Конспект урока по теме «Приложения определенного интеграла»

Занятие № 27. Приложения определенного интеграла.

Цель – изучить приложения определенного интеграла.

Задачи: 1. Изучить приложения определенного интеграла; 2. Формировать у обучающихся навыки вычисления определенных интегралов; 3. Развивать математическую культуру, логическое мышление, внимание; 4. Воспитывать дисциплинированность, аккуратность, усидчивость.

Ход занятия.

I. Организационный момент.

II. Опрос.

III. Теоретическая часть.

1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины u, соответствующей промежутку изменения независимой переменной x, выполняется по следующей схеме:

1. Пусть величина u получает приращение , соответствующее изменению x на малую величину ; рассматривается как данная или определяемая из условия задачи функция от x.

2. Заменив приращение дифференциалом и - дифференциалом , получим .

3. Интегрируя это равенство от до , находим .

2. Вычисление площади плоской фигуры.

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и двумя прямыми и , где ,.

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси
Oy так, что ,, то дифференциал переменной площади S равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой осью Ox и двумя прямыми и , лежит под осью Ox, площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой осью Ox и двумя прямыми и , лежит по обе стороны от оси Ox, то .

Пусть фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми и и прямыми и , где и . Тогда ее площадь находится по формуле.

Пример. Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1).

2).

3).

4).

3. Вычисление пути, пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до , вычисляется по формуле .

Пример. 1) Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

2) Скорость движения точки . Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

3) Скорость движения точки . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

4) Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

5) Скорость движения точки . Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.

6) Скорость движения точки . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/441713-konspekt-uroka-po-teme-prilozhenija-opredelen