Проект Предметно-развивающая зона кабинета математики «Геометрические фигуры и формулы их площадей»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Киселёвка

Ульчского района Хабаровского края

Проектная работа

Предметно-развивающая зона кабинета математики

«Геометрические фигуры и формулы их площадей»

Автор проекта: Швец Кирилл, ученик 9 класса

Руководитель: Ойдуп Елена Баторовна,

учитель математики

с. Киселёвка

2021 год

Содержание

1. Введение

Актуальность.

В этом году мне предстоит сдать основной государственный экзамен по математике. Чтобы сдать успешно экзамен, мне нужно применять знания в практической ситуации, уметь решать уравнения, задания на тождественное преобразование дробей, многочленов, текстовые алгебраические и геометрические задачи.

При подготовке к экзамену у меня возникли трудности при решении геометрических задач. Эти задачи требуют сформированности умений решать практические задачи, связанные с нахождением различных геометрических величин, выполнять расчеты, используя формулы площадей, основные формулы тригонометрии, умений переводить условие задачи с описанием реальной ситуации на язык геометрии.

Проблема. Чтобы решить задачи, связанные с вычислением площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников, необходимо знать формулы их площадей и уметь преобразовать. Например, чтобы найти площадь треугольника в разных типах задач ОГЭ, по крайней мере, нужно знать три формулы площади треугольника. Но мне и моим одноклассникам сложно их запомнить и научиться применять.

Счел возможным собрать воедино основные геометрические фигуры и формулы для расчета их площадей и создать стенд в кабинете математики. Просто создать стенд на ватмане мне показалось немного старомодным, поэтому я решил использовать свободную часть стены кабинета математики и превратить ее в предметно-развивающую зону.

Гипотеза:создание в кабинете математики зоны с изображением плоских геометрических фигур и формул для вычисления их площадей поможет ученикам в решении геометрических задач и украсит кабинет.

Цель:создание дополнительной платформы для отработки и запоминания формул площадей плоских геометрических фигур в виде предметно-развивающей зоны кабинета математики.

Задачи:

-провести анализ типов геометрических задач на ОГЭ на расчет площадей геометрических фигур;

- изучить требования к предметно-развивающим зонам;

- разработать эскиз зоны, содержащий изображение фигур и формулы площадей;

- оформить зону кабинета математики «Геометрические фигуры и формулы их площадей»

Новизна данной работы: зонирование кабинета математики.

Практическая значимость: наглядный стенд поможет в решении геометрических задач на нахождение площадей.

Объект.Предметно-развивающая зона кабинета математики.

Предмет.Предметно-развивающая зона с изображением геометрических фигур и формул их площадей.

Методы:

- поиск и изучение литературы;

-анализ и систематизация полученной информации;

- обобщение полученной (в ходе исследования) информации.

Ожидаемый результат: проанализированы КИМы ОГЭ по математике, создана предметно-развивающая зона кабинета математики.

1. Теоретическая часть

   1. Предметно-развивающая зона кабинета математики

Предметно – развивающая среда - это комплекс эстетических, психолого-педагогических условий, необходимых для осуществления педагогического процесса, рационально организованный в пространстве и времени.[3]

В предметно-развивающую среду входят следующие зоны:

1. Учебная зона.

2. Информационная зона.

3. Игровая зона.

4. Зелёная зона.

5. Санитарно-гигиеническая зона.

Информационная зона – располагается по всему периметру кабинета и представлена стендами на стенах. Стенды оформляются в цветном варианте, что притягивает взор детей, вызывая желание познакомиться с информацией.

Что необходимо разместить на стенде в кабинете математики?

Каждый знает, что математика является царицей наук. Стоить отметить, что в кабинете математики должны быть различные плакаты и стенды с таблицами и следующей основной информацией:

• Основные школьные формулы по следующим наукам: алгебра, планиметрия, тригонометрия, геометрия;

• Разного рода историческая информация: это могут быть портреты математиков или интересные факты о их жизни.

• Стенды с таблицами;

• Дополнительная информация.

1. 1. Виды геометрических задач в ОГЭ по математике.

Задания части I ОГЭ по математике предназначены для проверки базовой математической компетентности выпускников 9 класса.

