Учебный курс «Школьная геометрия: многообразие идей и методов»

Пояснительная записка.

Данный учебный курс «Школьная геометрия: многообразие идей и методов» разработан в рамках дополнительного образования, ориентирован на обучающихся 7-ых классов и рассчитан на 18 часов.

Данная рабочая программа разработана на основе программы факультативного курса для 7 класса «Школьная геометрия: многообразие идей и методов» авторов:Н.М. Рогановский, Е.Н.Рогановская, О.И.Тавгень. В рабочей программе сохранен авторский подход в части структурирования учебного материала, определения последовательности его изучения, путей формирования системы знаний, умений и способов деятельности, развития, воспитания и социализации обучащихся. В программе уменьшено количество часов с 34 до 18.

Учебный курс «Школьная геометрия: многообразие идей и методов» является своего рода сопровождением базового и повышенного курсов, посильно расширяя и дополняя эти курсы. В содержании данного учебного курса с учётом рамок базового и повышенного курсов делается больший акцент на математические методы, являющиеся основным инструментом изложения теории и решения задач.

Каждая тема курса непосредственно связана с материалом общеобразовательного курса математики. При этом программа предусматривает достижение двоякой цели: во-первых, довести изучаемый материал до того уровня, на котором обучающемуся становится ясным его принципиальная математическая важность, до известной степени завершённости; во-вторых, показать непосредственные связи школьной математики с наукой и её приложениями.

Материал курса не дублирует вузовские программы, но в целом ряде случаев позволяет с общих позиций взглянуть на школьную математику и подчеркнуть единство предмета и метода математической науки. Поэтому важно в рамках данного учебного курса идти не от вузовских курсов, адаптируя их к школьникам, а показывать, каким образом из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью, которые впоследствии сыграют роль своего рода пропедевтики для изучения вузовских курсов математики.

Учебный курс «Школьная геометрия: многообразие идей и методов» содержит разнообразные темы как теоретического, так и прикладного плана. Предполагается, что в процессе занятий будет показана история возникновения и развития ряда изучаемых методов, концепций и идей, их значение для математики, для других наук и областей практической деятельности.

В предлагаемом учебном курсе развитие его содержания обеспечивается путём раскрытия многообразия идей и методов школьной геометрии, решения содержательных задач. На занятиях обучающимся будут предлагаться задачи занимательного характера, исторические сведения. Обучающиеся будут иметь возможность выступить с лекцией, провести под руководством учителя экскурсию на интересующее их предприятие или в учебное заведение, подготовить и сделать доклад по выбранной тематике. Такой курс окажется интересным и полезным и тем обучающимся, которые не проявляют специального интереса и склонности к занятиям математикой, но хотят расширить свой кругозор.

Цели курса:

Формирование интереса и положительной мотивации школьников к изучению геометрии.

Знакомство с геометрией как инструментом познания и преобразования окружающей действительности.

Задачи курса:

ознакомление обучающихся с основными математическими методами в процессе систематического изучения геометрических фигур и их свойств, систематизации и углубления знаний об измерении геометрических величин, углублённого изучения геометрических построений и преобразований, координат и векторов, приобретения умений и навыков в решении задач повышенной сложности;

развитие познавательного интереса, логического мышления, наблюдательности, воображения, математической интуиции, математической речи, умственных способностей: гибкости, критичности и глубины ума, самостоятельности и широты мышления, памяти, способности к цельности восприятия, генерированию идей, укрупнению информации и др.;

формирование исследовательских навыков применения методов научного познания: анализа и синтеза, абстрагирования, обобщения и конкретизации, индукции и дедукции, классификации, аналогии и моделирования и др.;

развитие общих учебных умений: постановки учебной цели, выбора средств её достижения, структурирования информации, выделения главного и т. д.;

формирование мировоззренческих представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о роли математики и её методов в общественном прогрессе;

развитие и углубление познавательного интереса к математике, стимулирование самостоятельности обучающихся в изучении теоретического материала и решении задач повышенной сложности, создание ситуаций успеха по преодолению трудностей, воспитание трудолюбия, волевых качеств личности;

стимулирование исследовательской деятельности обучающихся, активного участия их во внеклассной работе по математике, в математических олимпиадах;

воспитание нравственных качеств личности: настойчивости, целеустремлённости, творческой активности и самостоятельности, трудолюбия и критичности мышления, дисциплинированности, способности к аргументированному отстаиванию своих взглядов и убеждений;

эстетическое воспитание (раскрытие красоты математической теории, совершенства математического доказательства, точности в постановке математической задачи, рациональности её решения, раскрытие связи курса математики с архитектурой, живописью, музыкой, скульптурой).

