольников. По условию АС=А1С1, ВС=В1С1, значит, эти треугольник равнобедренные. СС1-общее основание. Мы знаем, что в р/б треугольниках углы при основании равны, что это значит? (что ) а по чертежу мы видим, что , значит, а значит треугольники А1В1С и А1В1С1 равны по первому признаку признаку равенства треугольников. (по двум сторонам и углу между ними. А1С1=А1С, СВ1=С1В1 по условию, и мы доказали, что )

Теорема доказана. Зачем она нужна? Чтобы сравнивать треугольники, и устанавливать их равенство. Но ведь мы знаем достаточно много других способов сравнения треугольников. Но у всех них есть недостатки. Мы не всегда можем сравнить треугольники наложением, а для сравнения другими способами нам требуются углы. Не всегда мы носим с собой транспортир, чтобы точно измерить их величину. А третий признак позволяет нам устанавливать равенство треугольников, зная только их стороны.

Далее будем решать задачи. Посмотрите на рисунок, и назовите мне равные треугольники, и почему они равны.

∆МКР=∆ТКР(МК=ТК=7, МР=ТР=4, КР- общая сторона). ∆МКО=∆ТКО(МК=ТК=7, МО=ТО=5, КО- общая сторона). ∆МРО=∆ТРО(МО=ТО=5, МР=ТР=4, ОР- общая сторона).

∆ABC=∆RQP(AC=RP=6,5,AB=RQ=6, BC=QP=5 ), ∆STU=∆MNO(ST=MN=6,TU=NO=5,US=OM=4), ∆JKL=∆DFE(JK=DF=5,KL=JL=FE=ED=6).

Давайте решим задачу 136.

Вызывается ученик, читает задачу. На презентации показан чертеж. Он решает ее, решение записывает на доске.

Сделаем рисунок.

Что у нас дано? (АВ=ВС,BD=CD, ). Записываем «Дано».

Что нужно найти? (Угол САD)Записываем это.

Какие треугольники удобно рассмотреть? ( треугольники АСD и АВD). Что про них известно? (АВ=ВС, BD=CD, а сторона АD-общая) Какой вывод можем из этого сделать?(значит, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.)

Что мы знаем про равные треугольники? ( в равных треугольниках против равных сторон лежат равнее углы) По условию BD=CD, какой вывод можем сделать?( значит, ). Что получаем?( , то есть ). (Что еще нам было дано, что мы не использовали? ( ) Можем ли мы теперь найти (да, можем, ).

Таким образом, мы получили, что .

Запишите полученное решение.

Рассмотрим треугольники АСD и АВD: АВ=ВС, BD=CD, а сторона АD-общая, следовательно, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

∆АСD =∆ АВD, BD=CD, следовательно,

, то есть

, следовательно

Ответ: .

Дополнительная задача(если остается время, вызывается к доске ученик, остальные решают задачу в тетради).

Дан четырехугольник ABCD, в котором AB=CD,AD=BC. Докажите, что ∠A=∠C

Сделайте чертеж задачи.

Что дано? (AB=CD,AD=BC). Запишите это.

Что нужно доказать? (∠A=∠C). Записываем.

Равенство углов следует из равенства треугольников. Значит, чтобы доказать равенство углов A и C, надо доказать равенство каких треугольников? (треугольников с углами A и C). Треугольников пока нет, поэтому необходимо дополнительное построение. Какой отрезок можем провести? (АС, или BD) Давайте проведем отрезок BD и рассмотрим треугольники ABD и CDB.

Что нам дано в этих треугольниках?(∆ABD и ∆CDB имеют по две пары равных сторон: AB=CD, AD=BC.). Что можем сказать про сторону BD? (Сторона BD — общая.). Что можем сказать про эти треугольники?(они равны по третьему признаку равенства треугольников). Что известно про равные треугольники? (против равных сторон лежат равные углы). Что из этого следует? (∠A=∠C)

Запишите решение.

1)Проведем отрезок BD.

2)Рассмотрим ∆ABD и ∆CDB: AB=CD (по условию), AD=BC (по условию), BD — общая сторона.

Следовательно, ∆ABD = ∆CDB (по трем сторонам).

3) ∆ABD = ∆CDВ, Значит, ∠A=∠C, т.к. против равных сторон лежат равные углы.

Что и требовалось доказать.

Рефлексивно-оценочная часть.

Что мы сегодня изучили на уроке?(третий признак равенства треугольников) Сколько признаков равенства треугольник вы знаете? (3 признака) Назовите их(Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.)Какой это признак (первый) Назовите второй признак (Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.) Как еще можно сравнивать треугольники?(поэлементно и наложением)

Домашнее задание: решить номер 137, решить доп. задачу(Дан четырехугольник ABCD, в котором AB=CD,AD=BC. Докажите, что ∠A=∠C), сделав дополнительное построение- отрезок АС, доказать оставшиеся два случая теоремы, выучить теорему с доказательством.

Урок номер 10

Тема урока: Решение задач с применением третьего признака равенства треугольников.

Тип урока: урок-решение задач.

