Использование творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с. Запрудное»

Питерского района Саратовской области.

Муниципальная заочно – исследовательская конференция

учителей математики

«Творческие задания по математике, методика их использования в образовательном процессе».

Направление: Развитие творческих способностей учащихся как фактор повышения качества обучения.

Использование творческих заданий для учащихся

в процессе обучения математике.

Работу подготовила:

учитель математики

МОУ «СОШ с. Запрудное»

Питерского района

Саратовской области

Масленникова И. В.

2020 год.

Введение

Обучающийся с первых дней занятий в образовательном учреждении встречается с математической задачей. На протяжении всего периода обучения в школе задача помогает ученику осваивать математические понятия, глубже выяснять всю многогранность, логичность взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения в реальной действительности.

Решение математических задач занимает в образовании одно из основополагающих мест. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития школьника, глубины освоения учебного материала. Очень важно сделать так, чтобы процесс обучения не превращался для учеников в скучное и однообразное занятие.[1]

Задача формирования познавательного интереса очень актуальна для построения учебного процесса, так как в школе необходимо привить ученику потребность в непрерывном пополнении своих знаний с помощью самообразования, способствовать стремлению ученика к расширению общего и специального кругозора.

Использование творческих заданий при обучении математике станет одним из главных факторов занимательности на уроке, поскольку подобный подход в организации учебного процесса позволит активизировать исследовательскую и творческую деятельность учеников, будет способствовать формированию познавательного интереса, позволит приобщить участников образовательного процесса к поиску, формируя при этом навыки и критического мышления в том числе.

Любой процесс начинается с определения цели. Цель образования сегодня – создание условий для максимально эффективного, целостного развития личности ребенка во всей многомерности возможностей человека. Ученику в рамках образовательного процесса просто необходимо уметь определять цели и делать выводы, синтезировать материал и соединять сложные структуры, обобщать знания, а тем более находить взаимосвязи в них.

Цель исследовательской работы заключается в выявлении образовательной ценности творческих заданий в процессе обучения школьников математике и описание методики их использования на уроках и во внеурочное время.

Объектом исследования является процесс обучения школьников математике.

Предметомисследования являются творческие задания, их роль и место в учебном процессе, особенности использования творческих задач в процессе обучения школьников математике.

Задачи исследовательской работы:

• выделить виды и формы творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике;

• сформулировать общие положения методики обучения школьников решению творческих задач на уроках математики с учетом возрастных особенностей учащихся.

1. Виды и формы творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике

Школьные задачи принадлежат различным разделам математики и геометрии. Рассмотрим основные направления математического содержания школьного курса, обуславливающие поле деятельности педагога по формированию умений и навыков.

Среди тем, изучаемых на уроках математики, большое место занимают числа и вычисления. Выделим основное содержание темы в 5-9 классах:

• Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления.

• Арифметические действия с натуральными числами. Представление числа в десятичной системе.

• Делители и кратные числа. Простые и составные числа. НОК и НОД. Взаимно простые числа. Разложение числа на простые множители.

• Четность.

• Деление с остатком. Признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9.

• Обыкновенные дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями.

• Десятичные дроби.

• Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции.

• Прямая и обратная пропорциональность величин. Проценты.

• Положительные и отрицательные числа. Модуль числа.

• Сравнение положительных и отрицательных чисел.

• Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.

• Целые числа. Рациональные числа.

• Уравнения. Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.

• Функции. Функция. График функции. Функции: у = kx , у = kx + b.

• Геометрические фигуры на плоскости, измерение геометрических величин.

• Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений.

Для учащихся 8 - 9 классов к уже названным темам добавляются новые. При этом перечень изучаемых на уроках математики вопросов таков:

Числа и вычисления

• Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Представление числа в десятичной системе

• Разложение числа на простые множители. Четность. Деление с остатком. Признаки делимости на , 3, , 6, 9, 11.

• Обыкновенные дроби. Арифметические действия с обыкновенными дробями.

• Десятичные дроби.

• Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональность величин. Проценты.

• Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.

• Целые числа. Рациональные числа. Понятие об иррациональном числе. Изображение чисел точками на координатной прямой.

• Квадратный корень.

• Выражения и их преобразования.

Уравнения и неравенства

• Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.

• Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.

• Решение рациональных уравнений.

• Уравнение с двумя переменными. Система уравнений.

• Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

• Решение простейших нелинейных систем.

• Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, систем уравнений.[16]

Решение творческих задач на уроках математики связано непосредственно с нестандартностью и гибкостью мышления обучающегося. Умение замечать закономерности, находить пути решения в нестандартных ситуациях и условиях математической задачи – математическое творчество.

