Рабочая программа учебной дисциплины ЕН 01 Математика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации»

Красноармейский автомобилестроительный колледж

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебной дисциплины

ЕН 01 Математика

программы подготовки специалистов среднего звена

для специальности

23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Уровень подготовки - базовая подготовка

Форма обучения - очная

2019 г.

Рабочая программа учебной дисциплины «Математика»разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) среднего профессионального образования (далее СПО) по специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации № 383 от 22.04.2014 г., входит в обязательную часть программы подготовки специалистов среднего звена.

Разработчик: Борисова А.В., преподаватель математических дисциплин высшей квалификационной категории Красноармейского автомобилестроительного колледжа – филиала РАНХиГС

Рассмотрено и одобрено на заседании предметной (цикловой) комиссии математических и общих естественнонаучных дисциплин Красноармейского автомобилестроительного колледжа – филиала РАНХиГС

Протокол № от « » _________ 201 г.

Рекомендовано методическим советом Красноармейского автомобилестроительного колледжа – филиала РАНХиГС

Протокол № от « » _________ 201 г.

Содержание рабочей программы учебной дисциплины «Математика»полностью соответствует содержанию ФГОС СПО по специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта и обеспечивает практическую реализацию ФГОС СПО в рамках образовательных процедур.

СОДЕРЖАНИЕ

1 . паспорт рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИ

ЕН 01 МАТЕМАТИКА

1.1. Область применения программы

Рабочая программа учебной дисциплины «Математика» является частью образовательной программы - программы подготовки специалистов среднего звена (далее – ППССЗ) по специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта.

1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:

Учебная дисциплина «Математика» входит в раздел ППССЗ «Профессиональная подготовка» и относится к дисциплинам математического и общего естественнонаучного цикла (обязательная часть ППССЗ).

1.3. Цели и задачи дисциплины

В результате освоения учебной дисциплины «Математика» обучающийся должен уметь:

решать обыкновенные дифференциальные уравнения.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики;

основные численные методы решения прикладных задач.

1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 96 часа, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 64 часа;

внеаудиторной учебной работы обучающегося 32 часов, в том числе консультаций 4 часа.

2.РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате освоения учебной дисциплины «Математика» обучающийся должен получить знания и умения необходимые для формирования общих и профессиональных компетенций ППССЗ:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Организовывать и проводить работы по техническому обслуживанию и ремонту автотранспорта.

ПК 1.2. Осуществлять технический контроль при хранении, эксплуатации, техническом обслуживании и ремонте автотранспорта.

ПК 1.3. Разрабатывать технологические процессы ремонта узлов и деталей.

ПК 2.2. Контролировать и оценивать качество работы исполнителей работ.

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

3.2Тематический план и содержание учебной дисциплины «Математика»

4.УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Рабочая программа учебной дисциплины реализуется в учебном кабинете «Математика»

Оборудование учебного кабинета:

посадочные места по количеству обучающихся;

рабочее место преподавателя;

доска;

демонстрационные средства обучения;

комплект методического обеспечения учебной дисциплины.

Технические средства обучения:

Персональный компьютер Intel Pentium Dual-Core E5700

Проектор Hitachi CP-X2510

Интерактивная доска Panasonic UB-T780BP

Принтер лазерный Canon 810

Программное обеспечение:

Windows XP, договор OEM

Microsoft Office 2007 standart, договор 0511/2014 от 5.11.14

Windows Kaspersky Endpoint Security10, договор 0360100043116000026 от 27.10.16

4.2. Информационное обеспечение обучения

Основные источники:

Богомолов Н В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов \ .Н.В.Богомолов . – Москва.: Дрофа, 2010.

Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009.

Канцедал С.А.Дискретная математика учеб.пособие/ С.А.Канцедал.- М.:ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М,2014.