Цели урока: Учебная задача: закрепить умения и навыки решения задач, применяя третий признак равенства треугольников, дальнейшее углубление навыков решения задач. Диагностируемые цели: в результате ученик знает третий признак равенства треугольников, умеет применять его для решения задач, знает все признаки равенства треугольников, и умеет.

Методы: самостоятельная работа, частично-поисковый.

Средства: традиционные, презентация.

Ход урока:

Мотивационно-ориентировочная часть.

Здравствуйте, дети. Давайте вспомним, что мы делали на прошлом занятии? (изучали третий признак равенства треугольников). Назовите мне его (Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны). Какие еще признаки равенства треугольников вы знаете, назовите мне их. (первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны, второй признак равенства треугольников: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Сейчас решим несколько задач:

№1) Дополните рисунки так, чтобы треугольники были равны по первому, второму или третьему признаку равенства треугольников. Добавить можно только один элемент, т.е. поставить равный угол, отметить равную сторону.

Что нужно, чтобы треугольники были равны по первому признаку? (∠C=∠F, или AB=x).

Приравнять углы В и Н мы не можем, т.к. по условию можем добавлять равенство только одного элемента.

Что нужно добавить, чтобы треугольники были равны по второму признаку равенства треугольников? (∠Y=α, или ∠S=β, или XZ=RT)

Равенство каких элементов нужно добавить, чтобы треугольники были равны по третьему признаку?

Если вы думаете, что нужно, чтобы в первом треугольнике третий угол был равен γ, то это не правильно. В третьем признаке не говорится ни про какие углы. Это задание с подвохом. По условию, можно добавить только один элемент, но нам нужно добавить больше, чтобы отметить равные стороны.

Переходим к следующему заданию. Открывайте учебник, решаем номер 138.

Один ученик вызывается к доске, и решает около доски. Остальные решают в тетрадях.

Что у нас дано? (АВ=CD,AC=BD)

Что нужно доказать? (Равенство углов ∠ADB=∠CAD,∠ВАС=∠СDВ) .

Запишем и сделаем рисунок.

Нам нужно доказать равенство углов. Давайте докажем сначала равенство углов ∠ADB и ∠CAD. Какие треугольники рассмотрим? (). Что про них известно? ( по условию АВ=CD, AC=BD,AD- общая сторона) Какой вывод можем из этого сделать?(Они равны по третьему признаку равенства треугольников). Что мы знаем про равные треугольники? (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы).Какой вывод мы можем из этого сделать? (∠ADB=∠CAD).

Равенство каких углов нам осталось доказать? (∠ВАС и ∠СDВ). Равенство каких треугольников мы доказали? () .Назовите соответственно равные углы этих треугольников. (˂BAD=˂CDA, ˂ABD=˂DCA, ˂BDA=˂CAD). Как мы можем выделить угол ВАС, использую равенство этих углов? (∠ВАС=∠BAD-∠CAD). Какие углы, равные этим, мы знаем? (мы знаем, что ∠BAD=CDA, ∠CAD=BDA) Что получим? (∠CDB=∠CDA-∠ADB). И что это значит? (Что ∠ВАС=∠СDВ).

Оформите решение в тетрадях. Вызванный ученик оформляет решение на доске.

1)Рассмотрим треугольники DСА и АВD: по третьему признаку равенства треугольников, т.к. AD- общая сторона, и по условию АВ=CD,AC=BD. Следовательно, ∠ADB=∠CAD.

2), следовательно, ˂BAD=˂CDA, ˂ABD=˂DCA, ˂АDВ=˂CAD.

3)∠ВАС=∠BAD-∠CAD, но˂BAD=˂CDA, а ∠CAD=ADB

4)∠CDB=∠CDA-∠ADB

5)∠ВАС=∠СDВ

Что и требовалось доказать.

При решении этой задачи мы пользовались только третьим признаком. Но иногда приходится использовать последовательно несколько признаков. Например, в задаче 141. Давайте ее решим.

К доске вызывается ученик и решает на доске, остальные в тетрадях.

Что дано? (Треугольники АВС и А1В1С1. AD,A1D1- биссектрисы, АВ=А1В1, ВD=В1D1, АD=А1D1). Запишите это.

Что надо доказать? (∆АВС=∆ А1В1С1). Запишите.

Сделайте чертеж.

Как будем решать эту задачу? Можем ли мы сказать, равны ли они сразу? (нет, нужно больше данных)

Какие равные треугольники сразу видно, что они равны? (∆АВD и ∆А1В1D1. Они равны по третьему признаку равенства треугольников, т.к. АВ=А1В1, ВD=В1D1, АD=А1D1)

Какие равные углы можно выделить? (∠В=∠В1,∠ВАD=∠В1А1D1,∠BDA=∠B1D1A1).