Творческая деятельность как активная форма проведения урока, как активный метод обучения математике позволяет продуктивно на доступном математическом языке изложить материал, который изначально казался обучающимся сложным для понимания и усвоения.

Использование этих методов позволяет развивать творческие способности, умения применять знания в новой ситуации, видеть систему закономерностей и выделять необходимые данные для разрешения задачи.

Решая задачи творческого характера, учащиеся смогут узнать об увлекательных вещах, которые не были описаны на страницах школьных учебников, которые остались за рамками формального математического текста, попробовать свои силы в решении интересных задач, научиться самостоятельно работать с книгой, используя навыки смыслового чтения, и грамотно излагать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.

Систематическая работа с творческими заданиями на уроках математики способствует не только более глубокому усвоению знаний, но и закреплению умений пользоваться эвристическими приёмами, развитию творческого потенциала.[3]

Основные виды творческих заданий:

• задания, которые стали для обучающихся новым знанием (стали источником информации, которую школьники не знали раньше);

• самостоятельное составление обучающимися задач, примеров;

• задания, которые позволили обучающимся освоить иные методы решения той или иной задачи;

• составление задач с оригинальным творческим содержанием (самостоятельное переформулирование формальной задачи из учебника в задачу с применением нестандартного условия, интересного сюжета и креативного оформления);

• задания, требующие от учеников применения различных способов решения, в том числе и искусственных методов;

• задания на нахождение определенных закономерностей;

• задания, направленные на практическую деятельность: зашифровать, нарисовать, составить, разрезать, начертить, заполнить таблицу и т.д;

• задания на сообразительность, на смекалку (например, составление ребусов);

• задания с элементами игры;

• задания с элементами тренинга, дискуссий, активных обсуждений и споров;

• творческие домашние задания.

Существуют различного рода классификации и типы творческих задач. Рассмотрим некоторые из них:

• по функциональным возможностям (задачи дидактические, познавательные, развивающие);

• по содержанию (количественные и качественные);

• по способу решения (арифметические, алгебраические, геометрические, графические);

• по способу подачи информации (задачи-рисунки, текстовые, графические);

В рамках настоящей курсовой работы более убедительной и подходящей классификацией творческих задач является классификация И.В. Егорченко. Егорченко И.В. выделяет:

• нестандартные прикладные задачи;

• стандартные прикладные задачи;

• нестандартные задачи, не являющиеся прикладными;

• материалы, вообще не являющиеся задачами.

При этом под «нестандартными» И.В. Егорченко [4] подразумевает задачи творческого характера. Последние дополнительно подразделяются в зависимости от нестандартной формы, способа решения и особенностей.

При этом учитываются:

• постановка задачи;

• процесс решения;

• представление ответов;

• осуществление проверки решения.

Наиболее интересны задачи первого типа. К ним относятся:

• задачи без явной постановки вопроса;

• задачи с исчерпывающими данными, а также с избыточными и противоречивыми;

• задачи в форме игры, практической работы или исследования;

• задачи, представленные в виде схем, диаграмм или изображений (задачи на готовых чертежах);

• задачи с использованием обобщений, аналогий, сопоставления и классификаций;

• задачи с реккурентным способом постановки данных и условий (выявление данных, нужных для решения задачи, путем обращения к решению раннее рассмотренных заданий);

• задания на обнаружение ошибок и выявление противоречий;

• задачи с нестандартной постановкой вопроса или условия;

• задачи с непривычными единицами измерения, например фут, сажень и т.д.;

Рассмотрим классификацию нестандартных задач, не являющихся прикладными. Среди них:

• задачи, которые решаются посредством методов и средств, не известным школьникам в рамках школьной программы;

• задачи, где необходимо установить причинно следственные связи, провести определенные аналогии и обобщать какие-либо данные;

• задачи, где необходимо перейти к понимаю пространства, оттолкнувшись от задачи на плоскости;

• задачи на выявление и использование аналогий, определение отношений и понятий, им противоположных;

• задачи на составление логической цепи с правильным осуществлением последовательности определенных действий, избегая возможных ошибок, приводящих к неверному ответу или противоречию;

2. Методика использования творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике.

Использование творческих заданий в процессе обучения школьников математике тесно связано с необходимостью учитывать активные методы взаимодействия на уроке, средства и приемы подачи задач творческого характера, нестандартные формы организации поиска и решения задачи.

Методика использования задач творческого характера на уроках математики сравнима с методикой использования обычных математических задач, какими мы их привыкли видеть. Здесь четкие границы определить будет трудно, но, говоря о задачах творческой направленности, можно выявить некоторые специфические черты и особенности.

Методика обучения решению творческих задач на уроках математики предполагает воздействие на формирование элементов как внешней, так и внутренней сторон, необходимых для данного процесса.

