Методические особенности обучения аналитическому решению линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем в основной школе

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ»

Факультет профессиональной переподготовки педагогических работников

Кафедра математических дисциплин

АТТЕСТАЦИОННАЯ РАБОТА

«Методические особенности обучения аналитическому решению линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем в основной школе».

Выполнила:

слушательница курсов по программе

«Содержание и методика преподавания математики в средней школе»

Дудоладова Наталья Андреевна,

МКОУ Мещерская СОШ с. Мещерское, Чеховский район

Научный руководитель:

к.п.н., доцент,

Павлов Андрей Николаевич

Москва, 2014 г.

План работы

Введение.

В Программе основного общего образования по математике [33, с. 35] в разделе Арифметика в теме Рациональные числа коротко записано: Модуль (абсолютная величина) числа. Больше это понятие не упоминается ни в указанной программе, ни в Программе среднего (полного) образования. Вводится понятие «модуль» в курсе математики 6 класса, но не как унитарная операция на множестве чисел, а через геометрическую интерпретацию: Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Далее в шестом классе модуль используется при сравнении чисел, при умножении и делении положительных и отрицательных чисел и приводится несколько простейших уравнений и неравенств с использованием модуля.

В седьмом классе [34,с. 25] про модуль учащиеся забывают на целый год, по крайней мере, в учебнике это понятие уже не встречается. В последующих классах только в некоторых учебниках вводится повторно понятие модуля числа и модуля выражения, и проскакивают эпизодические простейшие задания с модулем, например, линейные уравнения с модулем, но и они приводятся изредка и бессистемно. В темах Решение линейных уравнений и неравенств, Решение квадратных уравнений и неравенств задания с модулем не рассматривается.

Можно сказать, что ситуация с изучением модуля в средней школе близка к катастрофической. После окончания как основной, так и средней школы учащимся предстоит пройти ГИА по математике, а во множестве заданий части 2 ОГЭ и части С ЕГЭ встречаются задания с модулем самого разного вида, причем на таком уровне сложности, который и не мыслился ранее.

Актуальность рассматриваемой темы именно в этом огромном пробеле школьного образования: в теме Модуль практически отсутствует сердцевина, переход от простейших заданий к очень трудным. А ведь эти две вертикальные палочки фантастическим образом меняют любую функцию, любое уравнение или неравенство, делают их более сложными, но и более интересными. Это граничит с фокусом, когда, поставив модуль в квадратном уравнении, мы получаем у него уже не два, а четыре корня! И такие возможности не используются в практическом преподавании.

Кроме того, на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, а последнее время и на Едином государственном экзамене, который призван стать не только выпускным, но и вступительным одновременно, задания с модулем есть постоянно. Кто-то же должен научить школьников их решать, а это посильно осуществить и на школьных уроках математики, не прибегая к помощи репетиторов.

Цель исследования: Изучение методических особенностейобучения аналитическому решению линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем в основной школе.

Объект исследования: Уравнения и неравенства с модулем.

Предмет исследования:Линейные и квадратичные уравнения и неравенства с модулем.

Задачи исследования:

Провести анализ математической литературы и рассмотреть различные подходы к определению «модуль числа», а также способы раскрытия модуля;

Провести анализ методологической литературы и рассмотреть различные способы классификации уравнений и неравенств с модулем;

Изучить состояние и перспективы развития темы «Уравнения и неравенства с модулем» по отношению к школе;

обосновать и разработать содержание и методику обучения теме «Уравнения и неравенства с модулем первой и второй степени» для уроков алгебры в 9 классе.

В данной работе я решила наметить пути исправления замеченного упущения: продумать формы работы и их содержание, чтобы модуль занял достойное место, не только на экзаменах, но и непосредственно в процессе обязательного образования. Правда есть здесь одно ограничение. Хорошо бы сформулировать тему шире и рассмотреть все возможные применения модуля: при рассмотрении функций и их графиков, при решении неравенств и систем уравнений, даже при вычислении интегралов. Но я ограничена рамками небольшой работы, поэтому предметом рассмотрения будут только уравнения и неравенства, содержащие модуль. И даже в решении уравнений, содержащих модуль, придется ограничиться уравнениями и неравенствами первой и второй степени. Объем не позволит рассмотреть примеры тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, которые тоже могут содержать модуль, если мы этого захотим.

