Сборник заданий по теме «Теория вероятностей при подготовке к ЕГЭ»

Теория вероятностей при подготовке к ЕГЭ.

Теория вероятности - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий и они формулировались в наглядных представлениях. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Например, определить однозначно результат выпадения орла или решки в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число орлов и решек.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания. Например, испытание - подбрасывание монеты.

Результатом испытания является событие. События бывают:
- достоверные (всегда происходят в результате испытания);

- невозможные (никогда не происходят);

- равновероятные (имеют равные возможности произойти), менее вероятные и более вероятные;

- случайные (могут произойти или не произойти в результате испытания).

Например, при подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани, равновероятное событие - кубик станет на четную грань.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием.

В результате испытания происходят только элементарные события.

Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Например, испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с 1 или 2.

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.

Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например, испытание - подбрасывание кубика.

Элементарное событие - выпадение грани с номером 1. Сложное событие - выпадение нечетной грани.

Справочный материал.

Введем следующие обозначения:

Р - случайное событие;

Е - достоверное событие;

U - невозможное событие.

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти во время наблюдения или испытания

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу равновозможных исходов: Р(А) = m/n

Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

АВ(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В .

АВ (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующихобоим событиям А и В.

͞Аназываетсяпротивоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Классическое определение вероятности

Задача 1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с рисом и 21 с повидлом. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажетсяс повидлом.

Решение:

Событие А – пирожок окажется с повидлом

1. Сначала необходимо подсчитать, сколько же всего пирожков лежало на тарелке?

n=4+5+21=30 (п.)

1. Сколько пирожков с повидлом? (m=21)

Вероятностьcобытия А равна:

Р(А) =

Ответ: 0,7

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 чёрные, 3 жёлтые и 14 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение:

Событие А - приедет жёлтое такси

Ответ: 0,15

Задача 3. Событие А Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 2 с машинами и 8 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Андрюша. Найдите вероятность того, что Андрюше достанется пазл с машиной.

Решение:

Событие А - Андрюше достанется пазл с машиной

Р(А) = .

Ответ: 0,2

Задача 4. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Швеции.

Решение:

Событие А- первым будет стартовать спортсмен из Швеции. Сначала необходимо подсчитать, сколько всего спортсменов: n=7+1+2=10

Р(А) =

Ответ: 0,2

Задача 5. На экзамене 30 билетов, Серёжа невыучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение:

Событие А- Сереже попадётся выученный билет

m=30-9=21

Ответ: 0,7

Задача 6. У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение:

Событие А- будет чашка с синими цветами.

m=20-15=5

Ответ: 0,25

Задача 7. В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 32 красные, 32 зелёные, 46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

Решение:

Событие А- случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

Находим сначала количество красных и фиолетовых ручек вместе:

m=32+46=78

Р(А) =

Ответ: 0,65

Задача 8. В магазине канцтоваров продаются 144 ручки: 30 красных, 24 зелёные, 18 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет синей или чёрной.

Решение:

m=144-(30+24+18)=72

Р(А) =

Ответ: 0,5

Задача 9. В магазине канцтоваров продаются 255 ручек: 46 красных, 31 зелёная, 36 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет черной или зеленой.

Решение:

m= (255-(46+31+36)):2=71

n= 71+31=102

Р(А) = =

Ответ: 0,4

Задача 10. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение:

Событие А- ручка пишет плохо (или не пишет)

P( А) =0,14

Событие - ручка пишет хорошо

P( )=1-0,14=0,86

Ответ: 0,86

Задача 11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

Событие А- в сумме выпадет 8 очков.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2, тогдаm=5

Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно n= 6·6 = 36.

Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

P(A)=

Ответ: 0,14.

Задача12.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение:

Событие А- орел выпадет ровно один раз.

Равновозможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка, n= 4

Орел выпадает ровно один раз в двух случаях: орел-решка и решка-орел, значит m=2.

Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз, равнаP(A)=

Ответ: 0,5.

Задача 13. В среднем из1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:

Событие А- один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

P(A)=

Ответ: 0,995.

Задача 14. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение:

Событие А- купленная сумка окажется качественной.

По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в среднем 100 качественных сумок. Значит,n=108,am=100, следовательно, P(A)=

Ответ: 0,93.

Задача 15. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение.

Событие А- в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 − 1 = 25 бадминтонистами, т.е n=25, из которых 10 − 1 = 9 из России, т.е.m=9. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна

P(A)=

Ответ: 0,36.

Задача 16. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение.

Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна Р(А)= 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задача 17. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение.

Событие А - команда России окажется во второй группе.