Дополнительные источники:

4.Омельченко В.П., Курбатова Э. Математика: учебник СПО/В.П. Омельченко, Э.Курбатова-9-е изд.,стереотип. –Ростов н/Дону: Феликс, 2014

Интернет ресурсы:

Интернет-библиотека по математике - [Электронный ресурс]: – Режим доступа: - http://ilib.mccme.ru

Библиотека математика - [Электронный ресурс]: – Режим доступа: - http://www.math.ru/lib/formats

Карман для Математика - [Электронный ресурс]: – Режим доступа: - http://karmanform.ucoz.ru

Математикаon-line. В помощь студенту - [Электронный ресурс]: – Режим доступа: - http://mathem.h1.ru/

5. Контроль и оценка результатов освоения Дисциплины

Контрольи оценка результатов освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, тестирования, практических работ, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий.

6.ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ

Промежуточная аттестация - в форме дифференцированного зачета.

Дифференцированный зачет проводится в форме контрольной работы.

Количество вариантов соответствует количеству обучающихся.

Время выполнения 60 мин.

Комплект заданий для дифференцированного зачета содержит один теоретический вопрос и два практических задания.

Теоретические вопросы:

Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.

Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е.

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка разрыва функции.

Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.

Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.

Схема исследования функции. Область определения функции. Множество значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило нахождения экстремумов функции.

Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Исследование функции с помощью второй производной.

Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

Таблица неопределенных интегралов.

Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям.

Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Понятие дифференциального уравнения. Методы решения дифференциальных уравнений.

Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов.

Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера.

Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Практические задания:

Вычислить предел .

Вычислить пределы:

а); б) ; в) .

Вычислить предел .

Вычислить предел .

Вычислить предел .

Вычислить предел .

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Исследовать функцию и построить ее график.

Вычислить значение производной следующих функций в точке :

а); б) .

Найти производную функции .

Найти неопределенный интеграл .

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

Вычислить определенный интеграл .

Вычислить определенный интеграл .

Вычислить определенный интеграл .

Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путь s, пройденный точкой за 4 с от начала движения.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,,,.

Решить дифференциальное уравнение .

Случайная величина Х задана законом распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.

Система оценивания персональных достижений обучающихся при проведении промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета:

При проведении промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета персональные достижения обучающегося оцениваются по пятибалльной шкале. Уровень знаний определяется оценками «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».

Оценка «отлично» выставляется обучающемуся, который демонстрирует полные и глубокие знания программного материала, логично и аргументировано отвечает на поставленные вопросы, а также дополнительные вопросы, показывает высокий уровень умений и знаний.

Оценка «хорошо» выставляется обучающемуся, который демонстрирует глубокие знания программного материала, грамотно его излагает, достаточно полно отвечает на поставленные вопросы и дополнительные вопросы, умело формулирует выводы. В тоже время при ответе допускает несущественные погрешности.

Оценка «удовлетворительно» выставляется обучающемуся, который демонстрирует достаточные, но не глубокие знания программного материала; при ответе не допускает грубых ошибок или противоречий, однако в формулировании ответа отсутствует должная связь между анализом, аргументацией и выводами. Для получения правильного ответа требуется уточняющие вопросы.

Оценка «неудовлетворительно» выставляется обучающемуся, который демонстрирует недостаточные знания программного материала, не способен, аргументировано и последовательно его излагать, допускается грубые ошибки в ответах, неправильно отвечает на поставленный вопрос или затрудняется с ответом.

7.МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Практическое занятие по теме

«Предел функции. Непрерывность функции»

Цель: сформировать практические навыки вычисления пределов функций, определения типов точек разрыва

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

1. Дать определение предела функции в точке и на бесконечности.

2. Дать определение одностороннего предела.

3. Что называется бесконечно-малой и бесконечно-большой функциями?

3. Перечислить свойства и взаимная связь бесконечно-малой и бесконечно-большой функций.

4. Сформулировать основные теоремы о пределах.

5. Перечислить виды неопределенностей и способы их раскрытия.

6. Что называется непрерывностью функции в точке?

7. Перечислить виды точек разрыва.

8. Сформулировать теоремы о непрерывных функциях, непрерывность элементарных функций.

9.Спормулировать правило Лопиталя

Примеры на нахождении пределов функций.

1.Найти . Решение.Имеем: = 5 . Обозначим t = 5x. При x0 имеем: t0. Применяя формулу первого замечательного предела, получим 5 .