Ожидаемые результаты:

Геометрические фигуры и их свойства

Курсдаёт возможность обучающимся:

систематизировать знания о математических методах, используемых при изучении геометрических фигур и их свойств;

получить и углубить представление о роли аксиом, определений и доказательств в построении геометрии, о методе от противного;

получить представление о строгих доказательствах (их точности, общности, объективности), уметь проводить доказательства повышенной сложности: доказательства признаков равенства треугольников, теоремы о единственности прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную к данной прямой, признака параллельности прямых, теоремы Фалеса;

научиться применять метод равных треугольников в различных ситуациях;

приобрести навык решения геометрических задач повышенной сложности;

При этом обучающиеся должны:

знать и правильно использовать геометрические термины;

уметь изображать геометрические фигуры на чертеже;

уметь формулировать определения понятий:

а) отрезка, угла, треугольника, равных отрезков (углов, треугольников);

б) прямого, острого и тупого угла, биссектрисы угла;

в) перпендикулярных и параллельных прямых;

– знать и уметь доказывать теоремы:

а) о сумме смежных углов и равенстве вертикальных углов;

б) о свойствах точек серединного перпендикуляра к отрезку и биссектрисы угла;

в) о признаках и свойствах параллельных прямых;

г) о сумме углов треугольника, о свойствах и признаках равнобедренного треугольника; о средней линии треугольника; о признаках равенства прямоугольных треугольников;

д) о катете, лежащем против угла в 30°, и медиане, проведённой к гипотенузе;

е) о неравенстве треугольника;

уметь решать нестандартные геометрические задачи.

Измерение геометрических величин

Курсдаёт возможность обучающимся:

– систематизировать знания о математических методах, используемых при изучении вопросов измерения геометрических величин (расстояние между двумя точками, длина отрезка, градусная мера угла, площадь многоугольника).

При этом обучающиеся должны:

знать свойства расстояния между двумя точками, длины отрезка, градусной меры угла, площади многоугольника;

уметь доказывать и применять при решении задач теорему Пифагора, формулы площади прямоугольного треугольника и прямоугольника, теорему об измерении центрального угла окружности.

Геометрические построения

Курсдаёт возможность обучающимся:

систематизировать сведения о методах решения задач на построение;

приобрести навык в проведении: а) поиска решения задач на построение; б) построений с помощью циркуля и линейки; в) доказательства правильности построений; г) исследования решения задачи.

При этом обучающиеся должны:

понимать смысл терминов: задача на построение, условие и требование задачи, этапы решения задачи (анализ, построение, доказательство, исследование);

уметь решать основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки;

познакомиться с основными методами решения задач на построение, прежде всего с методом ГМТ.

Учебно-тематический план.

Содержание курса.

Как строится геометрия: главная идея.

Основная цель – заложить первоначальные представления о методе построения школьной геометрии, о логическом строении геометрии, систематизировать знания обучающихся об основных геометрических фигурах.

Разъясняется смысл и назначение аксиом принадлежности, расстояния и порядка, измерения и откладывания углов, равенства треугольников, параллельности прямых.

Аксиомы, определения и теоремы: кому и зачем они нужны.

Аксиомы прямой и расстояния. Что можно определить с их помощью?

Смежные и вертикальные углы: «не совсем очевидное и не совсем вероятное».

Центральный угол окружности. Почему центральный угол окружности может быть больше 180?

2. Метод равных треугольников – исторически первый геометрический метод.

Как метод равных треугольников применяется при изложении вопросов перпендикулярности и параллельности прямых.

Основная цель – ознакомить обучающихся с применением метода равных треугольников в новых условиях, выработать навыки применения метода равных треугольников к решению задач различной сложности, в том числе – сформировать первоначальные умения в решении задач повышенной сложности, систематизировать свойства перпендикулярных и параллельных прямых, признаки параллельности прямых, сведения о теореме Фалеса, о теоремах, устанавливающих связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых.

Как признаки помогают отличить одно понятие от другого.

Признаки параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых и трудный путь её становления.

