Решение геометрических задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №6 с. Солдато-Александровского Советского района» Ставропольского края

 Секция: математика

Название работы: Решение геометрических задач

2019г

Содержание

Введение………………………………………………………………......3

Основная часть……………………………………………………….......4

История возникновения геометрии как науки…………………..4

История землемерия в литературных статьях……………….......6

Определение высоты предмета по длине его тени………….7

Определение высоты предмета по шесту…………………….8

Определение высоты предмета по луже………………….......8

Определение расстояния до недоступного объекта…………9

Исследовательская часть………………………………………………..10

Анкетирование……………………………………………………10

Практическое применение геометрии, при решении реальных задач в жизни человека……………………………………………11

Заключение………………………………………………………………..13

Список литературы……………………………………………………….14

ПриложениеСборник задач по геометрии для подготовки к ОГЭ……….15

Введение

Практическое решение задач заинтересовало меня в теме «Теорема Пифагора». Продолжив работу по применению геометрии на практике в повседневной жизни, хотелось более подробно изучить решение геометрических задач в древности , а также выяснить, где и как можно применить эти решения сейчас.

Объект исследования: геометрические задачи с практическим содержанием в окружающем нас мире.

Предмет исследования: применение этих задач в повседневной жизни взрослыми и детьми.

Цель исследования: изучение различных геометрических задач и методов их решения,

Гипотеза: Изучение способов решения задач древними геометрами позволит узнать, какие из этих навыков актуальны в настоящее время и, как их можно самостоятельно использовать в повседневной жизни.

Задачи, которые нужно решить для реализации цели исследовательской работы:

Изучить литературу по развитию науки геометрии.

Исследовать примеры решения геометрических задач древними.

Опробовать способы решения задач по геометрии на практике.

Выяснить у учащихся и их родителей, где и как они применяют геометрию в повседневной жизни.

Составить задачник с решениями некоторых практических задач из базы ОГЭ.

Для решения задач исследования мне пришлось использовать в работе методы:

теоретические (изучение дополнительной литературы по истории возникновения геометрии, рассмотрение различных практических задач и способов их решения);

практические (опрос взрослых и детей по применению геометрии на практике)

Основная часть

История возникновения геометрии как науки

Геометрия - одна из древнейших отраслей математики. Геометрические тела были известны задолго до того, как были выведены математические принципы. Геометрия - это математическое исследование точек, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Используя это, можно описать или построить каждый видимый и невидимый предмет.

Геометрия происходит от слова "geo" - земля, "metria" - мера. Геометрия возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия одна из двух областей математики, вторая - арифметика, или алгебра.

Геометрия с практической точки зрения - это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.

Около 2900 лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется 2000годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.

Именно греки 600 – 400 лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

Пифагор (569−475569−475 лет до н. э.)

Следующим считается Пифагор. Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием "пифагорейцы", которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Евклид Александрийский (325−265 лет до н. э.) 

Евклид Александрийский считается “отцом современной геометрии”. Евклид  ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга “Начало”, написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга "Начало" была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел 23 определения, 5 постулатов и 5 аксиом.

Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как аксиоматический подход. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.

Рене Декарт (1596−1650)

До появления Рене Декарта  в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.

Карл Фридрих Гаусс (1777−1855)

Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку  на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.

История землемерия в литературных статьях

Знание истории той или иной отрасли необходимо для дальнейшего развития науки. Настоящее зарождается в прошлом, а от событий прошлого и настоящего зависит наше будущее. Геодезия, одна из древнейших наук, тесно связанная с потребностями человечества, имеет богатую историю.

Геодезия – наука об измерениях, проводимых с целью изучения формы, размеров и внешнего гравитационного поля Земли, изображения отдельных частей ее поверхности в виде планов, карт и профилей, а также решения инженерных задач на местности.

Впервые слово «геодезия» встречается у Аристотеля (384–322 гг. до н. э.). В сочинении «Метафизика», где Аристотель рассматривал вопросы, относящиеся к проблемам бытия и познания, он единожды использует по- нятие «геодезия», которое образовано из греческих слов ге – Земля, и десомос – разделение. Дословно что-то вроде «землеразделения», но Ари- стотель подразумевал под этим не простое межевание, а – дословно – ис- кусство измерения. В тексте «Метафизики» он противопоставляет геодезию как прикладную науку, имеющую дело с конкретными площадями и объемами, геометрии – науке сугубо теоретической. Примерно в то же время появился и термин «география». В другом своем сочинении – «О небе» – Аристотель обоснованно доказывает шарообразную форму Земли.

