Урок по теме «Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды»

Решение задач на вычисление площади поверхности усеченной пирамиды

Цель: отработка умений решения задач на вычисления в правильной усеченной пирамиде

Подготовительная работа:

Определение усеченной пирамиды и ее элементы

Определение и свойства усеченной пирамиды (индивидуально доказываются свойства)

Площадь боковой поверхности- формулу выводит один из учащихся

Решение задач: задача разбирается с доской

№1

Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды   равны 3 см и 9 см, высота – 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

.

Решение. Проиллюстрируем условие:

Задано:  ,  , 

Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку   проведем прямую   (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды. Рассмотрим полученную трапецию   (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем   перпендикулярно MN. Из точки   опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра ( ). Рассмотрим прямоугольный треугольник  , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.

Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:

№2

Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой   и стороной основания   рассечена плоскостью  , проходящей через середину   высоты РН параллельно основанию АВС. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

К данной задаче составляется план решения вместе с учащимися, учащиеся работают по плану самостоятельно, но результат каждого этапа проверяется

Решение.

АСВ – правильный треугольник, Н – центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ – апофема заданной пирамиды.   – апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:

Отсюда:

Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:

Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ – апофему исходной пирамиды:

Из начального соотношения:

Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

Задача для самостоятельного решения дома:

Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной

пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины

пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 см, а площадь её полной

поверхности равна 186 см2. Найдите высоту усечённой пирамиды.

Можно составить план решения задачи- решение дома по плану

Итоги:

Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/419438-urok-po-teme-ploschad-bokovoj-poverhnosti-use