Аттестационная работа состоит из двух глав. В первой главе рассмотрены психолого-педагогические основы обучения школьников решению уравнений и неравенств с модулем в курсе алгебры основной школы. А именно возрастные особенности школьников основной школы, цели обучения курсу алгебры с точки зрения современных стандартов, отражение концепции духовно-нравственного воспитания на уроках алгебры, а также универсальные учебные действия как основа для применения различных педагогических технологий и получения гарантированного результата.

Вот второй главе затрагиваются особенности различных подходов к определению понятия «модуль числа», классификация и основные способы решения линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем, способы раскрытия знака модуля в различных уравнениях и неравенствах и также их сравнительная характеристика. Следующие параграфы отражают анализ предметной линии «Решение уравнений и неравенств» в учебниках по алгебре за 7-9 классы, а также методические рекомендации к обучению решению уравнений и неравенствах с модулем на уроках математики в 9 классе.

Основное содержание

Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения школьников решению уравнений и неравенств с модулем в курсе алгебры основной школы.

§ 1. Возрастные особенности школьников основной школы.

Основным видом деятельности подростка [31, с. 18], как и младшего школьника, является учение, но содержание и характер учебной деятельности в этом возрасте существенно изменяется. Подросток приступает к систематическому овладению основами наук. Обучение становится многопредметным, место одного учителя занимает коллектив педагогов. К подростку предъявляются более высокие требования. Это приводит к изменению отношения к учению. Для школьника среднего возраста учебные занятия стали привычным делом. Учащиеся порой склонны не утруждать себя лишними упражнениями, выполняют уроки в пределах заданного или даже меньше. Нередко происходит снижение успеваемости. То, что побуждало младшего школьника активно учиться, не играет теперь такой роли, а новые побуждения к учению (установка на будущее, дальние перспективы) еще не появились.

Подросток не всегда осознает роль теоретических знаний, чаще всего он связывает их с личными, узко практическими целями. Например, зачастую семиклассник не знает и не хочет учить правила математики, так как «убежден», что и без этих знаний можно выполнить элементарные математические операции. Младший школьник все указания учителя принимает на веру — подросток же должен знать, зачем нужно выполнять то или другое задание. Нередко на уроках можно слышать: «Для чего это делать?», «Зачем?» В этих вопросах сквозит и недоумение, и некоторое недовольство, и порой даже недоверие к требованиям учителя.

В то же время подростки склонны к выполнению самостоятельных заданий и практических работ на уроках. Они с готовностью берутся за изготовление наглядного пособия, живо откликаются на предложение сделать простейший прибор. Даже учащиеся с низкой успеваемостью и дисциплиной активно проявляют себя в подобной ситуации.

В школьном обучении учебные предметы начинают выступать для подростков как особая область теоретических знаний. Они знакомятся со множеством фактов, готовы рассказать о них или даже выступить с короткими сообщениями на уроке. Однако подростков начинают интересовать не факты сами по себе, а их сущность, причины их возникновения, но проникновение в сущность не всегда отличается глубиной. Образы, представления продолжают занимать большое место в мыслительной деятельности подростка. Часто детали, мелкие факты, подробности мешают выделить главное, существенное и сделать необходимое обобщение. Учащиеся довольно подробно рассказывают, например, отдельные правила и определения в курсе алгебры, но применить их на конкретном примере затрудняются. Для подростков, как и для младших школьников, характерна установка скорее на запоминание материала, чем на обдумывание и глубокое осмысливание.

Следует также отметить очень кратковременную память школьников [31, с. 35]. После прохождения определенной темы полученные знания и приобретенные навыки моментально вытесняются, как только происходит переход к новому разделу.

