Разные задачи на функцию у ах2

Разные задачи на функцию у = ах²

Цели: продолжить формирование умения строить график функции у = ах² и перечислять ее свойства; использовать данное умение при решении различных задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, график какой функции изображен на рисунке:

III. Формирование умения и навыков.

Упражнения:

1. Какие из следующих точек принадлежат графику функции у = –20х²?

а) А (0; 0);в) С (–2; –80);

б) В(–1; 20);г) D.

2. № 96.

Данное задание не должно вызывать затруднений у учащихся, поскольку им известно решение одной из основных задач на функцию: чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, заданных своими формулами, нужно приравнять эти формулы и решить полученное уравнение.

г) 2х² = 14х – 20;

2х² – 14х + 20 = 0;

х² – 7х + 10 = 0;

х₁ = 2 и х₂ = 5.

А (2; 8), В (5; 50).

3. № 101.

4. Для каждой из данных функций найдите ее график.

у = х²у = 2х²

у = 5х²у = 0,3х²

у = –х²у = –2х²

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я:

5. № 100.

Р е ш е н и е

Чтобы парабола у = х² и прямая у = kx – 4 имели только одну общую точку, уравнение х² = kx – 4 должно иметь единственное решение.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

х² – kx + 4 = 0;

D = k² – 16.

Уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю:

k² – 16 = 0;

k² = 16;

k = ± 4.

О т в е т: при k = ± 4.

6. На рисунке изображены графики функций у = х² и у = х – 2.

а) Замените в формуле, задающей линейную функцию, коэффициент k так, чтобы графики функций имели две точки пересечения.

б) Замените в формуле, задающей линейную функцию, коэффициент b так, чтобы графики функций имели две точки пересечения.

в) Можно ли в квадратичной функции у = х² заменить коэффициент так, чтобы графики функций имели две точки пересечения. Ответ объясните.

Р е ш е н и е

Учащиеся могут искать коэффициент подбором, используя изображенные графики. Однако после нахождения нужного числа следует предложить учащимся аналитически проверить полученный ответ.

а) Чтобы прямая пересекала параболу, она должна идти круче, то есть коэффициент k должен быть как можно больше, например:k = 5. Проверим это предположение. Чтобы графики функций имели две общие точки, уравнение х² = 5х – 2 должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть больше нуля:

х² – 5х + 2 = 0;

х² – 10х + 4 = 0;

D₁ = 25 – 4 = 19.

Таким образом, приk = 5 графики функций у = х² и у = kх – 2 пересекаются в двух точках.

б) Чтобы прямая пересекала параболу, ее нужно «поднять вверх», то есть увеличить коэффициентb. Пусть, например, b = 1. По рисунку ясно, что это число удовлетворяет условию, однако можно привести аналитическое подтверждение:

х² = х + 14;

х² – 2х – 2 = 0;

D₁ = 1 + 2 = 3.

D₁ > 0, следовательно, график функций у = х² и у = х + 1 имеют две общие точки.

в) Очевидно, что если коэффициент а в функции у = ах² будет отрицательным, то графики будут пересекаться в двух точках.

Наибольший интерес представляет вопрос о том, можно ли подобрать положительное число а, удовлетворяющее условию задачи. Парабола пересечет данную прямую, если она будет как можно шире, то есть число а будет как можно ближе к нулю, например:а = 0,01.

Проверим это предположение.

0,01х² = х – 2;

0,01х² – х + 2 = 0;

х² – 100х + 200 = 0;

D₁ = 100 – 200 = –100.

Получаем, что взятое число не достаточно мало. Возьмема = 0,001 и снова вычислим дискриминант:

0,001х² = х – 2;

0,001х² – х + 2 = 0;

х² – 1000х + 2000 = 0;

D₁ = 2500 – 2000 = 500;

D₁ > 0, то есть при а = 0,001 прямая у = х – 2 будет пересекать параболу у = ах² в двух точках.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Постройте график функции у = х² и перечислите свойства этой функции.

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 2х² и прямой у = 50х.

3. Принадлежит ли графику функции у = –25х² точка:

а) А (–2; –100);б) В.

В а р и а н т 2

1. Постройте график функции у = –х² и перечислите свойства этой функции.

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = –2х² и прямой у = 40х.

3. Принадлежит ли графику функции у = 40х² точка:

а) А (2; 160);б) В.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что является графиком функции у = ах²?

– Перечислите свойства функции у = ах² при а >0.

– Как может быть получен график функции у = из графика функции у = х²?

– Сколько общих точек могут иметь графики линейной функции и функции у = ах²?

– Могут ли пересекаться графики функций у = ах² и у = kx + b, если а < 0, k > 0 и b > 0?

Домашнее задание: № 97, № 98, № 102.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/384234-raznye-zadachi-na-funkciju-u--ah2