2. Вычислить .

Решение. Обозначим y=-x. Тогда при x, y0.Имеем:

sin 3x = sin 3(-y) = sin (3-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(-y) = sin (4-4y)= - sin 4y.

=-.

3. Найти .

Решение

Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x0 t0.= .

4. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:

= .

2) Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x  2 равенство:

= .

Так как (x+1)  0, то, по теореме о пределе частного, найдем

== .

3) Числитель и знаменатель при x являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x² и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

= .

5. Найти .

Решение.

Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: , x-90, т.е. имеем неопределенность вида 0/0.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

6. Найти .

Решение.

= .

Примеры на нахождения точек разрыва функций.

1. Функция не определена при х = 1, а для остальных значений аргумента может быть представлена как у = х - 2. Следовательно, , то есть х = 1 – устранимая особенность.

2. Из определения модуля следует, что у= 1 при x> 0, y= -1 при x< 0, а при х= 0 функция не определена. При этом . Следовательно, х = 0 –точка разрыва 1-го рода.

3. Функция не определена при х = 0 , и . Поэтому х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

4. то есть правосторонний предел не является конечным. Значит, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

5. Функция не определена при х = 0 и не имеет предела при х→0. Следовательно, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

Основная литература:

Богомолов Н В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов \ .Н.В.Богомолов . – Москва.: Дрофа, 2010.-204с.

Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009. -236с

Практическое занятие по теме

«Дифференциальное исчисление»

Цель: сформировать умения

дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций;

вычислять значение производной функции в указанной точке;

находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке;

находить скорость изменения функции в точке;

находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;

находить дифференциал функции, с помощью дифференциала приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной точке,

применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

проводить исследования и строить графики многочленов;

находить наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на промежутке.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение понятию производной.

2. Определить геометрический, механический и экономический смысл производной.

3. Что такое дифференциал функции? Определить его геометрический смысл.

4. Какова связь непрерывности и дифференцируемости функции?

5. Каковы формулы дифференцирования основных элементарных функций?

6. Каковы правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций?

7. Каковы признаки монотонности функции?

8. Раскройте понятие экстремумов, необходимые и достаточные условия экстремумов.

9. Каково правило исследования функции на экстремум?

10. Каковы признаки выпуклости и вогнутости функции?

11. Какие существуют необходимые и достаточные условия перегиба?

12. Каково правило исследования функции на выпуклость, вогнутость, перегиб?

13. Какие виды асимптот функции существуют, и каково правило их нахождения?

14. Описать общую схему полного исследования функции.

Примеры нахождения производных функций.

1. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1) sin x.

Решение.

По правилу 3 имеем: y'=(3x³-2x+1)'sinx+(3x³-2x+1)(sinx)'= (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

2.Найти производную функции y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' +

+( )' = + = .

3.Найти производную сложной функции y= , u=x⁴ +1.

Решение.

По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'_x =y'_u u'_x =

( )'_u×

×(x⁴+1)'_x = (2u+ . Так как u=x⁴+1, то (2 x⁴ +2+ .

4. Найти производную функции y= .

Решение.

Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e^uи u = x². Имеем: y'_x =y'_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u 2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x .

5. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение.

Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' =

=(ln u)'_u(sin x)'_x=.

6.Найти производную функции y= .

Решение.

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила дифференцирования сложной функции:

.

Пример на исследование функции и построения графика

Исследуем функцию и построим ее график.

1.Область определения функции: . Поведение на границах: .

_2., следовательно, функция не является четной или нечетной (в этом случае говорят, что рассматриваемая функция общего типа). Функция не является периодической, так как периодическая функция, не равная константе, не может иметь предела на бесконечности.

3.Так как функция является элементарной, она непрерывна во всей области определения, т.е. промежутки непрерывности . Из ответа на первый вопрос следует, чтох = 1 – точка разрыва 2-го рода (так как односторонние пределы в этой точке бесконечны).

_4. ни при каких значениях х (следовательно, график функции не пересекает ось Ох).f(x) < 0 при х < 1, f(x) > 0 при x > 1.