При проверке базовой математической компетентности экзаменуемые должны продемонстрировать владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приемов решения задач), умение пользоваться математической записью, применять знания к решению задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Из 19 заданий первой части ОГЭ предлагают 5 геометрических задач (№ 15-19). Они представляют собой задачи на вычисление расстояний, углов, длин и площадей плоских фигур, в том числе по готовому чертежу. Эти задания направлены на проверку умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.[4]

В задании 15 даны задачи по теме «Треугольник». Чтобы успешно выполнить это задание нужно знать, чему равна сумма углов треугольника, что такое медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника, какова связь между длинами средней линии треугольника и параллельной ей стороны. Также нужно уметь применять теорему Пифагора для вычисления одной из сторон прямоугольного треугольника по двум другим его сторонам; понимать, что такое равнобедренный и равносторонний треугольники и уметь применять их простейшие свойства к решению задач.

Задание 16 представляет собой задачу, связанную с окружностями и их элементами.

С четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами мы встречаемся в 17 задании. Необходимо знать формулы вычисления площади четырехугольников, а также их свойства.

Задание 18 ОГЭ по математике представляет собой задачу по планиметрии на вычисление по готовому чертежу, изображённому на клетчатой бумаге. В таких задачах данные представлены в виде чертежа на бумаге в клетку, причём размеры клеток одинаковы и заданы условием. Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей. Клетки в таких задачах по сути выполняют роль линейки: посчитав «по клеточкам» необходимые длины и используя известные геометрические факты и свойства, можно довольно быстро получить ответ на вопрос задачи.

B некоторых случаях подобные задачи можно решить, разбив данную фигуру на прямоугольные треугольники и квадраты, площади которых легко вычислить. Если четырёхугольник не является выпуклым или если угол между его диагоналями отличен от прямого, но вершины четырёхугольника являются линиями сетки, можно дополнить его до прямоугольника, проведя через его вершины прямые по линиям сетки. После этого из площади полученного прямоугольника нужно вычесть площади дополняющих фигур, которыми будут прямоугольные треугольники и квадраты. Эту же идею можно использовать и при вычислении площадей треугольников с вершинами в узлах сетки, если стороны треугольника не лежат на линиях сетки.

Задание 19 направлено на проверку умения проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.

1. 1. Плоские фигуры и их свойства

2.3.1 Четырехугольники. Свойства четырехугольников.

Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющимися соседними, также называются противоположные.[1]

Четырехугольники

Параллелограмм

Трапеция

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

Квадрат

Ромб

Прямоугольник

Свойства и теоремы, связанные с четырёхугольниками.

Параллелограмм и его свойства.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

• противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны;

• сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной из его сторон, равна 180°;

• диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

П лощадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.S = ɑ∙ h, где ɑ – основание, h – высота.

Пустьa и b - длины двух смежных сторон

параллелограмма, h - соответственно высоты,

проведённые к этим сторонам, α - угол между

этими сторонами, S - площадь параллелограмма. Основные формулы для вычисления площади параллелограмма: S = ah; S = absinα.

Важнейшими частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб, квадрат. Они обладают всеми свойствами параллелограмма, но для них справедливы и некоторые дополнительные свойства, которыми произвольные параллелограммы не обладают:

• диагонали прямоугольника (а значит, и квадрата) равны;

• диагонали ромба (а значит, и квадрата) взаимно перпендикулярны.

П лощадьS прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон a и b, т. e. S = ab. Площадь квадрата S равна квадрату его стороны а, то есть S = a². Для вычисления площадей прямоугольника и ромба можно использовать формулу площади выпуклого четырёхугольника. Поскольку диагонали d₁ и d₂ ромба взаимно перпендикулярны, из формулы следует, что площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей: .

Т рапецияявляется более сложным четырёхугольником по сравнению с параллелограммом, поскольку у неё параллельны только две стороны (основания трапеции), а две другие не параллельны (боковые стороны трапеции). Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (диагонали такой трапеции равны, углы при любом из оснований также равны). Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее основания на высоту .

