Шар и сфера. Решение задач

Конспект урока по геометрии для учащихся 11 класса.

Тема: «Сфера и шар. Решение задач».

Цели:

- образовательные: повторить изученный материал по данной теме, проверить знания, умения и навыки учащихся при решении задач;

- развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;

- воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

Задачи урока:

- повторить понятия сферы и шара;

- повторить взаимное расположение сферы и плоскости;

- повторить формулу для вычисления площади сферы.

Тип урока: урок применения знания, навыков и умений.

Методы обучения: репродуктивный, индуктивно-эвристический.

Оборудование:учебник, тетрадь, ручка.

Литература:

Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2001.

Поурочные разработки по геометрии 10-11 класс по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11 кл. / Гаврилова Н.Ф. – М.: Просвещение, 2001.

План урока:

Организационный момент (2 минуты).

Актуализация знаний (8 минут).

Решение задач (30 минут).

Подведение итогов урока (3 минуты).

Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока.

Организационный момент.

Организационный момент включает в себя приветствие учеников, проверку отсутствующих, запись учениками числа, классной работы и темы урока.

Актуализация знаний.

Учитель:На прошлом уроке мы с вами изучили понятие сферы, уравнение сферы, взаимное расположение сферы и плоскости и площадь сферы. Давайте вспомним, что называется сферой?

Ученик:Сферой называется поверхность, состоящаяиз всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель:Что называется диаметром сферы?

Ученик:Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

Учитель: Что называется шаром?

Ученик: Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Учитель: Существует три случая расположения сферы на плоскости. Какие?

Ученик: 1) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Учитель: Второй случай?

Ученик:2) если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Учитель: И третий случай?

Ученик: 3) если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Учитель: Запишите формулу вычисления площади сферы.

(Один ученик выходит к доске и записывает формулу.)

S=4R²

Учитель: Сформулируйте теорему касательной, проведенной в точку.

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Ученик: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Решение задач.

Учитель:Запишите число, классная работа.

(Запись на доске и в тетрадях.)

23.12.2013

Классная работа

Учитель: Переходим к решению задач. Открываем учебники на стр. 133 №576 (а)

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

№576 (а)

Ученик: Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А(2; -4; 7), R=3.

Учитель:Запишите, какой вид имеет уравнение сферы, радиусаR с центром C (x₀,y₀,z₀)?

(Запись на доске и в тетрадях.)

(x- x₀)²+ (y - y₀)²+ (z - z₀)²= R²;

(x- 2)²+ (y + 4)²+ (z - 7)²= 3²;

(x- 2)²+ (y + 4)²+ (z - 7)²= 9.

Учитель: № 577 (б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если А(-2; 2; 0), N(0; 0; 0).

(Запись на доске и в тетрадях.)

№ 577 (б).

(x+2)²+ (x - 2)²+ (x - 0)²= R²;

4+4= R²;

R² = 8;

(x+2)²+ (y - 2)²+ z²= 8.

Учитель: Следующий №589 (а, б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R=2 см, α=30˚; б) R=5 м, α=45˚.

(Запись на доске и в тетрадях.)

а) Дано: R=2 см,

α=30˚

Найти: С_{сечения} = ?

Учитель: По какой формуле будем искать длину окружности?

Ученик: С=2r.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: С=2r;

Учитель: Чему равен катет, лежащий против угла в 30˚?

Ученик: Катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

если гипотенуза АВ=2, то катет, лежащий против угла в 30˚ равен АВ, т. е ОО₁=1;

Ученик:По теореме Пифагора находим r.

(Запись на доске и в тетрадях.)

r = 2²-1²= ;

С_{сечения}= 2**= 2см.

Ответ:2см.

Учитель: Пункт (б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

б) Дано: R=5 м,

α=45˚

Найти: С_{сечения}= ?

Решение: С=2r

Cos45˚= ; r = * 5 = .

С_{сечения}= 2** = 5м.

Ответ: 5м.

Учитель: Следующий №592.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точке сферы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

№592.

Дано:

R=112 см.

А – точка касания.

В  

Найти: ВК.

Учитель: Какую теорему мы знаем о радиусе сферы, проведенном в точку касания сферы?

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: 1) АО ┴ АВ, АО = 112 см, АВ = 15 см.

2)по теореме Пифагора ОВ = 112²+15² = = = 113 см.

3) ВК = ОВ – ОК = 113- 112 = 1 см.

Ответ: ВК = 1 см.

Учитель: Следующий № 593 (г).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 см.

(Запись на доске и в тетрадях.)

№ 593 (г).

Дано: Сфера

R = 2 см.

Найти:S_сферы= ?

Учитель: Запишите формулу площади сферы.

Ученик:S_сферы = 4R²

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: S_сферы = 4R² = 4(2)²=4*4*3 = 48 см².

Ответ: 48 см².

Учитель:Следующий №597.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

(Запись на доске и в тетрадях.)

№597.

Дано:

S_{поверхности сферы} = 4r².

r = 5 см.

Найти:r = ?

Учитель: Чему равна площадь круга?

Ученик:S_круга = r².

Учитель: Чему равна площадь поверхности сферы?

Ученик:S_{поверхности сферы} = 4r².

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение:S_круга = r²;S_{поверхности сферы} = 4r²;r =5 см.

Учитель: Что нам дано по условию задачи?

Ученик:S_круга = S_{поверхности сферы}.

(Запись на доске и в тетрадях.)

S_{поверхности сферы} = 100 ;

R² = 100 ;r = 10 см.

Ответ:r = 10 см.

Подведение итогов урока.

Учитель:Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами продолжали изучать тему «Сфера». Давайте еще раз повторим, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящаяиз всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Чему равна площадь сферы?

Ученик:S=4R².

Учитель:Какое взаимное расположение имеют сфера и плоскость?

Ученик: Сфера и плоскость могут: 1) иметь одну общую точку; 2)не иметь общих точек; 3) могут пересекаться по окружности, т. е. сечение сферы и будет окружностью.

Постановка домашнего задания:

Учитель:Откройте дневники, запишите домашнее задание.

(Запись на доске и в дневниках.)

§3 «Сфера» - повторить; № 576 (б, в), №577 (а, в), №593 (а, б), №598.

(Учитель выставляет оценки за урок.)

Учитель:Урок окончен!

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/389952-shar-i-sfera-reshenie-zadach