Под внешней стороной понимаются качества творческой личности, необходимые для творческого процесса, - решения творческих и нестандартных задач. Одно из значимых качеств – интегральное, которое ориентирует ученика на творческую деятельность. При его формировании и развитии в процессе обучения происходит воздействие на следующие аспекты: виды творчества, знания, творческое мышление, умения осуществлять творческую самостоятельную работу.

Мыслительная деятельность, которая занимает главенствующее место в механизме творческой деятельности ученика при решении нестандартных задач, совершается в виде последовательного ряда этапов (рис. 1):

Рис. 1.

Анализируя данную схему, мы можем охарактеризовать механизм мыслительной деятельности как процесс нестандартного мышления, посредством чего ученик решает задачи, используя неординарный подход, метод или способ решения.

Работа педагога в данном случае состоит в формировании у ученика способности мыслить так, чтобы каждая изучаемая задача была посильна тому, кто ее решает.

Важно при изучении каждой темы, а также в процессе решения задач остановить внимание ученика на проблемах, на трудностях, которые стоят за ней. Акт мышления ученика будет, таким образом, уже направлен на поиск решения возникшей проблемы, после чего будут приведены какие-либо версии, которые, возможно, станут полезными. Творчество же здесь, прежде всего, заключается в нестандартности методов и способов, которые может предложить ученик. Далее ученик, следуя нашей схеме, будет логически рассуждать, опираясь на предложенные способы решения, выбрав конкретно ему понравившийся или тот, что позволит обойти громоздкие рассуждения или вычисления, что также позволяет отнести такой процесс действий к творческому мышлению, судя по определению творчества.

Таким образом, механизм творческой деятельности мы постарались определить в рамках одной схемы, которая достаточно прочно дает усвоить данный принцип. Схема наглядно отражает суть мыслительных процессов, которые приводят к конкретному умозаключению, то есть к результатам.

Рассмотрим подробнее методику обучения решению, которая касается непосредственно творческих задач по математике. Во-первых, установим, на что следует обратить внимание при обучении математике в соответствии с программными требованиями и тематикой по классам. Во-вторых, рассмотрим общие советы по обучению решению творческих задач, предлагаемые различными авторами.

Уместно будет рассмотреть некоторые тенденции в использовании творческих заданий на уроках математики, а также общие положения методики обучения решению творческих задач по классам.

Одна из основных тенденций заключается в том, что учителя, стараясь сделать урок нестандартным, всеми способами пытаются перенести урок в те или иные форматы, не связанные со стенами классной комнаты. Для этого они используют как прямое, так и виртуальное перемещение.

Также отличительным моментом является и тот немаловажный факт, что учитель с целью придания уроку делового характера и повышения его занимательности нередко использует различные приборы (измерительные или подручные), которыми активно пользуются ученики для проведения исследования или практической работы. Однако не все выбираемые для этих целей приборы и материалы имеют место в образовательной практике, а какие-то предназначены для других целей, поэтому необходимо тщательно продумывать приемы, формы, идеи, а не конкретные материалы.

На основе проб и ошибок учителей в образовательной практике появилась и вторая отрицательная тенденция: основной взгляд учителя ориентирован на составление творческих заданий с целью удивить учеников, заинтересовать и привлечь их внимание, нежели следовать поставленным дидактическим целям, которые при этом могут просто игнорироваться.

Некоторые данные из опыта работы преподавателей общеобразовательных школ указывают на то, что они часто видят роль творчества на уроках математики исключительно в том, чтобы повысить активность учеников, дать им возможность отвлечься от монотонного и скучного труда, разбавляя урок играми, интересными формулировками заданий, занятными формами. Однако установлено, что работа на занятии, внешне эффективная и нравившаяся и ученикам, и учителю, фактически оказывается неплодотворной, так как запланированные цели и задачи урока не достигаются.

Третья тенденция, непосредственно вытекающая из второй, заключается в том, что многие учителя не задумываются над вопросом, органично ли входит тот или иной занимательный материал в урок. На уроках порой используется такая занимательность, которая надолго выбивает учащихся из колеи. Другая крайность состоит в том, что учителя используют ограниченное число приемов занимательности. В итоге подача занимательных материалов становится однотипной, что довольно скоро надоедает учащимся и теряет свой эффект.

Наконец, четвертая тенденция заключается в том, что учителя пытаются сами составлять занимательные материалы. А ведь, составляя их, учителя значительно глубже поймут существо занимательности и смогут эффективнее ее использовать как на уроках, так и во внеклассной работе.

Думается, что все это в совокупности и привело к порочной методике использования занимательности на уроках, иногда практикуемой учителями математики. Эта «методика» заключается в следующем. Учитель ограничивается сообщением, что при выполнении плана урока оставшиеся в конце урока несколько минут будут посвящены занимательной математике.

