Общая методика изучения теорем и их доказательств (на примере темы «Описанная окружность» )

ВВЕДЕНИЕ

Понятия «теорема» и «доказательство» являются одними из главных в математике, но не имеют одного определения, применимого во всех случаях и в любых теориях. Именно поэтому в логике нет единого мнения об этих понятиях. Так, в интуиционистской и конструктивной логиках «под доказательством понимается конструктивное доказательство, то есть доказательство существования математического объекта считается верным только тогда, когда указывается способ потенциально осуществляемого построения (конструирования) этого объекта».

Можно привести из школьного учебника геометрии пример рассуждения, которое целесообразно считать конструктивным доказательством. В качестве примера конструктивного доказательства можно рассматривать определение перпендикуляра, проведенного к прямой, изложенное в учебнике «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна и др.

«Рассмотрим прямую и точку , не лежащую на ней. Соединим точку отрезком с точкой прямой . Отрезок называется перпендикуляром, проведенным из точки к прямой , если прямые и перпендикулярны. Точка называется основанием перпендикуляра».

Это определение можно рассматривать как доказательство наличия этого объекта, так как здесь указано каким образом можно всегда построить перпендикуляр из точки, не лежащей на прямой к самой прямой.

Так, в рамках интуиционистской логики возможно сформулировать теорему: «Существует перпендикуляр, проведенный из точки, не лежащей на прямой, к этой прямой.» А следовательно, способ построения объекта «перпендикуляр к прямой» можем считать доказательством данной теоремы.

В индуктивной же логике, которая была сформулирована в рамках установленной логики, «доказательством называют одну из форм доказательств, когда тезис, являющийся каким-либо общим суждением, обосновывается с помощью единичных или менее общих суждений»

Итак, подведя итог, сделаем несколько немаловажных выводов:

1) о доказательстве можно говорить только в рамках той или иной теории;

2) на математической логике построен школьный курс математики, поэтому о теореме и доказательстве разговор будет в рамках именно этого раздела логики.

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЙ «ТЕОРЕМА» И «ДОКАЗАТЕЛЬСТВО»

Для дальнейшего использования введем определение понятий «теорема» и «доказательство», приведенные А. А. Столяром.

«Под доказательством теоремы Т будем понимать конечную последовательность предложений (), принадлежащих данной теории, которая удовлетворяет двум условиям:

а)каждое предложение этой последовательности представляет собой или аксиому, или допущение (условие доказываемой теоремы), или же получается из предшествующих предложений по одному из (допустимых) правил вывода и

б) последнее предложение этой последовательности () есть предложение Т.

Предложение Т является теоремой, если для него может быть построено хотя бы одно доказательство, то есть найдена хоть одна последовательность предложений, удовлетворяющая условиям а) и б)».

Данная формулировка рассматривает доказательство как совокупность утверждений, связанных между собой логическим способом. В этом смысле доказательство объективно.

Описание доказательств в школьных учебниках представляет собой внешнюю структуру доказательства теоремы. Другими словами, это некоторая другая форма, посредством которой автор пытается передать содержание теоремы. Внешняя форма любого вида деятельности (в частности изучения теорем) должна соответствовать внутренней структуре содержания этой деятельности. Соответствует ли внешняя структура текста доказательствах теоремы своей внутренней деятельностной структуре – это важный методический вопрос, без которого учитель не может организовать должным образом свою деятельность и деятельность учеников на уроке.

Проанализировав большое количество текстов доказательств, можно сделать вывод, что большинство из них имеют следующую внешнюю структуру:

1) формулировка факта (теоремы, следствия и т. п.);

2) вводные предложения;

3) текст развертывания рассуждений;

4) предложение – вывод.

§2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Теорема. «Около треугольника можно описать окружность и притом только одну».

Теорема. «Около любого многоугольника можно описать окружность, и притом только одну».

10	Какой из этого вывод? Что многоугольник является правильным и около него можно описать окружность.
11	Перейдем ко 2 пункту плана. Как мы докажем, что окружность единственная? Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аn можно описать только одну окружность
12	Какой из этого вывод? Что единственная окружность описывает многоугольник.
13	Выполнив все пункты плана мы можем доказать теорему? Да, т.к. многоугольник является правильным и расстояние от точки О окружности до любой вершины равно радиусу окружности. Что и требовалось доказать.
14	Формула для вычисления угла правильногоn-угольника:
15	Задача Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник Построить правильный 2n-угольник
16	Решение. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1.Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополам Каждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника. На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1 В1 А2 В2 ... А6 В6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Были рассмотрены особенности описания теорем и доказательств в учебниках, в частности в школьных учебниках по геометрии. Эти особенности связаны прежде всего со структурными компонентами текстов, то есть с внешней структурой доказательства, знание которой помогает в понимании материала учебника.

Любая теорема и ее доказательство представляют из себя научное суждение, полученное с помощью логически правильных рассуждений. Само же рассуждение считается правильным, если в нем четко выделены тезисы, соответствующие им аргументы и указаны способы взаимосвязи между тезисами и аргументами, то есть выделена демонстрация связи между ними. Так устроено любое доказательство, стоящее хоть в начале, хоть в конце любой теории. Причем, нетрудно заметить , что для любого доказательства нужны аргументы, для правомерности использования которых в свою очередь тоже нужны аргументы.

Этот процесс «нисходящей» аргументации с одной стороны не может быть бесконечным, а с другой – прослеживается явная зависимость одних понятий и утверждений от других. Привести в соответствие эти два естественных требования и не нарушить при этом научность теории позволяет, так называемый, аксиоматический метод построения теории.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособия для учащихся шк. Классов с углуб. Изуч. Математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 3-е изд. дораб. – М.: Просвещение, 1992 – 335 с.

2. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1994 – 335 с.

3. 8. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и дрю – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1997 – 207 с.

4. Макарченко М. Г. Теоремы и их доказательства в школьных учебниках (методю разработка для студентов и учителей) – Таганрог.: Таганрогский Пединститут, 1996 – 46 с.

5. 16. Макарченко М. Г. Методика обучения доказательству теорем и решению задач. (Метод. разработка для студентов и учителей) – Таганрог.: Таганрогский пединститут, 1996.

6. http://interneturok.ru/geometry/9-klass - электронный курс

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/459765-obschaja-metodika-izuchenija-teorem-i-ih-doka