Количество карточек с номером 2, значит, m=4. Общее число карточек, т.е n=16.

P(A)=

Ответ: 0,25.

Задача 18. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение.

Событие А- случайно будет нажата четная цифра.

На клавиатуре телефона 10 цифр, следовательно,n=10. Из них 5 (m=5) цифр четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому Р(А)=5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача19.Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 49.

Решение.

Событие А- случайно выбранное трехзначное число будет делится на 49

Числа, которые делятся на 49: 147, 196, 245, 294, 343, 392, 441, 490, 539, 588, 637, 686, 735, 784, 833, 882, 931, 980. Всего их – 18, значит m=18. А трехзначных чисел от 100 до 999 всего 900, значит, n=900.

Р(А)=18:900=0,02

Ответ: 0,02.

Задача 20. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Решение.

Событие А- оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Значит, n= 25.

Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Таких монет 12 + 6 = 18, следовательно, m=18.

Р(А)=18 : 25 = 0,72.

Ответ: 0,72.

Теоремы о вероятностях событий

Задача 1. В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, три неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение:

Событие А- фонарик окажется исправен.

Из условия находим количество исправных фонариков: m=150-3=147.

=

Ответ: 0,98

Задача 2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. свероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение:Пусть событие C = «А. выиграл белыми»,

D = «А. выиграл чёрными».

По условию, P(C)=0,5; P(D)=0,34

Необходимо найти вероятность пересечения событий С и D, т. е. P(C∩D).

СобытияC и D независимы (результат одной партии не зависит от результата другой).

Вероятность наступления P(C∩D) равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D

P(C∩D)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17

Ответ: 0,17

Задача3.В магазине три продавца. Каждый изних занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Событие А – занят с клиентом первый продавец.

Событие В – занят с клиентом второй продавец.

Событие С – занят с клиентом третий продавец.

Р(А) = Р(В) = Р(С) =0,6

Событие Р(A∩B∩C) - все три продавца заняты одновременно.

СобытиеP(A∩B∩C) = P(А)∙P(В)∙P(С)

События А, В и С независимы.

P(A∩B∩C) =0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 = 0,216

Ответ: 0,216.

Задача 4. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

хотя бы один автомат исправен

(1 исправен и 2 исправен или 1 исправен и 2 неисправен или 1 неисправен и 2 исправлен)осталось одно событие когда

1 неисправен и 2 неисправен

По условию каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 .

0,05∙0,05 = 0,0025.

1 – 0,0025 = 0,9975

Ответ: 0,9975

Задача 5. Помещение освещается фонарём сдвумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,14. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Событие А- что хотя бы одна лампа не перегорит.

Событие ͞А - обе лампы перегорят.

р( ͞А ) = 0,14 ∙ 0,14 = 0,0196.

р(А) = 1 – р( ͞А ) = 1 – 0,0196 = 0,9804.

Ответ: 0,9804

Задача 6. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся.Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания = 0,8

Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2

Попал и попал и попал и промахнулся и промахнулся

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048

0,02048 ≈ 0,02

Ответ: 0,02

Задача 7. Вероятность того, что новыйэлектрический чайник прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Событие А = « новый электрический чайник прослужит больше года». Р(А) = 0,98.

Событие В = «новый электрический чайник прослужит больше двух лет». Р(В) = 0,89.

Событие С = « новый электрический чайник прослужит меньше двух лет, но больше года».

А = В + С.

События В и С несовместны, значит,

Р(А) = Р(В) + Р( С),

0,98= 0,89+ Р( С),

Р(С) = 0,98-0,89=0,09

Ответ: 0,09.

Задача 8. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон попадёт в муху.

Берет пристрелянный револьвер и попадает или берет непристрелянный и попадает. 0,3 ∙ 0,8 + 0,7 · 0,2 = 0,24 + 0, 14 = 0,38

Решение:

Т. к. из 10 револьверов 3 пристреляны, то вероятность схватить пристрелянный револьвер равна 3/10 = 0,3. Вероятность схватить один из 7 непристрелянных револьверов равна

7/10 = 0,7. Возможны 2 случая попадания Джоном в муху.

Событие А = «Джон схватит пристрелянный револьвер и попадает в муху». События «Джон схватит пристрелянный револьвер» и «Джон попадёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, значит, Р(А) = 0,3 ∙ 0,8 = 0, 24.

Вероятность события В = «Джон схватит непристрелянный револьвер и попадает в муху» равна Р(В) = 0,7 ∙ 0,2 = 0,14.