Такой подход явно несостоятелен. При этом на первых порах действительно наблюдается возросшее внимание ребят к изучению учебного материала. Однако спустя некоторое время (обычно 2-3 месяца) ученики остывают, и даже занимательные пятиминутки не могут подогреть их интерес к школьной (как они теперь поняли, скучной!) математике. Намного продуктивнее будут уроки, если удастся органично сочетать занимательный материал с необходимыми тривиальными заданиями, использовать присущие ему дидактические, развивающие и познавательные функции и тем самым уничтожить явную границу между занимательным и учебным материалом.

Сформулируем выводы, которые полезно учитывать при использовании занимательных заданий на уроках математики.

Использование занимательных заданий целесообразно тогда, когда есть опасность непринятия учащимися какого-либо учебного задания; при прохождении сложных тем или постановке трудных дидактических задач урока; при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений; при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию.

При этом следует отдавать предпочтение занимательному материалу, отражающему существенные моменты изучаемого, а также занимательным заданиям неоднократного использования.

Для каждого занимательного материала, который предполагается использовать на уроке, учитель должен выяснить: будет ли он занимательным для учащихся данного класса? Органично ли он войдет в структуру урока? Будет ли его использование эффективным?

Учителю надо постараться избежать таких ошибок в использовании занимательности на уроке, как отвлечение от темы и дидактических задач урока (резкий скачок в сторону), неподготовленность занимательного задания предыдущей учебной работой на уроке, отсутствие учета всех категорий учащихся и др.

При включении занимательных задач в учебный процесс нужно помнить, что они не должны выступать прямым стимулом при обучении данной дисциплины. Иногда имеет смысл использовать занимательные задачи для эмоциональной разгрузки, но нельзя акцентировать на этом внимание обучаемых. Например, не рекомендуется предварять решение таких задач словами: «А теперь давайте отдохнем (т.е. расслабимся!) и решим занимательную задачу». По мнению М.Ю. Шубы «использование занимательных заданий целесообразно тогда, когда есть опасность неприятия учащимися какого-либо учебного задания; при прохождении сложных тем или при постановке трудных дидактических задач урока; при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений; при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию». Не рекомендуется также выставлять оценку за решение занимательных задач, выбрав в качестве стимула похвалу ученика перед классом.

Методика обучения решению творческих задач на уроках математики предполагает воздействие на формирование элементов как внешней, так и внутренней сторон, необходимых для данного процесса.

Под внешней стороной понимаются качества творческой личности, необходимые для творческого процесса, - решения творческих и нестандартных задач. Одно из значимых качеств – интегральное, которое ориентирует ученика на творческую деятельность. При его формировании и развитии в процессе обучения происходит воздействие на следующие аспекты: виды творчества, знания, творческое мышление, умения творческой самостоятельной работы.

3. Примеры использования творческих заданий в процессе обучения школьников математике.

Рассмотрим различные примеры творческих заданий по математике и остановимся на особенностях их использования в различных классах. Во-первых, следует обратить внимание на содержание обучения, исходя из требований программы. Во-вторых, необходимо учесть опыт использования творческих заданий, описанный в научно-методической литературе и имеющий место в практике преподавания математики.

Уместно рассмотреть некоторые общие тенденции в использовании творческих заданий на уроках математики.

5 класс

Работа ведется в трех основных направлениях:

1. Действия с натуральными числами.

2. Логические умозаключения (умение строить логические цепочки).

3. Пространственное воображение.

Первое направление может показаться не особенно важным, как другие два из списка, но оно столь же необходимо. Быстрое и уверенное выполнение арифметических действий не только создает комфортные условия для учащегося, но и позволяет лучше понимать законы этих операций, что дает обучающемуся возможность легко перейти к обращению с алгебраическими выражениями и осмысленному глубокому пониманию арифметических законов на языке алгебры; анализировать свойства чисел и числовых множеств; помогает проводить с числами не только точные, но и оценочные операции, являющиеся одной из основ подготовки к восприятию анализа функций. Успешное освоение комбинаторики и основ теории чисел находится в явной зависимости от усвоенных арифметических знаний и техники.

Начиная с пятого класса, на всех занятиях в качестве разминки следует выполнять арифметические упражнения устного характера, например, такого типа:

Учащиеся должны уверенно знать не только таблицу умножения чисел первого десятка, но и степени чисел 2 и 3, усвоить, что такое простое число, помнить первые несколько простых чисел и уметь раскладывать составные числа на простые множители. Школьников следует научить пользоваться признаками делимости на 2, 3, 4, 5 и 9, а также решать задачи, в которых требуется установить делимость числа на 6, 15, 45 и т.д.