Таким образом, можно сформулировать главные задачи геодезии: определение формы и размеров нашего космического дома – Земли – и наглядное представление о земной поверхности. В этом заключается важ- нейший философский аспект геодезии – познание мира во всем его много- образии путем сбора знаний о Земле. В этом смысле карта была и остается наилучшим инструментом для описания окружающего пространства. Для достижения такой великой цели шли в неведомые дали отважные изыска- тели, порой становясь жертвами стихий, фанатизма и национализма в борьбе за крупицы добытых знаний. С этой точки зрения геодезия – наука, которая с помощью карт исследует взаимосвязь явлений природы и общества, их размещение и изменения во времени.

Определение высоты предмета по длине его тени

Самый легкий и самый древний способ — без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения.

Фалес, — говорит предание, — избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени…

Задача греческого мудреца представляется нам теперь детски-простой, но не будем забывать, что смотрим мы на неё с высоты геометрического здания, воздвигнутого уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тысячелетий после его смерти. Заключенные в ней истины, известные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника, — именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):

1)   что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно—что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2)   что сумма углов всякого треугольника (или, по крайней мере, прямоугольного) равна двум прямым углам.

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник. ВС - длина палки, DE - высота пирамиды. АВС подобен D СDE (по двум углам):

ВСА=  СED=90°;

АВС=  СDЕ, т. к. соответственные при АВ || DС и секущей АС (солнечные лучи падают параллельно)

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

.

Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды.

Определение высоты предмета по шесту

Взять шест, равный своему росту, и установить его на таком расстоянии от предмета (дерева), чтобы лёжа можно было видеть верхушку дерева на одной прямой с верхней точкой шеста . Высота дерева будет равна расстоянию от головы наблюдателя до основания дерева.  

Определение высоты предмета по луже

Если недалеко от дерева находится лужа, надо стать так, чтобы она помещалась между вами и предметом, а затем при помощи горизонтально положенного зеркальца найти в воде отражение вершины дерева. Высота дерева, будет во столько раз больше роста человека, во сколько раз расстояние от него до лужи больше, чем расстояние от лужи до наблюдателя.

Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека.

АВD подобен   EFD (по двум углам):

ВАD =  FED=90°;

АDВ =  EDF, т.к. угол падения равен углу отражения.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

;  .

Таким образом, найдена высота объекта.

Определение расстояния до недоступного объекта

По линейным размерам. Чтобы определить расстояние этим способом, надо:

- держать перед собой линейку на расстоянии вытянутой руки (50-60 см от глаза) и измерить по ней в миллиметрах видимую ширину или высоту предмета, до которого требуется определить расстояние;

- действительную высоту (ширину) предмета, выраженную в сантиметрах, разделить на видимую высоту (ширину) в миллиметрах, и результат умножить на б (постоянное число) , получим расстояние.

Например, если столб высотой 4 м (400 см) закрывается по линейке 8 мм, то расстояние до него будет 400 х 6 = 2400; 2400: 8 = 300 м (действительное расстояние). Чтобы определять расстояния таким способом, требуется хорошо знать линейные размеры различных объектов, либо иметь эти данные под рукой .

Рассмотрим применение подобия треугольников к определению расстояния до недоступного объекта, например: нахождение ширины озера:

По построению  АВС подобен  АВ1С1(по углам).

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

; ; ;

Исследовательская часть

В ходе работы я изучила много литературы по истории развития науки геометрия. Узнала, что великие геометры – Фалес, Пифагор, Архимед, Платон, Евклид, Декарт, Гаусс  внесли огромный вклад в ее развитие. Уже в древнем мире люди занимались решением практических задач. Исходя из практики, возникла и теория.

Решение практических задач древними геометрами позволяет:

находить на местности расстояние между двумя точками, которое невозможно пройти по прямой;

находить на местности расстояние между двумя точками, одна из которых недоступна;

определять высоту высоких предметов;

строить прямые углы на местности;

находить длину большой окружности;

определять без компаса стороны горизонта;

строить окружность при помощи веревки и т.д.

Анкетирование

Для ответа на вопрос, какие из них применяются сейчас и нужна ли геометрия в современном мире, был проведен опрос учащихся 8 «А» Участие приняли: 20 учащихся и 5 родителей.