5.Для ответа на этот вопрос найдем производную данной функции. при . при - интервалы убывания функции; при - интервалы возрастания функции. При меняет знак с «+» на «-», следовательно, - точка максимума. При меняет знак с «-» на «+», следовательно, - точка минимума.

6.ни при каких значениях х. Следовательно, функция не имеет точек перегиба. при х< 1, при x> 1, поэтому на интервале функция выпукла, а на интервале - вогнута.

7.При ответе на первый вопрос показано, что х = 1 – вертикальная асимптота графика функции. Там же выяснено, что при функция не имеет конечного предела, следовательно, не имеет и горизонтальных асимптот. Наклонная асимптота у = х + 1 найдена в примере 2.

Построим график функции на основе результатов проведенного исследования.

у

1-√2 1 1+√2 х

Основная литература:

Богомолов Н В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов \ .Н.В.Богомолов . – Москва.: Дрофа, 2010.-204с

Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009. -236с

Практическое занятие по теме

«Интегральное исчисление»

Цель: сформировать умения находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований; методом подстановки, методом интегрирования по частям,выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям; восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница; находить площади криволинейных трапеций; решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла.

Вопросы для самоконтроля

1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)

3. Свойство инвариантности формул интегрирования.

4. Назовите основные методы интегрирования.

5. Интегрирование по частям.

6. Интегрирование подстановкой (метод замены переменной)

7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

8. Свойства определенного интеграла.

9.Формула Ньютона-Лейбница.

10.Методы вычисления определенного интеграла.

11. Применение определенного интеграла

Примеры на интегрирование функций.

1. Найти  dx/(x+2).

Решение.Обозначим t=x+2, тогда dx=dt,  dx/(x+2) =  dt/t = lnt+C = lnx+2+C.

2. Найти  tg x dx.

Решение.

tg x dx =  sin x/cos x dx = -  d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда tg x dx = -  dt/t =

- lnt+C = - lncos x+C.

3.Найти  dx/sin x.

Решение.

4.Найти  arctg x dx.

Решение.

Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда  arctg x dx = x arctg x -  x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как x dx/(x²+1) = 1/2  d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

5. Найти  ln x dx.

Решение.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим: u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x.

Тогда  ln x dx = x lnx -  x 1/x dx = x lnx -  dx = x lnx - x + C.

6.Найти e^xsin x dx.

Решение.

Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^xdx, v= sin x dx= - cos x  e^xsin x dx = - e^x cos x +

+ e^xcos x dx. Интеграл e^xcos x dx такжеинтегрируемпочастям: u = e^x, dv = cos x dx  du=e^xdx, v=sin x. Имеем: e^xcos x dx = e^x sin x -  e^xsin x dx. Получилисоотношение e^xsin x dx = - e^xcos x+ + e^xsin x -  e^xsin x dx, откуда 2  e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x + С.

7.Найти J =  cos(ln x)dx/x.

Решение.

Так как dx/x = d(ln x), то J=  cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J =  cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

8.Найти J = .

Решение.

Учитывая, что = d(ln x), производим подстановку ln x = t.

Тогда J .

9. Вычислить интеграл J = .

Решение.

Имеем:. Поэтому =

=
= .

Пример на вычисление площади фигуры

1.Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² - 3x – 5 и y = x – 5.

Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корни уравненияx² - 3x – 5 =

=x – 5.x² - 4x = 0: x₁ = a = 0, x₂ = b = 4. Таким образом, найдены пределы интегрирования. Так как на интервале [0,4] прямая y = x – 5 проходит выше параболы у=x² - 3x – 5,то:

2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями,осями координат и прямой х=2.

Решение: Построим данные линии

Основная литература:

1.Богомолов Н В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов \ Н.В.Богомолов. – Москва.: Дрофа, 2010.-204с

2.Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009. -236с

Практическое занятие

Контрольная работа№1 по разделу «Элементы математического анализа»

Задание 1: Вычислить пределы функций:

Практическое занятие по теме

«Решение дифференциальных уравнений»

Цель: сформировать практические навыки решения ДУ с разделяющими переменными, линейных однородных ДУ второго порядка ;

Умения решать эадачи Коши, применять ДУ при решении задач прикладного характера.