Второму направлению – логическим задачам и способам их решения – посвящено множество литературы по математике занимательного и олимпиадного характера. Решение таких задач, как правило, хорошо литературно оформлено и вызывает большой интерес у обучающихся. Важно заметить, что «художественное» оформление задачи полезно само по себе. Оно требует от учащихся выявления из предложенных «жизненных обстоятельств» математической сущности задачи, иными словами, создания математической модели, что постоянно приходится делать в серьезных науках. Это в наибольшей мере относится к задачам по комбинаторике, теории графов, на составление уравнений и т.д. Готовиться к этому нужно уже в младших классах. В качестве моделей решения логических задач могут использоваться таблицы, схемы, круги, графики и т.п.

Так, задачи на переливание можно решать с помощью таблиц, в которых записаны все промежуточные ситуации.

Пример 1.

Как, используя ведро объемом 9 литров и бидон объемом 5 литров, набрать из речки 3 литра воды.

Решение:

См. таблицу. В ее второй и третьей строках показано количество литров воды в соответствующем сосуде после очередного наполнения, выливания и переливания.

Решение важных задач на установление взаимно однозначного соответствия также удобно оформлять с помощью таблиц.

Пример 2.

Антон, Борис, Влад, и Глеб имеют фамилии Арбузов, Бананов, Виноградов и Грушин. Антон и Виноградов – брюнеты, Борис и Арбузов – блондины, Бананов младше Глеба, но старше Арбузова, Влад и Борис – одного возраста. Установите соответствия между именами и фамилиями ребят.

Решение:

Используя условия задачи, последовательно заполняем свободные клетки таблицами галочками, если имя и фамилия принадлежат одному человеку и крестик, если разным людям. По условию, Антон и Виноградов, Борис и Арбузов, Бананов и Глеб, Глеб и Арбузов – разные люди, так как про них в задаче говориться как про разных людей. Из-за разного цвета волос Антон и Арбузов, А также Виноградов и Борис – тоже разные люди. Получаем таблицу:

Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце должен стоять ровно один плюс, продолжим заполнение таблицы:

Если Бананов – Борис, то он с Арбузовым (они Влад и Борис) одного возраста, что противоречит условию. Поэтому Бананов – Антон, Грушин – Борис.[5]

Весьма популярная группа задач на взвешивания по условиям и методам решения более разнообразная. Эти задачи полезны для развития навыка полного перебора вариантов. Кроме того, такие задачи удобны для обобщений и исследовательской работы.

Третье направление работы – развитие пространственного воображения, для чего полезны задачи:

• Подсчет количества геометрических фигур в сложных рисунках;

Пример 3.[6]

В каждом из трёх горизонтальных рядов рисунка переложите по одной спичке так, чтобы все шесть равенств (вертикальных и горизонтальных) оказались верными.

6 класс

Для шестого класса арифметическая разминка столь же желательна, как и для пятого. Нужно всегда добиваться того, чтобы школьники знали наизусть квадраты чисел второго десятка, степени двойки и тройки примерно до тысячи, но, конечно, не сразу. Следует показать ученикам формулу «разность квадратов» и научить с ее помощью выполнять умножение, например:

Такие операции расширяют возможности устного счета, позволяют освоить важнейшую алгебраическую формулу и являются тренингом при запоминании квадратов.

Некоторое время следует посвятить операции разложения на множители, например чисел: 30, 49, 561.

Такие темы, как делимость и остатки, степени и проценты, должны быть сначала темами отдельных занятий, а уж потом, после проработки, использоваться в разминке. Числовые ребусы – прекрасные формы домашнего задания.

Пример 4.

Решите арифметический ребус [6]

Перепишем ребус в виде:

Решение:

Пример 5.

Расставьте в кружках рисунка цифры 1, 2, 3, ..., 9 так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого из семи равносторонних треугольников были равны.[6]

Логический блок в шестом классе значительно серьезнее, так как в этот период можно вводить такие важные темы, как принцип «ящики-кролики» (Принцип Дирихле), раскраски как метод решения задач, задачи – игры и задачи с идеями четности и симметрии.

Пример 6.

На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять 1, 2 или 4 спички. Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает.[9]

Решение:

Брать три спички нельзя, так что правило «дополнять ход противника до пяти спичек» не подходит (если противник взял две). Чтобы проанализировать игру, изобразим возможные варианты 5 (сколько осталось спичек) кружочками, а возможные ходы стрелками.