2.3.2. Треугольник. Свойство треугольников

Треугольник - геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Виды треугольников

По размерам углов

По размерам сторон

Равнобедренные

Разносторонние

Остроугольные

Прямоугольные

Равносторонние

Тупоугольные

Основные факты, связанные с треугольниками:

• сумма углов треугольника равна 180°;

• внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника;

• высоты треугольника пересекаются в одной точке;

• биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром вписанной в треугольник окружности);

• серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром описанной около треугольника окружности);

• медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин треугольника;

• средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому на ней и находятся центры вписанной и описанной окружностей.

Частный случай равнобедренного треугольника - равносторонний треугольник. В нём каждая высота является медианой и биссектрисой, поэтому центры вписанной и описанной окружностей совпадают и R = 2r.

Среди всех треугольников особое место занимает прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике один из катетов можно считать высотой, а другой – основанием. Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Разумеется, все остальные формулы площади треугольника применимы и к прямоугольному треугольнику. Кроме того, для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, а синус, косинус или тангенс его острого угла можно найти как отношение катета к гипотенузе или катета к катету.

Таким образом, для прямоугольного треугольника справедливы следующие основные формулы:

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных.

2.3.3. Окружность и круг.

Приведём основные факты по теме «Окружность и круг»:

• центральный угол окружности измеряется дугой окружности, на которую он опирается;

• вписанный угол окружности равен половине центрального угла и измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

• касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведённому в точку касания;

• отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны;

• центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла;

• длина окружности равна 2πr, где r - радиус окружности;

• площадь круга равна πr², где r - радиус круга.

Напомним основные факты об углах, связанных с окружностью, и о взаимном расположении окружностей:

• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, высекаемых на окружности любой из пар вертикальных углов, образованных этими секущими;

• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, высекаемых на окружности любой из пар вертикальных углов, образованных этими секущими;

• касательная к окружности перпендикулярна её радиусу, проведённому в точку касания;

• отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны;

• центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла;

• две окружности не имеют общих точек в том и только том случае, если расстояние между их центрами больше суммы радиусов этих окружностей;

• две окружности имеют ровно две общие точки (пересекаются в двух точках) в том и только том случае, если расстояние между их центрами меньше суммы радиусов этих окружностей;

• две окружности имеют ровно одну общую точку (касаются) в том и только том случае, если расстояние между их центрами равно сумме радиусов этих окружностей.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R.

Формулы вычисления площади круга.

1. П лощадь круга через радиус.

, где r – это радиус, π – константа, которая выражает отношение длины к окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

1. Площадь круга через диаметр.

, где d – диаметр.

1. Практическая часть

   1. Стена, как средство для запоминания формул

При подготовке к экзамену я заметил, что могу быстро решить алгебраические примеры, квадратные уравнения и неравенства, задания на нахождение значений выражений, так как знаю формулы дискриминанта и корней уравнения, формулы сокращенного умножения.

Но когда дело доходит до геометрических задач, часто заглядываю или в учебник, или справочник, чтобы посмотреть формулы. На это уходит время, переключение внимания сбивают от алгоритма решения, и не все формулы даны в справочнике, которыми мы можем воспользоваться на экзамене. Вывод формул на экзамене также не оптимален. Ведь я могу, во-первых, вывести их с ошибкой, во – вторых, мне потребуется знать алгоритм вывода, в – третьих, вывод формулы опять же требует время, которого на экзамене нет.

Для успешной сдачи экзамены нужно держать формулы в голове, чем прочнее и дольше формула там удержится, тем лучше не только для меня, но и для всех учеников. К сожалению, не всегда получается запомнить надолго формулы. Зрительная память – очень хороший инструмент для запоминания. То, что написано в учебнике – это теория, задачи, а формулы, красочно оформленные на стене в рамках пространства, привлекут внимание и неосознанно будут запоминаться. Счел возможным собрать воедино основные геометрические фигуры и формулы для расчета их площадей и создать стенд в кабинете математики.

1. 1. Составление эскиза предметной зоны кабинета математики

Выбрав направление работы по оформлению стены: «Площади геометрических фигур и формулы», начал практическую работу.

