Урок «Логарифмы»

Логарифмы

Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.

Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение  не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.

С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции   должно равняться 5.

Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.

Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как   – логарифм пяти по основанию 2.

То есть, определение логарифма следующее: для  . То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма ( ), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ( ).

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1)  , так как  .

2)  , так как  .

3)  , так как  .

4) , так как  .

Особые виды логарифмов

Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом:  .

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием   (напомним, что  ). Он обозначается следующим образом:  .

Основное логарифмическое тождество

Исходя из определения логарифма  , легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем:  .

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов ( ).

1)       (т.к.  ),   

2)       

3)    

4)      

5)    Формула перехода к новому основанию:   

6)     (т.к.  )

7)     (т.к.  )

На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.

В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/431088-urok-logarifmy