Конспект урока на тему «Логарифмы и их свойства»

Урок изучения нового материала: «Логарифмы и их свойства».

Цели и задачи урока:

• рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;

• дать понятие десятичного и натурального логарифма;

• овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;

• развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;

• научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;

• вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методическое обеспечение:  учебники, индивидуальные карточки.

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Сообщается тема и цель урока.

2. Актуализация знаний

В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной

роли логарифмов в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркивает значение десятичных и натуральных логарифмов.

3. Повторение ранее изученного материала

Опрос

Преподаватель задает вопросы:

1) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.

2) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах

3) Решить устно примеры:

4. Изучение нового материала

План

1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.

2. Основное логарифмическое тождество.

2. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.

3. Десятичный логарифм.

4. Натуральный логарифм.

Преподаватель излагает новый учебный материал

Логарифм числа

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения   не вызывает труда. Так как  то данное уравнение примет вид   Поэтому уравнение имеет единственное решение 

А теперь попробуем решить уравнение   По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е.  Тогда выполняется равенство   или   Но   в любой натуральной степени будет числом четным, а   в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением   математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения   записали так:   (читается : логарифм числа   по основанию 

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что   необходимо найти показатель степени   т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени   и возникает понятие логарифма числа   по основанию   

дается определение логарифма

Например

а) log ₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5³ = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5)^-4 = 16;

г)  , так как  = =

Введение основного логарифмического тождества 

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

(гдеb>0, a > 0 иa ≠ 1)

Согласно тождеству:

=5; .

Рассмотрим=8

Обратите внимание на то, что   является корнем уравнения   , а поэтому  =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству:  ;

=5;      .

Подчеркнем, что   и   одна и таже математическая модель

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

По определению соотношения y = a^xиx=log_ay при условии, что a> 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называетсялогарифмированием , а переход от второго к первому –потенцированием.

Например:

• логарифмируяравенство: ,получаемlog _1/2

• потенцируяравенство: ,log₂ 8 = 3, будем иметь 2³ = 8

Сравните.

Основные свойства логарифмов 

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a > 0 (a   1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

• log_a 1 = 0.

• log_a a = 1.

• log_a xy = log_a x + log_a y.

• log_a = log_a x - log_a y.

• log_a x^p = p log_a x

для любого действительного p.

Решить примеры устно. Найти x

1.  Ответ: 

2.  Ответ: 

3.  Ответ:

4.  Ответ: 

5.  Ответ:

Десятичные и натуральные логарифмы 

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа   по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается,   т.е. вместо   пишут  .

Например,     (Слайд № 6)

Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e

Примеры вычисления десятичных логарифмов

1.  так как 

2. , так как 

3.  так как 

4.  так как 

5.  так как 

6.  так как 

Формулы перехода от одного основания логарифм к другому На практике рассматривается логарифм по различным основаниям. Отсюда возникает необходимость формулы перехода от одного основания к логарифму по другому основанию.  

Упростить выражения:

a) 

б)

в) 

Ответ. a)  ; б) ; в) 

5. Закрепление изученного материала

Решить устно.

Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a

Работа в парах.

Найдите число   (484,485,486)

Решить устно.

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.

1)   2)   3)   4) 

Выполнить упражнения. Работа по индивидуальным карточкам.

6. Подведение итогов, домашнее задание

7. Рефлексия

Преподаватель задает учащимся вопросы:

• Какая тема была изучена на уроке?

• Достигнута ли цель урока?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/513218-konspekt-uroka-na-temu-logarifmy-i-ih-svojstv