Сначала необходимо было составить эскиз. В Интернете подобрал плакаты с фигурами и формулами площадей. Проанализировал их. Смотрел на содержание эскиза (какие фигуры изображены, какие формулы указаны), на расположение фигур, масштаб фигур и подписей к ним, на цветовую гамму оформления. Определил плюсы и минусы рассмотренных эскизов.

П роанализировав имеющиеся эскизы, начал работу над оформлением собственного. Определился с названием «Формулы площадей фигур» и содержанием оформления зоны кабинета. Для симметричного изображения, решил изобразить 8 фигур в 2 ряда. Выбрал для изображения квадрат, ромб, параллелограмм, прямоугольник, треугольник, трапецию, круг. Всего 7 фигур. Но существует много различных формул площадей треугольника, поэтому решил изобразить 2 треугольника, чтобы отобразить 4 самые распространенные различные формулы площади треугольника (через основание и высоту, через произведение сторон и синус угла, через радиус вписанной окружности и через формулу Герона).

Создал свой эскиз.

1. 1. Подготовка стены.

После составления эскиза, приступил к оформлению стены кабинета математики совместно с руководителем.

1. 1. 1. Очистка стены.

На стене были приклеены плакаты, прибиты гвозди, мы их убрали, а старую известь очистили механическим способом шпателем.

1. 1. 1. Шпаклевка стены

Ш паклевание стен под покраску делается с целью создания ровной поверхности, на которой краска будет хорошо держаться.

Шпаклевание стены идет в два этапа. Первый этап это нанесение базовой шпаклевки, т.е. гипсовой, с добавлением специальных добавок, а второй этап – финишная отделка. Так как стена ровная, мы сразу нанесли финишную шпаклевку.

Изучил технологию приготовления и нанесения шпаклевки: [5]

При использовании сухих составов готовится раствор. Для этого смесь соединил с водой, тщательно перемешал до получения однородного состава, по консистенции он должен прилипать к шпателю.

Стартовую шпаклевку нанес на стену широким шпателем и равномерно распределил по поверхности в вертикальном, горизонтальном направлениях и по диагоналям. Чтобы избежать появления бугров, шпаклевка должна наноситься с небольшим нахлестом.

Раствор готовил небольшими порциями, чтобы повысить качество работы, иначе на стене мог получить засохшие части. При шпаклевании шпатель располагал под углом 30°.

1. 1. 1. Покраска стены

З атем была осуществлена покраска стены. Использовал покрытие на водной эмульсии, которое является одним из наиболее распространенных материалов для оформления стен и потолков. Они отличаются от аналогичных средств экологичностью и безвредностью, быстрым высыханием и возможностью получить любой цвет и оттенок.

Основа водоэмульсионки – это вода и минеральные вещества. Краска не имеет едкого запаха и проста в обращении. Мы использовали акриловую краску. Ее используют преимущественно внутри помещений. Краска влагостойкая, поверхность получается ровной и гладкой.

Приобретенная краска имела густоватую консистенцию. Чтобы покрасить стену без разводов, водоэмульсионную краску немного развел водой, постепенно помешивал для достижения однородности. Для получения определенного оттенка состава нужна колеровка. Выбрал оттенок - охра. Так как этот цвет теплый и больше подходит к шторам кабинета. Краску на стену нанес малярной кистью.[6]

1. 1. Оформление предметно-развивающей зоны кабинета

Измерил размеры стены. Длина стены – 5,8 м, высота – 3,3 м. Стену разделил на две части: внешнюю и внутреннюю. Акцент на стене сделал во внутренней части, поэтому в центре стены выделил прямоугольник размером 2х3, нанес метки рулеткой и карандашом на места, где будет скотч.

Заклеил скотч с небольшой натяжкой. Внутренняя часть прямоугольника покрасил еще раз на тон темнее.

Прямоугольник разделил на 3строки и 8 столбцов. В верхней строке, которая составляет 50 см, вписал название стенда «Формулы площадей фигур» высотой 30 см. Нижние две строки разделил на 8 квадратов размером 75см х 75см для фигур, названий и формул.

