Графический способ решения заданий с параметром. Подготовка к ЕГЭ

Калинина Елена Ивановна

МКОУ «Средняя школа №1 имени А.М.Горького» городского округа город Фролово

Учитель математики.

Стать на тему «Графический способ решения заданий с параметром. Подготовка к ЕГЭ.»

.

Графический способ решения заданий с параметром.

Подготовка к ЕГЭ.

Параметр – независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.

Уравнение с параметром – математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает для каждого значения параметра найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:

1) исследовать, при каких значениях параметра уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметра;

2) найти все выражения для корней и указать для каждого их них те значения параметра, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Графический способ решения заданий с параметром

1) Метод «движущейся» прямой

Данный метод заключается в том, что мы мысленно двигаем прямую у = авдоль оси ОУ и смотрим, в каких точках она пересекает построенный график.

Пример 1.

При каких значениях параметра ауравнение |х²– 2х - 3| = ауравнение имеет три корня?

Решение.

Построим графики функций:

а) у = |х²– 2х - 3|, график – отображение параболы у = х²– 2х – 3 симметрично относительно оси ОХ;

б) графиком функции у = а является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;а).

С изменением параметра а прямая перемещается по прямой х = 0. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь две, три или четыре общие точки.

Выберем то значение параметра а,при котором графики имеют три общие точки, а значит, уравнение имеет три корня. Приа = 4 графики имеют три общие точки.

Ответ:а = 4.

Пример 2.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение ||5x| - 10| = a+ 3x имеет ровно три различных решения. Для каждого полученного значения параметраа найдите все эти решения.

Решение.

Построим графики функций у = | | 5x| - 10 | - 3x и у = a.

а) Графиком функции у = | | 5х | – 10 | - 3х является ломаная. Найдём точки излома:

5х= 0, х= 0, у(0) = 10.

|5х| - 10 = 0, 5|x| = 10, | х | = 2, x= ± 2, у(-2) = 6, y(2) = -6. Точки излома: (0;10), (-2;6), (2;-6).

Дополнительные точки: у(-3)=14, (-3;14); у(6)=2, (6;2).

б) Графиком функции у = а является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;а).

С изменением параметра а прямая перемещается вдоль оси ОУ параллельно оси ОХ. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Выберем те значения параметраа, при котором графики имеют три общие точки, а значит, уравнение имеет три решения.

Ответ: приа = 6 три решения х = -2, х = 0,5, х = 8;

приа = 10 три решения х = -2,5, х = 0, х = 10.

2) Метод «вращающейся» прямой.

Метод «вращающейся» прямой состоит в том, что мы мысленно поворачиваем прямую относительно начала координат и смотрим, в каких точках она пересекает построенный график

Пример 1.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных значения.

Решение.

Найдем ОДЗ: х-3.

Запишем первое уравнение в виде (y- 3)(xy- 3) = 0. Это уравнение задает прямую y= 3 и гиперболу y = .

Графиком функции y=является прямая с угловым коэффициентома, проходящая через начало координат, она « вращается» вокруг точки (0;0). Такая прямая пересекает прямую у=3 при а -1 и а 0, пересекает правую ветвь гиперболы y = при а 0, пересекает левую ветвь гиперболы y = при а . При это прямая y=проходит через точку пересечения прямой y= 3 и гиперболы y = при а= 3.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y = 3 и гиперболы y = с прямой y =при условии x -3.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 ; а = 3.

Ответ: 0 ; 3.

Пример 2. (Досрочный экзамен ЕГЭ 2016г.)

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Решение.Найдём ОДЗ: y 4.

Запишем первое уравнение в виде .

Оно задаёт прямую y= 2 и гиперболу y = .

Графиком функции y =является прямая с угловым коэффициентом , проходящую через начло координат, с изменением параметра , прямая «вращается» вокруг точки (0;0).

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y = 2 и гиперболе y = с прямой y =при условии y .

Мысленно вращая эту прямую, видим, что при и имеются две точки пересечения, при таких точек нет, при и точек пересечения ровно три.

Ответ: ; .

Другие «живые» графики

Пример 1.

При каком значении параметра , система

имеет единственное решение?

Решение. Построим графики уравнений.

a) или

Это квадратичная функция, график – парабола с вершиной (1;1), ветви которой направлены вверх.

б) Уравнение описывает окружность радиусом, центром (1; ). С изменением параметра окружность перемещается по прямой х=1.

Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем то значение параметра а, при котором графики одну общую точку, а значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Пример 2.

Найдите целое значение параметра а, при котором система

х²+у²= 1,

у - |х| = a

имеет ровно два решения.

Решение.Построим графики уравнений.

1) Графиком уравнения х²+у²= 1 является окружность с радиусом R=1 и центром (0;0).

2) Графиком уравнения у - |х| = a или у= |х| + a является ломаная, ветви которой направлены вверх, (0;0) - точкa излома.

С изменением параметра а ломаная перемещается по прямой х = 0.

Выберем то целое значение параметра а, при котором графики имеют две общие точки, а значит, система имеет ровно два решения. При а = 1 одно решение, при а = 0 два решения, при а = -1 система имеет три решения.

Ответ:а= 0.

В современной жизни решение заданий с параметрами является неотъемлемой частью ЕГЭ по математике профильного уровня, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой еще в школе.

Для того, чтобы научиться решать задачи с параметрами, не нужно запоминать решение конкретной задачи. Ведь следующая будет требовать другого решения. Лучше научиться находить общее и различия в подходах к анализу разных задач.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/497860-graficheskij-sposob-reshenija-zadanij-s-param