Логарифмические уравнения

Н.П. Веселова, Т.И. Рыбкина

МБОУ «Лицей №1» г. Братска

ГЛАВА II. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

(из методического пособия «Логарифмы. Преобразования, уравнения, неравенства»).

Методы решения уравнений.

1. Простейшее логарифмическое уравнение.

Простейшее логарифмиче­ское уравнение — это уравнение вида ,

где а > 0, . Это уравнение имеет единственное решение

Пример 1. Решить уравнение

Пример 2. Решить уравнение

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

Допустимые значения х определяются условиями:

Решаем уравнение

,

С учетом системы ОДЗ получаем один корень:

Ответ: 1

Задания для самостоятельного решения:

1. = - 1;

2. = 4;

3. 2

4.

5. -

6.

7. ;

8. = 2;

9.

10.

2.Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим.

При решении уравнений вида

гдеа > 0, используется метод потенцирования.

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению ;

получаем х=1, х=4.

Ответ: 1;4.

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

Ответ: 4.

Пример 3. Решить уравнение

Решение: Запишем равносильную систему:

Уравнение системы сводится к квадратному уравнению

корнями которого являются числа 1 и 4, из которых только 4

удовлетворяет неравенству системы.

Ответ: 4.

Иногда при решении уравнений используют свойства логарифмов.

Пример4. Решить уравнение

Решение: Найдем область определения уравнения:

= . Так как равны логарифмы, равны их основания, то равны и выражения, стоящие под знаком логарифма.

Получаем = ; Оба корня удовлетворяют условию

Ответ:5;.

Задания для самостоятельного решения:

1.

2.

3.

4. ;

5.

6.

7. =2;

8.

9.

10.

3. Метод замены переменной.

Если уравнение можно привести к виду , то, полагая

t = , получим уравнение .

Пример1. Решить уравнение

Решение: Преобразуем уравнение, считая х > 0:

уравнение примет вид

,корни которого t = 1, t = -7. Значит данное уравнение равносильно совокупности уравнений

= -7, следовательно х = 2, х = . Оба корня удовлетворяют условию

Ответ:2;.

Пример2. Решить уравнение log₂(2x) - log₂(4x) = 3

Решение: Преобразуем уравнение, считая х > 0:

(log₂2 + log₂x) - (log₂4 + log₂x) = 3(21og₂8 - 21og₂x)².

Пустьt=log₂x. Тогда получим уравнение (1+t)(2+t)=3(6-2t)^2,корнями которого являются . Таким образом, приходим к совокупности

и в результате получаем: х =4; .

Ответ:4;.

Задания для самостоятельного решения:

1. 2 +1=0;

2. + – 7 =0;

3.

4. = 2

5. + 2 +

6. + 2

7. lglgх + lg(lg - 2) =0;

8. 2lglgх = lg(7 – 2lgх) – lg5;

9.

10. 3

4. Метод логарифмирования.

Этот метод основан на следующем утверждении: если функции f(x) и h(х) принимают положительные значения наОДЗ и а>0, а 1, то уравнение f(х) = h(x) равносильно уравнению на ОДЗ.

Пример1. Решить уравнение=0,01.

Решение: Область определения уравнения х>0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях уравнения, принимают только положительные значения, а тогда логарифмы этих выражений существуют. Взяв логарифмы от обеих частей уравнения по основанию 10, получим уравнение

=lg 0,01 или (1-lg х)lg х= -2.

Пустьu = lg х, получим уравнение и² - и -2 = 0, откуда

. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:

.

Получаем .

Проверка: Оба найденных значения х принадлежат области определения уравнения, таким образом,

Ответ: 0,1; 100.

Пример2. Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 ( можно 5 или 10). Получим ,

=,

,

группируем

Ответ: 1; .

Задания для самостоятельного решения:

1.

2.

3. = 10;

4.

5.

6.

7.

8. = 500;

9. ;

10. =1.

5. Метод разложения на множители.

Пример1. Решить уравнение

Решение: ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

Пусть .

Получим уравнение , которое решим как квадратное относительно а и преобразуется к виду .

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности

В результате получаем х = 6, х = -1, х = -4 . В область определения уравнения входит только х = 6.

Ответ: 6.

Задания для самостоятельного решения:

1. 3х + 6х;

2.

3. + 1 =;

4.

5.

6. х + 1 = 4х + 2

7. 3 +

8. 3

9. 3 - = 5;

10. – х

6. Использование монотонности логарифмической функции.

Пример1.Решить уравнение

Решение: Область определения уравнения х , кроме того х Запишем уравнение в виде

Заметим, что функция, стоящая в правой части уравнения – возрастает, а функция, стоящая в левой части уравнения – убывает. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня, который находим подбором, х = 4.

Ответ: 4.

Пример2.Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в виде

Так как , то при всех х дробь ,

С другой стороны, разность 2 - (π– 2x)² ≤ 2. Рассматривая только те значения х, при которых 0 < 2 - (π - 2х)² ≤ 2, используя монотонность функции log₂t, приходим к неравенствам

из которых следует, что равенство левой и правой частей уравнения выполняется только в том случае, когда

Так как число удовлетворяет первому уравнению системы, то оно является решением данного уравнения.

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения:

1. lgх + = 0;

2. = 2;

3. = х – 3;

4.

5.

6. 1 – lnх = ;

7. =

8. 2 =

9. = 10 -

10.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/43168-logarifmicheskie-uravnenija