Н азвание предметной зоны, фигур и формул нанес через трафарет. Трафарет изготовил на принтере в программеWord. Я подобрал шрифт: для названия фигур более строгий, а для формул - с насечками. Вырезал при помощи канцелярского ножа все сегменты, предназначенные для покраски. Готовые трафареты названий фигур приклеил в выбранном месте скотчем. Затем аккуратно художественной кисточкой закрасил.

Расположил фигуры таким образом, чтобы создавалась общая красивая композиция. Для этого фигуры сначала вырезал одинаковой высоты на старых ватманах и временно расположил в каждом квадрате для визуализации.

Ввыбранном местоположении по этим же размерам начертил все фигуры: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, круг, ромб, трапеция и два треугольника. Чтобы линии получились четкими, ровно натянул малярный скотч. Затем фигуры раскрасил в два цвета (желтым и зеленым) в шахматном порядке.

Фигуры готовы. И к каждой фигуре подписывал формулы так же через самодельный трафарет сиреневым цветом.

Н а каждой фигуре выделил нужные элементы: высоту, радиус, диагонали, угол и выделил маркером. Названия стенда и фигур обвел по контуру маркером.

Старался соблюдать цветовую гамму, чтобы зона привлекала внимание, записи формул и обозначения элементов фигур были яркие, разборчивые, контрастные по отношению к цвету стены и изображенным фигурам.

Для создания законченности общего вида предметной зоны повесил портреты ученых- математиков. На уроках математики мы знакомимся с учеными, их открытиями, а портреты математиков помогут запомнить их и будут способствовать стремлению к достижению высот в изучении математиков.

1. 1. Экономический расчет

В процессе работы над оформлением использованы как приобретенные материалы, так и ранее бывшие в употреблении. Полностью израсходованы шпаклевка, скотч двух видов, бумага, маркеры. Общая сумма затрат составила 2573 р. Затраченные средства являются спонсорской помощью руководителя проекта.

Заключение

В этом году мне предстоит сдать основной государственный экзамен по математике. Трудности возникли при решении геометрических задач. Чтобы решить задачи, связанные с вычислением площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников, необходимо знать формулы их площадей и уметь преобразовать. Например, чтобы найти площадь треугольника в разных типах задач ОГЭ, по крайней мере, нужно знать три формулы площади треугольника. Но мне и моим одноклассникам сложно их запомнить и научиться применять.

Счел возможным собрать воедино основные геометрические фигуры и формулы для расчета их площадей и создать стенд в кабинете математики. Просто создать стенд на ватмане мне показалось немного старомодным, поэтому я решил использовать свободную часть стены кабинета математики и превратить ее в предметно-развивающую зону.

Для создания предметно-развивающей зоны я:

- провел анализ типов геометрических задач на ОГЭ на расчет площадей геометрических фигур;

- изучил требования к предметно-развивающим зонам;

- разработал эскиз зоны, содержащий изображение фигур и формулы площадей;

- оформил зону кабинета математики «Формулы площадей фигур».

При оформлении предметной зоны возникли трудности: небогатый ассортимент материала, необходимый для оформления зоны, нет доступа к разнообразию из-за труднодоступности нашего поселения. К сожалению, стенд будет сложно обновить.

Я приобрел практический опыт выравнивания стены, покраски, оформления названий, работы с трафаретом, игрой цветом. Выучил формулы площадей плоских геометрических фигур.

Список литературы:

• 1. Высоцкий И.Р. ОГЭ 2020. Математика. 37 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков – М. Издательство «Экзамен», МЦНМО,2020 - 215

  2. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват.организаций / [Л.С.Атансян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 7-е изд. – М. Просвещение, 2017 – 383 с.

  3. https://pandia.ru/text/79/222/22297.php

  4. https://multiurok.ru/files/oge-geometriia-zadanie-16-20.html

  5. https://otdelka-expert.ru/shpaklevka/sten/tehnologiya-shpaklevaniya-sten-753

  6. https://sanmarco-vernici.ru/blog/kak-pokrasit-steny-vodoemulsionnoj-kraskoj/

  7. https://4ege.ru/gia-matematika/60074-demoversija-oge-2021-po-matematike.html

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/454783-proekt-predmetno-razvivajuschaja-zona-kabinet