Вопросы для самоконтроля

Понятие дифференциального уравнения.

Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.

Решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.

Решение линейных однородный ДУ второго порядка

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения спазделяющими переменными и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0)=0

Решение: Разделим переменные х и у

Проинтегрируем обе части

- Общее решение дифференциального уравнения

Из условия у(0)=0

0=3arctge⁰+3C

0=3arctg1+3C

- Частное решение дифференциального уравнения

Пример 2. Найти общее решение и частное решение дифференциального уравнения

Решение: Решим характеристическое уравнение

k1≠k2

Общее решение -

_{Частные решения} - и

Тест по теме «Дифференциальные уравнения»

1 вариант

1) Примеры дифференциальных уравнений:

а) 2у – x = 1
б) y' = 3x
в) 3dy = 2xdx
г) 3y'' = 5x²

2) Вид дифференциального уравнения у' = х + 1:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Решить задачу Коши – это найти

а) общее решение дифференциального уравнения;
б) начальные условия;
в) произвольную постоянную С;
г) частное решение дифференциального уравнения.

4) Решением дифференциального уравненияу'' – 9 у = 0 является функция…

а)y = e^3x
б)y = x⁹
в)y = 9x
г)y = cos x

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении e^xlnydx + xydy = 0 приведет его к виду…

а)
б)
в)
г)

2 вариант

1) Примеры дифференциальных уравнений 2-го порядка:

а) dy = 3dx
б)y' = 4x
в)y² = 2x
г)y'' – 3y = 0

2) Вид дифференциального уравнения y' + 4y – 2 = 0:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Дифференциальное уравнение видарешается путем…

а) введения новой переменной y = z^.x
б) разделения переменных
в) непосредственного интегрирования
г) введения новой переменной y = u^.v

4) Решением дифференциального уравненияу'' – 8y' + 16у = 0 является функция…

а)y = e^4x + xe^4x
б)y = e^4x + e^{– 4x}
в)y = e^4x(cos4x + sinx)
г)y = 4x

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении приведет его к виду…

а)
б)
в)
г)

Основная литература

1.Богомолов Н В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов \ Н.В.Богомолов. – Москва.: Дрофа, 2010.-204с

2.Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009. -236с

Практическое занятие по теме «Ряды»

Цель: Сформировать навыки в исследовании ряда на сходимость

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Что называется числовым рядом?

Что называется частичной суммой ряда, суммой ряда?

Какой ряд называется сходящимся? Приведите пример расходящегося ряда.

Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.

5. Перечислите достаточные признаки сходимости числовых рядов.

6. Сформулируйте признак Даламбера.

7. Сформулируйте признак Коши.

Самостоятельная работа по теме «Ряды»

1. По формуле общего члена напишите первые четыре члена ряда, если

2. Найти формулу общего члена ряда

3. Исследовать сходимость ряда

4.Исследовать ряд на сходимость

5.При помощи признака Даламбера

6.При помощи признака Коши

Примеры на исследование числовых рядов на сходимость.

Пример 1. Ряд

Найдем предел Так как предел не равен 0, то ряд расходится

Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда.

Решение: Применим признак Даламбера

Если существует предел , тогда если р<1 , то ряд сходится, если p>1, то ряд расходится

и Вычислим предел

Так как предел больше 1, следовательно ряд расходится

Пример 3 Исследовать на сходимость .

Решение. Применяем признак Коши Пусть ( начиная с некоторого n₀) и существует предел . Тогда ряд (1) сходится , если q<1, и расходится, если q>1, а при q=1 вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым

Основная литература

1.Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009. -236с

Дополнительная литература:

Практическое занятие по теме

«Элементы теории вероятностей»

Цель:Сформировать практические навыки в оценки по относительной частоте событий его вероятность, в решении задач на нахождение вероятности событий, пользуясь классическим определением вероятности.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте классическое определение вероятности.