Рис.1

На рис. 1 поместились небольшие количества спичек, но картинку можно продолжить влево. Из каждого кружочка идут три стрелки, соответствующие трём возможным ходам (прямая стрелка - взять одну спичку, кривые - взять две или четыре спички). Скажем, если у нас 9 спичек (левый кружочек), то после нашего хода может остаться 8, 7 или 5 спичек, и это изображено стрелками.

Проведем анализ ситуации справа налево, полагаясь на картинку.

• Если к нашему ходу спичек не осталось, то мы проиграли.

• Если к нашему ходу осталась одна спичка, то мы можем выиграть, взяв её - противник останется без спичек и проиграет.

• То же самое, если осталось две или четыре спички - мы выигрываем в один ход.

• Встает вопрос: «А что будет, если нам осталось три спички?» Взять все три по правилам мы не можем. Можно взять одну или две. В этом случае противнику останется две или одна, и он выиграет (взяв их на своём ходу). Поэтому три спички - проигрышная позиция (для того, чей сейчас ход).

• Про четыре спички мы уже говорили. Если осталось пять спичек, то мы можем взять две и оставить противнику три, передав ему ход в проигрышной позиции. Значит, пять спичек - выигрышная позиция.

• Если осталось шесть спичек, то можно взять одну, две или четыре. Тогда у противника будет 5, 4 или 2 спички. Все эти позиции для него выигрышные, так что шесть спичек - проигрышная позиция.

• Раз шесть спичек - проигрышная позиция, то 7, 8 и 10 - выигрышные. В самом деле, взяв 1, 2 или 4 спички, мы оставим противнику 6.

• Девять спичек - проигрышная позиция: при любом ходе противник оказывается в выигрышной позиции с 8, 7 или 5 спичками.
  

Рис. 2

Все наши рассуждения показаны на рисунке 2.

Дальше всё будет повторяться с периодом 3: позиции, где число спичек делится на 3, будут проигрышными (для того, кто в них оказался), а где не делится - выигрышными. В частности, в игре с 25 спичками, с которой мы начинали, выигрывает первый игрок.

Как он должен при этом играть? Он должен ставить противника в проигрышную позицию, то есть брать столько спичек, чтобы осталось кратное трём количество.

Инварианты и задачи-шутки:

Такие задачи очень важны для развития мышления и логики ученика, поскольку в них нет очевидного решения, когда ребенку по шаблону предлагается сделать несколько очевидных действий и получить ответ. В таких задачах необходимо провести анализ рассуждений, найти интересные решения и способы, многие из которых на воображение.

Пример 7.

Полторы рыбы стоят полтора рубля. Сколько стоят 5 рыб?[10]

Решение: Если полторы рыбы стоит полтора рубля, значит одна рыба, без ее половины стоит 1 рубль, а ее половина 50 копеек. Значит, пять рыб стоит 5 рублей.

Ответ: 5 рублей.

Пример 8.

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ: Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.[10]

В связи с требованиями к результатам обучения в метапредметном направлении учащиеся должны уметь видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, принимать решения в условиях неполной и избыточной информации, выявлять главное и второстепенное в текстовых и сюжетных задачах.

Все эти навыки и умения можно максимально обеспечить, если работать с комбинаторной задачей.

Поскольку комбинаторные задачи решаются различными методами, то работа с такими задачами позволит обеспечить выбор эффективных способов решения, значит, позволит ученику 6 класса формировать творческое мышление – умение рассуждать, работать со схемами, таблицами, проводить аналогии, устанавливать причинно следственные связи и многое другое.

Рассмотрим следующие комбинаторные задачи

Пример 9.

Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.

Решение.

Перечислим все цвета по горизонтали и вертикали таблицы. На пересечении двух цветов будем получать одноцветные и двуцветные ручки. Так как таблица симметрическая, то всего таких ручек будет 6.

Пример 10.

Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение.

Данная задача представлена в виде графа, где указано количество связей между соответствующими элементами. Количество таких связей и будет нашим ответом.

8 класс

Особое место в школьном курсе математики занимают текстовые задачи. Следует отметить, что, решая на уроках алгебры текстовые задачи, учитель математики работает не только на себя, подготавливая учеников к умению осмыслить текст задач в курсе геометрии, без чего говорить о возможности решения этих задач бессмысленно. Он также помогает преподавателям физики, химии и даже литературы, так как для того, чтобы решить задачу, ученик должен внимательно прочитать текст задачи, понять его, выделить главное, т.е. разложить все данные по должным местам.

Не случайно, оценивая задачу, решаемую с помощью уравнения или системы уравнений, учитель отдельно оценивает верность составленного уравнения или системы, так как добросовестного ученика, безусловно, можно обучить различным математическим алгоритмам, но умению думать научить без текстовых задач невозможно.

Пример 11.

На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определить скорость трамвая[11].