Четырёхугольник Саккери.

Геометрические взаимосвязи: связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых.

Теорема Фалеса – пик применений метода равных треугольников.

Треугольник – основная геометрическая фигура.

Основная цель – показать дальнейшее развитие метода равных треугольников и познакомиться с двумя новыми геометрическими методами: методом, основанным на применении теоремы Пифагора, и методом площадей, систематизировать и дополнить знания обучающихся о свойствах треугольников, разъяснить назначение аксиом измерения площадей, выработать навыки решения основных задач, связанных с различными видами треугольников, научить пользоваться теоремой Пифагора и обратной теоремой.

Доказательства теорем, которые рассматриваются в основном курсе, как правило, опускаются.

Введением аксиом площади заканчивается ознакомление обучающихся аксиомами планиметрии. Осуществляется первоначальное знакомство с методом площадей.

Необходимость доказательства теорем. Знаменитая теорема о сумме углов треугольника. Внешний угол треугольника.

Неутомимые труженики в геометрии: равнобедренный и равносторонний треугольники.

Что такое средняя линия треугольника.

Дальнейшее развитие метода равных треугольников –прямоугольный треугольник.

Две замечательные теоремы: о катете, лежащем против угла в 30°, и медиане, проведённой к гипотенузе.

Первые геометрические неравенства: неравенства треугольника.

Решение задач с помощью теоремы Пифагора.

4. Конструктивные методы в геометрии: задачи на построение.

Основная цель– познакомить обучающихся с конструктивными методами геометрии и, прежде всего с одним из основных таких методов – методом геометрических мест точек.

Вводится схема решения задач на построение, систематизируются сведения о решении основных задач на построение. Приводятся примеры более сложных задач на построение треугольников. Вырабатывается первоначальный навык решения задач на построение методом геометрических мест точек.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой.

Примеры более сложных задач на построение.

Пример задачи, не разрешимой с помощью циркуля и линейки.

Список литературы.

Геометрия. 7—9 классы. Многообразие идей и методов: пособие для учителей общеобразоват. учреждений с белорус.и рус. яз. обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н. Рогановская,О. И. Тавгень. — Минск: Аверсэв, 2011. — 313 с. : ил. — (Факультативные занятия).

Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии / В. В. Прасолов. — М.: Наука, 1986.—Ч. 1, 2.

Шарыгин, И. Ф. Задачи по геометрии: планиметрия / И. Ф. Шарыгин. — М.: Наука, 1986.

Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углуб. изуч. математики / Л. С. Атанасян [и др.]. – 4-е изд. – М.: Вита-Пресс, 2002.

Бахтина, Т. П. Математика: пособие для поступающих в Лицей БГУ / Т. П. Бахтина, И. И. Воронович, Д. В. Синькевич. — Минск: Изд. центр БГУ, 2002.

Березин, В. Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: кн. для учителя / В. Н. Березин, Л. Ю. Березина, И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1985.

Будак, А. Б. Элементарная математика: руководство для поступающих в МГУ / А. Б. Будак, Б. М. Щедрин. — М.: Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 1996.

Глейзер, Г. И. История математики в школе: VII—VIII классы / Г. И. Глейзер. — М.: Просвещение, 1982.

Дополнительные главы по курсу математики: учеб. пособие по факультативному курсу для учащихся 7—8 классов / сост. К. П. Сикорский. — М. : Просвещение, 1974.

Кокстер, Г. С. М. Новые встречи с геометрией / Г. С. М. Кокстер, С. Л. Грейтцер. — М.: Наука, 1978.

Костовский, А. Н. Геометрические построения одним циркулем / А. Н. Костовский. — М: Наука, 1984.

Курант, Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс. — М.: Просвещение, 1967.

Литцман, В. Теорема Пифагора / В. Литцман.— М.: Физматгиз, 1960.

Лоповок, Л. М. Факультативные задания по геометрии для 7—11 классов / Л. М. Лоповок. – Киев: Радянська школа, 1990.

Радемахер, Г. Числа и фигуры: Опыты математического мышления / Г. Радемахер, О. Теплиц. — М.: Физматгиз, 1962.

Смогоржевский, А. С. Линейка в геометрических построениях / А. С. Смогоржевский. — М.: Наука, 1984.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/395882-uchebnyj-kurs-shkolnaja-geometrija-mnogoobraz