2. Сформулируйте формулы для вычисления числа размещений, перестановок, сочетаний.

3. Сформулируйте классическое и статистическое определение вероятности.

4. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. Сформулируйте формулу полной вероятности.

8. Как оценить по относительной частоте события его вероятность, и наоборот?

9. Как подсчитать вероятность события, пользуясь классическим определением вероятности и используя простейшие комбинаторные схемы?

10. Как вычислить вероятности суммы несовместных событий, произведения несовместных событий, произведения независимых событий?

Самостоятельная работа на практическом занятие

Вариант 1

1. Событие называется достоверным,

1) если вероятность его близка к единице;

2) если при заданном комплексе факторов оно может произойти;

3) если при заданном комплексе факторов оно обязательно произойдет;

4) если вероятность события не зависит от причин, условий, испытаний.

2. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

3. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает

4. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Вариант 2

1. Классическое определение вероятности события А состоит в том, что вероятность события А есть

1) отношение общего числа исходов к числу исходов, благоприятствующих событию А;

2) отношение числа благоприятствующих этому событию исходов, которые могут быть совместны и равновозможны, к общему числу всех возможных исходов;

3) отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

2. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Вариант 3

1. Условной вероятностью события А называется

1) вероятность события А, вычисленная при условии, что вероятность события В приняла определенное значение;

2) вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В;

3) вероятность события А, вычисленная при условии совместного появления события А и В;

4) вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В не зависит от события А.

2. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной.

3. На семинар приехали 3 ученых из Швейцарии, 5 из Голландии и 4 из Франции. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой. Найдите вероятность того, что шестым окажется доклад ученого из Швейцарии.

4. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 участников из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России?

Основная литература

1.Богомолов Н В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов \ Н.В.Богомолов. – Москва.: Дрофа, 2010.-204с

2.Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике. Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергиенко. – Москва.: Дрофа,2009. -236с

Практическое занятие по теме

«Элементы математической статистики»

Цель:сформировать умения вычислять вероятности событий, связанных со случайной величиной, по заданному закону распределения этой величины;вычислять математическое ожидание случайной величины по закону ее распределения

Вопросы для самоконтроля

1.Задачи математической статистики

2.Случайная величина. Примеры случайной величины

3 . Сформулируйте понятие дискретной случайной величины и законы ее распределения.

4.Сформулировать числовые характеристики дискретной случайной

Примеры решения задач

1.Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если распределение за­дано таблицей

Решение. значит, имеем закон распределения дискретной случайной величины.

Найдем математическое ожидание М(Х)по формуле:

Найдем дисперсию D(X) по формуле: D(X)=M(X²)-(M(X))²

Среднее квадратическое отклонение .

Самостоятельная работа:

Закон распределения дискретной случайной величины Xприведен в табл.4. Требуется: а) определить математическое ожиданиеМ(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонениеσ(Х) случайной величины X

Практическое занятие по теме

«Элементы дискретной математики»

Цель: Сформировать умения выполнять операции над множествами, определять вершины, ребра графов

Вопросы для самоконтроля

1.Определение множества

2.Способы задания множеств. Операции над множествами

3.Диаграмма Эйлера

4.Графы.основные определения

5.Маршруты,цепи,циклы.

Примеры решения задач по теме «множества»

Изобразить множества

и на числовой прямой. Выполнить операции: Записать результат каждой операции с указанием характеристического свойства.

Р ешение.

.

Если изобразить множества и на числовой прямой, то объединение есть часть оси, где имеется хотя бы одна штриховка, т.е.

.

Пересечение множеств есть часть оси, где есть двойная штриховка, т.е.

.

3) Разность есть часть множества , отмеченная лишь одной штриховкой, т.е.

.

Точка и поэтому .

4 ) Найдем , считая универсальным множество всех действительных чисел, т.е. .

Дополнение множества есть часть оси, где нет штриховки, т.е.

.

Точка, так как , точка , так как .

5) Множество изобразим на оси , множество на оси . Тогда декартово произведение изобразится заштрихованным прямоугольником, но без его левой стороны, т.е.