Результат опроса показал:

На вопрос, нужна ли геометрия в современном мире, учащиеся ответили так:

Из предложенных задач наиболее часто применяемыми оказались:

определять высоту высоких предметов – 35%

определять без компаса стороны горизонта –32%

строить прямые углы на местности –33%

На вопрос о важности использования на уроках практических задач были получены следующие ответы:

Практическое применение геометрии, при решении реальных задач в жизни человека

Данный вопрос в настоящее время уже нашел свое применение. В контрольно-измерительных материалах ОГЭ, выпускникам предлагаются задачи практического содержания.

После подведения итогов анкетирования стало понятно, что геометрия встречается и широко применяется в повседневной жизни. Это настолько актуально, что уже нашло применение в ЕГЭ и ОГЭ. Следующим этапом исследования стало изучение и применение способов решения задач на практике.

Чаще всего прямые углы нужны при строительстве дома, для нанесения разметки под фундамент. Задача строителя получить прямые углы. Разметка будущего дома выполняется с помощью шнура, из которого создают веревочный «египетский» треугольник, и колышков. После того, как колышки установят по углам будущего дома, проверяются рулеткой или веревкой все искомые расстояния и равенство диагоналей разметки с точностью ~3 см. При укладке стен следует вести постоянную проверку

Задачи, связанные с окружностью также часто встречаются в жизни. Например, построить большую окружность и найти её длину. Такую задачу решить совсем не сложно, используя веревку с колышками на концах. Один колышек втыкают в землю, а другим колышком, натягивая веревку, прочерчивают линию – окружность. А для определения длины окружности достаточно измерить рулеткой самую широкую линию пересечения окружности и умножить ее на 3. Результат получается приближенным, но позволяет иметь представление об искомой длине окружности.

Задачи нахождения расстояний до недоступных точек в древности решал Фалес. В наше время решение таких задач также находит применение. Используя признаки подобия треугольников, можно находить на местности расстояние между двумя точками, которое невозможно пройти по прямой линии и расстояние между двумя точками, одна из которых недоступна.

Заключение

В исследовательской работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – измерением высоты предмета, построением прямого угла, окружности, нахождением расстояний до недоступных точек.

Приведено большое количество задач и даны их решения. Эти задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии, а также используются для практических работ.

В ходе моей работы я изучила литературу, связанную с развитием науки геометрии, исследовала примеры решения геометрических задач в древности и опробовала их на практике. С помощью анкетирования, в котором приняли участие учащиеся и их родители, выяснила значение геометрии в жизни человека. Так же по итогу всей работы я составила сборник задач по геометрии для подготовки к ОГЭ. (Приложение ).

Таким образом, работа исследует практические задачи и применение их решения в современном мире, а также позволяет подтвердить теоретические навыки древних геометров.

Знания по геометрии нужны при строительстве зданий и дорог, ремонте квартиры, в астрономии, в технике, в военном деле, на огороде. Знания по геометрии успешно применяют в работе люди таких профессий как продавец, инженер, плотник, швея, столяр, лесник агроном, дизайнер, врач, землеустроитель.

В дальнейшем я планирую продолжить работу по решению практических задач, по применению их в повседневной жизни. Хочу исследовать все школьные предметы и доказать, что каждый из них связан с геометрией.

Список литературы

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики», М.:

Просвещение,1989.

Колосов А.А. «Книга для внеклассного чтения по математике» М.: Учпедгиз, 1963

Перельман Я.И. «Занимательная алгебра. Занимательная геометрия», М.: АСТ-Астрель,2002 .

Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»: М.: Педагогика- Пресс,1997

Семенов Е.Е. «Изучаем геометрию. Книга для учащихся 6-8 классов средней школы», : М.: Просвещение, 1987.

https://oge.sdamgia.ru/

https://myalfaschool.ru/

http://green.mosmetod.ru/

Приложение

Сборник задач по геометрии для подготовки к ОГЭ

Содержание

Задачи с практическим содержанием по теме «Треугольник»

Задачи с практическим содержанием по теме «Четырехугольник»

Задачи с практическим содержанием по теме «Окружность»

Задачи с практическим содержанием по теме «Многоугольник»

Задачи для самостоятельного решения

Задачи с практическим содержанием по теме «Треугольник»

Треугольник - одна из самых распространенных фигур в курсе планиметрии. В школьном курсе геометрии рассматривается множество задач по данной теме.