Нам дано, что AD и A1D1- биссектрисы. Что мы знаем про биссектрису? (она делит угол на два равных). Какие равные углы мы можем еще отметить? (∠DAC=∠BAD,∠B1A1D1=∠D1A1C1)Что можно сказать про эти углы? (они равны, т.к. ∠ВАD=∠В1А1D1, т.е. (∠DAC=∠BAD=∠B1A1D1=∠D1A1C1 ). И что это значит? ( ∠ВАС=∠В1А1С1)

Вернемся к исходным треугольникам АВС и А1В1С1. Что мы можем сказать об их равенстве сейчас? (Они равны по второму признаку равенства треугольников, т.к. АВ=А1В1, ∠В=∠В1,∠ВАС=∠В1А1С1).

Теперь оформите задачу.

1)Рассмотрим треугольники АВD и А1В1D1. Они равны по третьему признаку равенства треугольников, т.к. АВ=А1В1, ВD=В1D1, АD=А1D1, значит, ∠В=∠В1,∠ВАD=∠В1А1D1.

2)AD и A1D1- биссектрисы, следовательно, ∠ВАС=∠В1А1С1.

3)Рассмотрим треугольникиАВС и А1В1С1. Они равны по второму признаку равенства треугольников, т.к. АВ=А1В1, ∠В=∠В1,∠ВАС=∠В1А1С1.

Ч.т.д.

Задача решена.

Обратите внимание, что при решении этой задачи мы использовали два признака равенства треугольников. Давайте еще раз обсудим, как мы решали эту задачу. С чего мы начали? (с доказательства равенства треугольников). Каких?(∆АВD и ∆А1В1D1). А почему мы стали доказывать равенство именно этих треугольников? (чтобы с их помощью доказать равенство искомых треугольников). Не всегда мы можем решить задачу, используя только один признак равенства треугольников. Часто приходится применять несколько.

Давайте решим еще одну задачу, в которой используется несколько признаков равенства треугольников. Номер 142.

К доске вызывается ученик, решает на доске

Что дано? (ВС=ВD, АС=АD).Запишите это.

Что надо доказать? (∠АDВ=∠АСВ,DО=ОС)Запишите это

Сделайте чертеж.

Начнем с доказательства равенства углов. Какие треугольники рассмотрим? ( треугольники АВD и АВС). Что можем про них знаем? (ВС=ВD, АС=АD по условию, сторона АВ- общая) Что можно про них сказать? ( что они равны по третьему признаку равенства треугольников, ). Какие равные углы можно выделить?( ∠АDВ=∠АСВ,∠DВА=∠СВА,∠ВАD=∠ВАС). Равенство углов доказали.

Что еще нам нужно доказать? (DО=ОС). Как докажем равенство сторон? (через равенство треугольников). Какие треугольники рассмотрим? (∆DВО и ∆СВО, (или ∆DАО и ∆САО)) Что можем про них сказать? (Они равны по первому признаку равенства треугольников, ВО(АО)- общая сторона, ВС=ВD (АС= АD), ∠DВО=∠СВО(∠DАО=∠САО, т.к. ∠DAО=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠CAB=∠СAО)). Что следует из равенства этих треугольников? (СО=ОD).

Оформите решение в тетрадях, вызванный ученик решает задачу на доске.

1)Рассмотрим треугольники АВD и АВС: они равны по третьему признаку равенства треугольников, ВС=ВD, АС=АD, сторона АВ- общая, следовательно,∠АDВ=∠АСВ,∠DВА=∠СВА,∠ВАD=∠ВАС

2)Рассмотрим треугольникиDВО и СВО(или ∆DАО и ∆САО ):

Они равны по первому признаку равенства треугольников, ВО- общая сторона, ВС=ВD,∠DВО=∠СВО(АО- общая сторона, АС= АD,(∠DАО=∠САО, т.к. ∠DAО=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠CAB=∠СAО )

Из равенства треугольников следует, что СО=ОD. Ч.т.д.

Задача решена.

Запишите домашнее задание: решить номера 139, 140, на следующее занятие принести циркуль.

А сейчас время небольшой самостоятельной работы.

Ученики разбиваются на 2 варианта. Учитель раздает ученикам задания. Самостоятельная работа выполняется на отдельных листах. После того, как самостоятельная будет решена, листы сдают учителю.

1 вариант:

Перечислите способы определения равенства треугольников?

Второй признак равенства треугольников?

Третий признак равенства треугольников?

Запишите номера треугольников, равных по первому признаку равенства треугольников?

Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны, используя:

а) первый признак равенства треугольника

б) третий признак равенства треугольника.

2 вариант:

Перечислите способы определения равенства треугольников?

Первый признак равенства треугольников?

Третий признак равенства треугольников?

Запишите номера треугольников, равных по второму признаку равенства треугольников.

Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны, используя:

а) второй признак равенства треугольника

б) третий признак равенства треугольника.

Ответы:

1 вариант:

Наложением, сравнением полементно, по первому признаку равенства треугольников, по второму признаку равенства треугольников, по третьему признаку равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

1 и 5

2 вариант:

Наложением, сравнением полементно, по первому признаку равенства треугольников, по второму признаку равенства треугольников, по третьему признаку равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

2 и 4

Решение задачи 5) очевидно.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/378978-konspekt-uroka-po-teme-tretij-priznak-ravenst