.

y

6

Задания для самостоятельной работы

1.Даны множества и . Изобразить и записать с указанием характеристического свойства результат каждой операции:

а); б) ; в) ; г) ;

ТЕСТ ПО ТЕМЕ «МНОЖЕСТВА»

Вам представлен тест с выбором правильного ответа. После каждого вопроса обведите в кружок букву с правильным ответом

1 вариант

1. Определить какое из множеств является подмножеством

А = {10, 20, 30, 40, 50, 60}

a) {10} б) {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70} в) {10, 15}

2. Какое из множеств определяет , если А = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

a) {4, 5} б) {1, 2, 3, 4, 5} в) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

3. Какое из множеств определяет , если A = {1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 3, 4}

а) {1, 3, 5, 7} б) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} в) {1, 3}

4. Какое множество определяет А\В, если А = {a,b,c,d,e,f},B={b,d,f}

a) {a,b,c,d,e,f} б) {b,d,f} в) {a,c,e}

6. Множество треугольников разбили на подмножества разносторонних треугольников, равнобедренных треугольников и равносторонних треугольников. Произошло ли разбиение множества треугольников на классы?

а) да б) нет

7. На каком рисунке изображено объединение множеств А и В ( )?

2 вариант

1. Определить какое из множеств является подмножеством

А = {5, 15, 25, 35, 45, 55}

a) {55} б) {5, 25, 50} в) {25, 55, 75}

2. Какое из множеств определяет , если А = {2,4, 6, 8, 10}, B = {8, 10, 12, 14}

a) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} б) {8, 10, 12, 14} в) {8, 10}

3. Какое из множеств определяет , если A = {2,4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 9}

а) {2, 4, 6, 8, 10} б) {2, 4, 8, 9} в) {2, 4, 8}

4. Какое множество определяет А\В, если А = {m,n,k,l,t},B={m,n,k}

a) {m,n,k,l,t} б) {l,t} в) {m,n,k}

6. Множество всех углов разбили на подмножества прямых, тупых и острых. Произошло ли разбиение множества углов на классы?

а) да б) нет

7. На каком рисунке изображено пересечение множеств А и В ( )?

Задания для самостоятельной работы по теме «решение задач по теории графов»

В графе, изображенном на рисунке, указать примеры замкнутого маршрута, если начальный пункт .

V₃ e₃ V₄

V₉

V₉

Количество ребер графа, инцидентных вершине B, равно...

B

Вариант 2

В графе, изображенном на рисунке, указать примеры замкнутого маршрута, если начальный пункт .

V₃ e₃ V₄

V₉

V₉

Количество ребер графа, инцидентных вершине A, равно...

Вариант 3

В графе, изображенном на рисунке, указать примеры замкнутого маршрута, если начальный пункт .

V₃ e₃ V₄

V₉

4. Количество ребер графа, инцидентных вершине A, равно...

Основная литература:

1.Канцедал С.А.Дискретная математика учеб.пособие/ С.А.Канцедал.- М.:ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М,2014.-224с-(Профессиональное образование)

Практическое занятие

Контрольная работа по теме «Элементы теории вероятностей, математической статистики и дискретной математики»

I.Решить задачи по теории вероятностей.

1.Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?

2.Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число меньше 4?

3.В ящике 6 белых и 4 чёрных шара. Какова вероятность того, что первый наудачу выбранный шар окажется белым?

4.Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Какова вероятность того, что он правильно дозвонится, набрав последнюю цифру наугад?

5.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56?

6.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число кратное пяти?

7.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно?

8.В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

9.Валя выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

10.В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик.

II.Дан закон распределения дискретной случайной величины Х.Требуется определить математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(х), среднее квадратичное отклонение σ(х) случайной величины Х.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

III.Укажите степень вершины данного графа

IV.Найдите пересечение, объединение и разность двух множеств.

1.А= В=

2. А= В=

3. А= В=

4. А= В=

5. А= В=

6. А= В=

7. А= В=

8. А= В=

9. А= В=

10. А= В=

8.ПРОГРАММА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/383831-rabochaja-programma-uchebnoj-discipliny-en-01