В повседневной жизни нас окружает множество разнообразных ситуации, которые мы можем решить с помощью геометрии. Например, найти расстояния на местности или высоту дерева. Многие практические задачи решаются с помощью свойств треугольников. Рассмотрим несколько задач при решении которых используются свойства прямоугольного треугольника

Задача 1. От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут провод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину провода.

Решение.

Проведём отрезок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной прямой, как по­ка­за­но на рисунке. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника; обо­зна­чим её за x По тео­ре­ме Пифагора:

Ответ: 10 м.

Задача 2. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 метров. Затем повернул на север и прошел 600 метров. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

Решение:

Треугольник – прямоугольный. По теореме Пифагора метров.

Ответ: 10 00м

Задача 3.Длина тени фабричной трубы равна м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой м дает тень длиной м. Найдите высоту трубы.

Решение:

Возьмем треугольник и , где м. Найдем (длину трубы).

Рассмотрим треугольник и . Свет на кол и трубу падает с одной стороны, следовательно , тогда треугольник и подобны, откуда имеем:

м.

Ответ:метра

Задачи с практическим содержанием по теме «Четырехугольник»

Объекты, имеющие форму четырехугольника, часто встречаются в повседневной жизни. Рассмотрим несколько задач практического содержания по данной теме.

Задача 1. В 60 м одна от дру­гой растут две сосны. Вы­со­та одной 31 м, а дру­гой — 6 м. Най­ди­те расстояние (в метрах) между их верхушками.

Решение.

Две сосны яв­ля­ют­ся основаниями пря­мо­уголь­ной трапеции. Не пер­пен­ди­ку­ляр­ная основаниям бо­ко­вая сторона яв­ля­ет­ся расстоянием между верхушками. Най­дем это рас­сто­я­ние по тео­ре­ме Пифагора:

Ответ:65 м.

Задача 2. Какой должна быть ширина x прямоугольной рамки для фотографии, указанной на рисунке, чтобы прямоугольник и рамки и фотографии были подобны.

Решение:

Коэффициенты подобия прямоугольников рамки и фотографии равен . Следовательно, высота фотографии равнасм, а ширина рамки равна см.

Ответ:см.

Задача 3. Из круглого бревна нужно вырезать брус с поперечным сечением (см). Какой наименьший диаметр должно иметь бревно?

Решение:

Наименьшим диаметром является диагональ прямоугольника, которую ищем по теореме Пифагора:

Ответ: 13 см.

3. Задачи с практическим содержанием по теме «Окружность»

В окружающем нас мире существует множества предметов которые имеют форму окружности или ее элементы и в связи с этим мы можем решить ряд практических задач.

Задача 1. Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Колесо пред­став­ля­ет собой круг, 18 спиц ко­то­ро­го делят на 18 кру­го­вых секторов. Так как развёрнутый угол равен 360° для каж­до­го из сек­то­ров имеем: 

Ответ: 20

Задача 2. Поезд едет со скоростью км/ч. Диаметр его колеса равен см. Сколько оборотов в минуту делает колесо поезда?

( Примите )

Решение:

Длина окружности колеса, если принять , примерно равна см. За одну минуту поезд проходит метров. Следовательно, за одну минуту колесо делает (оборотов).

Ответ: оборотов

Задача 3. Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту км над Землей (радиус Земли примерно равен км)?

Решение:

По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть  .
.
Тогда по теореме Пифагора: ,

(км.)

Ответ:км.

Задачи с практическим содержанием по теме «Многоугольник»

Объекты имеющие форму многоугольника часто встречаются в повседневной жизни. Рассмотрим несколько задач практического содержания по данной теме.

Задача 1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 24 см и 37 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 1440 см2. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть  см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

 Корень −34,5 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 4 см.

 Ответ: 4.

Задача 2. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Решение.

Площадь пола равна 7∙9 = 63 м2, а площадь одной дощечки 10∙20=200 см2 = 0,02 м2. Следовательно, чтобы ими покрыть 63 м2, потребуется

63:0,02 = 6300:2 = 3150 дощечек.

Ответ: 3150.

Задача 3. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?

Решение.

Стена имеет размеры 340 см на 480 см, то есть, площадь

S=340∙480=163 200 см2.

Плитка имеет площадь 20∙20=400 см2, следовательно, их потребуется

163200:400 = 1632:4 = 408 штук.

Ответ: 408.

Задачи для самостоятельного решения

Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 230 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в см) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 20°

Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если её верхний конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.

Ответы:

736 см; 2. 18 спиц; 3. 2 метра

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/390113-reshenie-geometricheskih-zadach