Задания по алгебре и геометрии. 9 класс

Рациональные выражения

1.  Упростите выражение , найдите его значение при ; . В ответ запишите полученное число.

2.  Упростите выражение  и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

3.  Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

4.  Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

5.  Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответе запишите найденное значение.

6.  Представьте в виде дроби выражение    и найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

7.  Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответе запишите полученное число.

8.  Упростите выражение    и найдите его значение при  

9.  Найдите значение выражения  при 

10.  Найдите значение выражения  при 

11.  Найдите значение выражения  при 

12.  Упростите выражение  и найдите его значение при  В ответе запишите найденное значение.

14.  Найдите значение выражения  при а = 6.

15.  Сократите дробь 

16.  Упростите выражение  и найдите его значение при   В ответе запишите найденное значение.

17.  Найдите значение выражения  при  

18.  Найдите значение выражения  при  

19.  Найдите значение выражения  если 

20.  Найдите значение выражения  при 

21.  Найдите значение выражения  при 

22.  Найдите значение выражения  при 

23.  Найдите значение выражения  при 

24.  Найдите значение выражения  при 

25.  Найдите значение выражения  при 

26.  Найдите значение выражения  при a = 78, c = 21.

27.  Найдите значение выражения  при a = 7,7.

28.  Найдите значение выражения: , если 

Алгебраические выражения

1.  Какое из следующих выражений равно  ? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  2)  3)  4) 

2.  Какое из следующих выражений равно  ? В ответе укажите номер правильного варианта. 

1)  2)  3)  4) 

3.  Представьте выражение   в виде степени с основанием c.

В ответе укажите номер правильного варианта. 

1)  2)  3)  4) 

4.  Представьте выражение   в виде степени с основанием x.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  2)  3)  4) 

5.  Найдите значение выражения   при  .

В ответе укажите номер правильного варианта. 

1) −125 2) 125 3)  4) 

6.  Сравните числа x и y, если  ,  . В ответ запишите большее число.

7.  Какому из следующих выражений равна дробь 

В ответе укажите номер правильного варианта.

 1)  2)  3)  4) 

8.  Представьте выражение   в виде степени с основанием 

В ответе укажите номер правильного варианта. 

1)  2)  3)  4) 

9.  Представьте выражение   в виде степени с основанием 

В ответе укажите номер правильного варианта. 

1)  2)  3)  4) 

10.  Представьте выражение   в виде степени с основанием x.

В ответе укажите номер правильного варианта. 

1)  2)  3)  4) 

11.  Какое из данных чисел   является иррациональным?

1)  2)  3)  4) все эти числа рациональны

12.  Какое из данных ниже чисел является значением выражения  ? 

13.  Какое из данных ниже чисел является значением выражения 

1)  2)  3)  4) 

14.  Какое из данных ниже выражений при любых значениях   равно дроби  ?

1)  2)  3)  4) 

Трапеция

1.  Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30° и 45° соответственно.

2.  Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

3.  Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

4.  Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

5.  Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.

6.  Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.

7.  Найдите угол  ABC  равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  AD и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 80° соответственно.

8.  Найдите меньший угол равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  BC  и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 105° соответственно.

9.  Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен   Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.

10.  Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.

11.  Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

12.  Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

13. 

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно.

14.  В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

15.  Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

16.  Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции.

17.  Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. Запишите величины углов в ответ без пробелов в порядке неубывания.

18.  В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

19.  Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 32.

20.  В трапеции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

21.  Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC.

Касательная, хорда, секущая, радиус

1. 

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

2. 

Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду  AB, равную радиусу окружности.

3. 

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

4. 

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC =  Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

5. 

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

6. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

7. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

8. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.

9. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.

10. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

11. 

Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

12. 

На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

13. 

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

14. 

Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

15. 

Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

16. 

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

17. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2.

18. 

Касательные в точках  и  к окружности с центром  пересекаются под углом 76°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

19. 

К окружности с центром в точке  проведены касательная  и секущая . Найдите радиус окружности, если , .

20. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

21. 

Отрезок  касается окружности радиуса 24 с центром  в точке . Окружность пересекает отрезок  в точке . Найдите .

22. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

23. 

К окружности с центром в точке  проведены касательная  и секущая . Найдите радиус окружности, если , .

24. 

Отрезок  касается окружности радиуса 54 с центром  в точке . Окружность пересекает отрезок  в точке . Найдите .

25. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

26. 

К окружности с центром в точке  проведены касательная  и секущая . Найдите радиус окружности, если , 

27. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

28. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

29. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

30. 

На отрезке  выбрана точка  так, что  и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки  к этой окружности.

31. 

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.

32. 

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Центральные и впи­сан­ные углы

1. 

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

2. 

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

3. 

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

4. 

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

5. 

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

6. 

В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

7. 

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

8. 

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

9. 

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.

10. 

Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.

11. 

Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

12. 

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

13. 

Точка О — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

14. 

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что  Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

15. 

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

16. 

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 15° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

17. 

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

18. 

В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

19. 

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°.

20. 

Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

21. 

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

23. 

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Найдите угол , если угол  равен 44°. Ответ дайте в градусах.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/414612-zadanija-po-algebre-i-geometrii-9-klass