Урок на тему «Теорема о трех перпендикулярах»

Конспект урока

по предмету«Математика, алгебра, начала анализа, геометрия»

на тему:

«Теорема о трех перпендикулярах.»

преподаватель математики: Мхце Н.Е.

Цели урока:

Обучающие цели урока:

выучить теорему о трех перпендикулярах инаучиться применять ее при решении задач;

Развивающие цели урока

Учить:

Способствовать развитию математической речи, мышления, памяти. Воспитательные цели урока

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации.

Развивать интерес к предмету.

Воспитывать требовательность к себе, чувство собственного достоинства, дисциплинированность, аккуратность, добросовестность, ответственность и честность.

Оборудование, наглядность, электронные приложения к уроку.

Компьютер, беспроводная мышь. Мультимедийный проектор.

Методы обучения:

Беседа с использованием наглядных пособий и слайдов;

Обсуждение, объяснение;

Самостоятельная работа.

Структура урока.

ХОД УРОКА

1. Вступительное слово учителя. Постановка цели урока. (цель: Формирование навыка научной организации труда)

Здравствуйте! Сегодня у нас не совсем обычный урок, вернее урок – обычный, но на нём будут присутствовать гости. Мне бы хотелось, чтобы вы показали им, какими знаниями и умениями владеете и оставили о себе хорошее впечатление.

Обратите внимание на слайд. Согласны ли вы с утверждением Михаила Васильевича Ломоносова? Я считаю, что раздел геометрия на 100% выполняет эту функцию. Как вы думаете, верно ли это? Да, в геометрии всё очень строго и логично. Один факт вытекает из другого. И нужно очень аккуратно строить ход своих мыслей, чтобы верно решить ту или иную задачу, доказать теорему или сделать утверждение

2.Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос учащихся.

Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?;

Определение перпендикулярности прямой и плоскости;

Признак перпендикулярности прямой и плоскости;

Что называется перпендикуляром к плоскости?;

Что называется наклонной к плоскости?;

Что называется проекцией наклонной на плоскость?

Что называется расстоянием от точки до прямой?

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Изложение нового материала.

Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.
И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

В теореме идет речь трех перпендикулярах. Укажем их:

АО – это перпендикуляр к плоскости α, а значит, к прямой с.

ОВ– проекция, перпендикуляр к прямой с.

АВ – наклонная, перпендикуляр к прямой с..

Доказательство:

Обратная теорема разбирается устно.

4. Закрепление нового материала

А) Решаем устные задачи по готовым чертежам на доске и на раздаточных листах с готовыми чертежами. (Приложение 1.). Выделяем на чертеже три перпендикуляра.

Б) Решаем задачи только по условию, записанному на доске

с оформлением решения в тетради.

Задача 7. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD .Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные.

Рис. 4

1) Дано: прямоугольник АВСD, МВ ⊥ АВС. 

Доказать: ∆АМD и  ∆МСD – прямоугольные

Доказательство:

МВ – перпендикуляр к плоскости АВС. МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА перпендикулярна прямой АD из плоскости АВС. Значит, и наклонная МА перпендикулярна DА (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой.

Аналогично, МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС. Проекция ВС перпендикулярна СD, значит, и наклонная МС перпендикулярна СD(по теореме о трех перпендикулярах). Угол МСD прямой, треугольник МСDпрямоугольный.

Задача 8.

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК  к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 6 см, 7 см, 9 см. Найдите длину перпендикуляра АК.

Решение:

Задача 9.

Решение:

В) Самостоятельное решение задач

На доске две задачи. Работы проверяются по готовым решениям на доске.

Iвариант.

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК  к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 12см, 14 см, 18 см. Найдите длину перпендикуляра АК.(ответ 4).

IIвариант.

Из вершины D квадрата АВСD со стороной 4 см к его плоскости проведен перпендикуляр DК= 33см. Найдите площадь треугольника АВК(ответ 14).

Дополнительные задачи:

1.Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ┴ ВС.

2.В треугольнике угол С прямой, угол А равен 60⁰,AС=12см.DC ┴ (АВС). DC=6√5 Найдите расстояния:

а) от точки С до прямой АВ, б) от точкиD до прямой АВ.

3.Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.

Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

4.Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =2√7

5.Один из катетов прямоугольного треугольника равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая СD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

5. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах.

Следующий урок мы также посвятим решению задач по этим важным темам. Выставляются оценки за урок.

Домашнее задание.

Задача 1. (устно)

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Доказательство:

Задача 2. (устно)

Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр ВМ к его плоскости.

Приложение.(Задачи на готовых чертежах.)

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

4. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С, Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2004.

5.Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Шарыгин И. Ф.- М. Дрофа, 2001.

6.А. П. Ершова, В. В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса. – М.: Илекса, 2003

7.Лоповок Л. М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителя. - К.: Рад. Шк., 1990.

8.Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. Материалы/Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко и др.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. СССР (Источник).

2. Якласс (Источник).

3. Банк ЕГЭ (Источник).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/403094-urok-na-temu-teorema-o-treh-perpendikuljarah