События А и В несовместны (Джон не может стрелять одновременно как из пристрелянного, так и из непристрелянного револьвера). Искомая вероятность равна

Р(АU В)=Р(А) + Р(В) = 0,24 + 0,14 = 0,38

Ответ 0,38.

Задача 9. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:
Т. к. события «батарейка неисправна» и «батарейка забракована» независимы, значит, вероятность наступления события А равна:

Р(А) = 0,02 ∙ 0,99 = 0,0198.
Исправную батарейку линия производит с вероятностью
1 − 0,02 = 0,98.

Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Значит, вероятность события В равна

Р(В) = 0,98 ∙ 0,01 = 0,0098.
События А и В несовместны. Искомая вероятность равна
Р(АUВ) = Р(А) +Р(В) = 0,0198 + 0, 0098 = 0,0296.

Ответ: 0,0296.

Задача 10. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:

Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: либо после двух выигрышей (3 + 3), либо после выигрыша и ничьей (3 + 1, 1 + 3).

Так как вероятность выигрыша и проигрыша равны 0,4, то вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.

1. Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по формуле пересечения независимых событий равна
Р(А) = 0,4 ∙ 0,4 = 0,16.
2. Вероятность события В «команда выиграла первый матч, закончила вничью второй матч» равна
Р(В) = 0,4 ∙ 0,2 = 0,08.
3. Вероятность события С «команда закончила вничью первый матч, выиграла второй матч» равна
Р(В) = 0,2 ∙ 0,4 = 0,08.
4. События А, В, С попарно несовместны, вероятность их объединения равна
Р(АUВUС) = Р(А) +Р(В) +Р(С) = 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0, 32.

Ответ: 0,32.

Задача 11. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

1. Вероятность купить стекло на первой фабрике равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р(А) = 0,6 · 0,04 = 0,024.

1. Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероятность события В «куплено бракованное стекло второй фабрики» равна

Р(В) = 0,4 · 0,03 = 0,012.

1. Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместных событий А и В.

Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036

Ответ: 0,036.

Задача 12. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение (1 способ): Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов. Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 − 0,4  = 0,6. Вероятность промаха при каждом последующем равна 1 − 0,6 = 0,4. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 − 0,98 = 0,02. События независимы, поэтому имеем:

Р(1) = 1 − 0,4  = 0,6;

Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24;

Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096;

Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Ответ: 5.

Решение (2 способ): Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или n выстреле.

Будем вычислять вероятность уничтожения при n выстреле, задавая значения n=1,2,3, и суммируя полученные вероятности.

n=1     P=0,4                S=0,4

n=2     P=0,6∙0,6=0,36  - при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена      S=0,4+0,36=0,76

n=3     P=0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,144 - цель уничтожена при третьем выстреле

S=0,76+0,144=0,904

n=4     P=0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,6= 0,0576 - при 4-м

S=0,904+0,0576=0,9616

n=5     P=0,6 ∙ 0,43 ∙ 0,6 = 0,02304

S=0,9616+0,02304=0,98464    -  достигли нужной вероятности при n=5.

Ответ: 5.

Задача 13. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение:Вероятность того, что З. не сможет набрать 70 баллов ни по иностранному языку, ни по обществознанию равна

(1 − 0,7) ∙ (1 − 0,5) = 0,3 ∙ 0,5 = 0,15 (события независимые).

Значит, хотя бы по одному из этих предметов он получит 70 баллов с вероятностью 1 − 0,15 = 0,85. Для поступления нужно набрать требуемый балл по математике, русскому языку и хотя бы по одному предмету из иностранного языка и обществознания.

Вероятность поступления равна 0,6 ∙ 0,8 ∙ 0.85 = 0,408.

Ответ: 0,408.

Задача 14. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Вероятность наступления хорошей погоды по условию равна 0,8, тогда вероятность наступления отличной погоды равна 1 − 0,8 = 0,2.

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода).

Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128;

P(XOХ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128;

P(OОO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008;

P(OХХ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) =0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =0,392

Ответ: 0,392.

Задача 15. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.

Решение:

По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна

1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

Задача 16. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение:

Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и

В = «учащийся решит больше 11 задач».

Их сумма – событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем:

0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

Литература

Сайт «Решу ЕГЭ» https://mathb-ege.sdamgia.ru/

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты:36 вариантов/под ред. И.В. Ященко-М., «Национальное образование», 2022

Варианты сборника Ященко И.В. Математика-2022 ЕГЭ, базовый уровень

https://ege314.ru/tipovye-ekzamenatsionnye-varianty-ege-bazovyj-uroven-po-matematike/

Открытый банк заданий ОГЭ https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/495228-sbornik-zadanij-po-teme-teorija-verojatnostej