Решение: предположим, что трамваи идут через равные промежутки и с одинаковой скоростью. Скорость пешехода м/мин. Пусть м/мин. – скорость трамвая, тогда скорость (относительно пешехода) обгоняющих его трамваев равна , а встречных + . Будем считать каждый трамвай концом «отрезка» длиной у метров, другой конец которого – в следующем трамвае; трамваи движутся равномерно распределенными (с интервалом метров) на двух лентах, проходящих мимо «неподвижного» пешехода ежедневно в течение 12 минут двух противоположных направлениях с найденными ранее скоростями. Длина обгоняющей ленты 225 метров, длина встречной ленты 600 метров, время их движения мимо пешехода (за год) минут, откуда

,

Проведем некоторые преобразования, после чего получим

Ответ: Скорость трамвая 11 км/ч.

Решение задач с помощью уравнений очень часто встречается в задачах ЕГЭ, Среди задач есть и задачи «на движение», и задачи «на работу», и задачи «на проценты и сплавы», и задачи «на прогрессию».

Остановим свое внимание на конкретном типе задач «Задачи на движение». Каким можно сделать урок, чтобы он был нестандартным и интересным, творческим.

Метод конкретных ситуаций как особый метод, который позволяет творчески подойти как к решению, так и оформлению задачи для ученика; в математике предполагает особую значимость предмета в жизни человека, когда те или иные знания по дисциплине помогут решить задачу, возникшую в повседневной жизни.

Учитель может предложить скучную рутинную работу на вычисления, отрабатывая навыки счета и основного принципа решения, мотивируя обучающихся лишь высоким баллом на ЕГЭ. Но можно сделать урок по истине красочным и необычным.

Учитель предлагает обучающимся разделиться на команды, каждая из которых выбирает свой альтернативный путь, по которому будет проходить путешествие команды.

Пример 12.

Вам необходимо отправиться из Самары в Сызрань, чтобы провести там летние каникулы со своими одноклассниками. (Количество человек – 10). Вы можете отправиться в Сызрань на автомобиле, на поезде, на автобусе или на теплоходе. Рассчитайте самый рациональный путь: наименее затрачиваемый, наиболее быстрый.

Имеются следующие данные:

Расстояние от Самары до Сызрани - 171 км.

После того, как все ребята закончат выполнять свое задание, каждый называет цену своей поездки и количество времени, потраченного в один конец. Результаты сравниваются, и ребята делают вывод о том, каким транспортом лучше совершить свое путешествие. Такой творческий подход к реализации задания на уроке позволит формировать устойчивый интерес к предмету, мотивацию к деятельности и математическое знание.

9 класс

В 9 классе учащиеся сталкиваются с решениями различных уравнений. Это могут быть как непосредственно уравнения, так и задачи, сводящиеся к составлению уравнения. Есть много интересных задач, уравнений, которые отличаются своими интересными методами и способами решения. Уделим особое внимание в данном разделе уравнениям и неравенствам.

Пример 13.

Решите уравнение[17].

Решение: умножим обе части уравнения на 2, получим

Представимкак сумму чисел , поучим

Выполним подстановку:

Получим следующее уравнение:

Воспользуемся обратной теореме Виета:

Убеждаемся, что ,

Тогда имеем

Ответ:

Пример 14.

Найти все тройки натуральных чисел x,y,z удовлетворяющих уравнению: [17].

Решение: первое решение предложенного уравнения способен дать любой внимательный ученик. Очевидно, что в задаче «Зашифрован» календарь, тогда

Полное решение данной задачи основывается на выделении целой части. Разделим почленно уравнение на 28, выразив из исходного уравнения :

Если требуется отыскать натуральные решения уравнения, то из натуральности следует, что дробь должна представлять собой натуральное число и не превосходить 12 (в противном случаене будет натуральным). Пусть , тогда , полученная дробь после преобразования

Посколькунацело делиться на 10, ясно, что

Откуда Мы в результате строгих расчетов получили ранее угаданный ответ (1, 4, 7).

Пусть , тогда , полученная дробь дает после преобразования

Посколькунацело делиться на 10, ясно, что

ОткудаМы получили еще один ответ в натуральных числах

(2, 9, 1). Заметим, что для натуральных чисел эти решения единственны, для целых чисел есть другие тройки решений.

Ответ: (1; 4; 7) и (2; 9; 1).

Заключение

В процессе проведенного исследования над темой исследовательской работы было установлено, что математическое творчество – это особый вид деятельности ученика и, конечно же, учителя, который рассматривает математическую задачу как обязательный составной элемент обучения, включающий в себя множество различных компонентов: творческое мышление во время решения, творчество оформления математической задачи, творчество интеллектуальное. Учитель при подготовке к уроку учитывает творческий компонент, ученик использует свой потенциал, свое мастерство и навыки в творческой деятельности, то есть умения мыслить нестандартно. Это одна из форм реализации всех явных и скрытых возможностей ученика, поскольку решение творческих задач по математике оказывает существенное воздействие на развитие умений применять свои знания в нестандартных ситуациях, грамотно использовать сложный математический аппарат с целью достижения того результата, который предусмотрен условиями заданий.

Заметим, что подготовить ученика нестандартно мыслить и применять свои знания, свое творчество – это значит научить его мыслить шире, выбирать из общего частное, строить логику рассуждений и грамотно определять последовательности – алгоритмы решения.

Содержание раздела 3 исследовательской работы охватывает многие различные темы по математике в различных классах средней школы, по многим темам приведены конкретные примеры нестандартных задач, показаны методы их решения и описаны приемы работы с учащимися при их использовании в учебном процессе. При этом были использованы различные задачи, как по тематике и содержанию, так и по структуре. Большое внимание к задачам творческого содержания объясняется их ролью в раскрытии образовательного и развивающего потенциала учебного содержания в процессе обучения математике, они позволяют формировать у каждого ученика способности к собственному видению задачи, способности по-своему мыслить четко и грамотно, видеть задачу глубже и разносторонней, в совокупности мыслить не шаблонно.

В заключение следует отметить, что в ходе проведенного исследования были получены следующие выводы: ценность творческих заданий в процессе обучения математике оправдана, поскольку механизм мышления и познавательная деятельность в рамках формирования творчества приобретает высокую оценку, что говорит о том, что творческие задачи формируют такие умения и навыки, как:

- умение самостоятельно планировать пути достижения целей, поскольку каждый ученик пытается самостоятельно решить задачу, отбирая для этого необходимые методы и средства;

- умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения, поскольку ученик, решая задачу, выбирает альтернативные пути решения, после чего вправе сделать проверку;

- умение устанавливать причинно-следственные связи, строить  логическое рассуждение, умозаключение, поскольку ученик в праве применять в решении задачи схемы, таблицы, чтобы разложить нестандартную задачу на несколько простых элементов, поэтапно формируя умозаключение, устанавливая связи между элементами задачи;

- умение работать с учебным математическим текстом, применять известные методы и способы, точно и грамотно оформлять решение задачи с применением математической терминологии;

- умения применять изученные математические факты (понятия, теоремы, формулы, правила, методы) для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Суммируя все выше сказанное, отметим, что цель исследовательской работы достигнута, все поставленные задачи решены.

Список использованных источников

1. Генеке. Е.А. Активные методы обучения: новый подход. – М.: Сентябрь,- 2013.

2. Чайка. В.М. Классификация методов обучения по типу познавательной деятельности учащихся. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://qps.ru/4GvAC

3. Гончарова. Н. Тартуский русский лицей. Использование творческих работ на уроках математики. [Электронный ресурс]- Режим доступа:http://www.narva.ut.ee/sites/default/files/narva_files/Petnjunas_Gontsarova.pdf

4. Егорченко И.В. Теория и методика использования реальности в обучении математике. - Саранск, 1999.

5. Дрозина. В.В., Дильман. В.Л. Механизм решения нестандартных задач. Учебное пособие / В.В. Дрозина, В.Л. Дильман. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,: ил. – (Математическое мышление), 2008. – 255 с.

6. Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов. «Квант» для «младших» школьников. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.kvant.info/kmsh/kmsh1981.htm

7. Бердов Павел. Репетитор по математике. Вычисление площади методом обводки. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.berdov.com/ege/square/ploshad-obvodka/

2. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. "Наглядная геометрия". 5–6-е классы. Урок наглядной геометрии по теме "Площади". [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/625045/

3. Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. Издание второе, стереотипное. М. : МЦНМО, 2008. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-games.pdf

4. Бродникова. Е.А. Как научить читать, считать, думать с помощью игр. [Электронный ресурс]- Режим доступа:

6. http://detpsy.net/index/zadachi_shutki/0-32

1. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975.

2. ВСЭ: В 26 т. – М. Советская энциклопедия, 1970-1979.

3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: ГИФМЛ, 2003

4. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. М., 1990 С.12-13

5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

6. Математика для школы. Тематика олимпиадных задач. [Электронный источник]: http://math4school.ru/zadachi.html

7. Поляк Н.Н. Мерзляк. А.Г. Решение конкурсных задач по математике/ Из сборника под редакцией М.И. Сканави. - М.: Инфолайн, 1995.

8. Севрюков П.Ф. Школа решения олимпиадных задач по математике. – М.: Илекса, 2013.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/465566-ispolzovanie-tvorcheskih-zadanij-dlja-uchasch