В то же время в отличие от младшего школьника, который с большим интересом воспринимает готовое, подросток стремится к самостоятельности в умственной деятельности. Многие подростки предпочитают справляться с задачами, не списывая их с доски, стараются избегать дополнительных разъяснений, если им кажется, что они сами могут разобраться в материале, стремятся придумать свой оригинальный пример, высказывают свои собственные суждения и т. д. Вместе с самостоятельностью мышления развивается и критичность. В отличие от младшего школьника, который все принимает на веру, подросток предъявляет более высокие требования к содержанию рассказа учителя, он ждет доказательности, убедительности.

В области эмоционально-волевой сферы для подростка [12, с. 83] характерны большая страстность, неумение сдерживать себя, слабость самоконтроля, резкость в поведении. Если в отношении к нему проявляется малейшая несправедливость, он способен «взорваться», впасть в состояние аффекта, хотя потом может об этом сожалеть. Такое поведение возникает особенно в состоянии утомления. Очень ярко эмоциональная возбудимость подростка проявляется в том, что он страстно, с жаром спорит, доказывает, высказывает возмущение, бурно реагирует и переживает вместе с героями кинофильмов или книг.

При встрече с трудностями возникают сильные отрицательные чувства, которые приводят к тому, что школьник не доводит до конца начатое дело. В то же время подросток может быть настойчивым, выдержанным, если деятельность вызывает сильные положительные чувства.

Для подросткового возраста характерен активный поиск объекта для подражания. Идеал подростка — это эмоционально окрашенный, переживаемый и внутренне принятый образ, который служит для него образцом, регулятором его поведения и критерием оценки поведения других людей. Но действенность идеала определяется не столько рассудочной деятельностью подростка, сколько силой его эмоций. В качестве идеала часто выступает конкретный человек. Обычно это выдающиеся люди, яркие, героические личности, о которых он узнает из книг, кинофильмов и реже близкие люди, по отношению к которым в большей степени проявляется критичность. На психическое развитие подростка определенное влияние оказывает половое созревание. Одной из существенных особенностей личности подростка является стремление быть и считаться взрослым. Подросток всеми средствами пытается утвердить свою взрослость, и в то же время ощущения полноценной взрослости у него еще нет. Поэтому стремление быть взрослым и потребность в признании его взрослости окружающими остро переживается.

В связи с «чувством зрелости» у подростка появляется специфическая социальная активность [12, с. 125], стремление приобщаться к разным сторонам жизни и деятельности взрослых, приобрести их качества, умения и привилегии. При этом в первую очередь усваиваются более доступные, чувственно-воспринимаемые стороны взрослости: внешний облик и манера поведения (способы отдыха, развлечений, специфический лексикон, мода в одежде и прическах, а подчас курение, употребление вина).

Стремление быть взрослым ярко проявляется и в сфере взаимоотношений со взрослыми. Подросток протестует, обижается, когда его, «как маленького», опекают, контролируют, наказывают, требуют беспрекословного послушания, не считаются с его желаниями и интересами. Подросток стремится расширить свои права. Он требует, чтобы взрослые считались с его взглядами, мнениями и интересами, т. е. претендует на равноправие со взрослыми. Важнейшим благоприятным условием нормальных взаимоотношений с подростком является такая ситуация, когда взрослые выступают по отношению к подростку в роли старшего друга и товарища, у которого можно многому научиться. Если же старшие продолжают относиться к подростку, как к ребенку, то может возникнуть конфликтная ситуация.

§ 2. Цели обучения школьников алгебре и содержание курса алгебры основной школы.

Модернизация школьного образования, реализуемая в настоящее время в рамках апробации и внедрения ФГОС ОО (Стандарт) [38, с.12] на первое место выдвигает требования к результатам образования, которые должны быть значимы за пределами системы образования. Поэтому цель российского школьного образования XXI века – создание условий для самореализации ученика в учебном процессе, формирование у школьника готовности быть субъектом продуктивной, самостоятельной деятельности на всех этапах своего жизненного пути.

В Стандарте сформулированы требования к предметным, личностным и метапредметным результатам обучения, которые должны быть достигнуты в процессе обучения каждой учебной дисциплине. К метапредметным результатам относятся, в частности, «универсальные учебные действия» (УУД), для формирования которых разработана специальная программа. УУД – это система действий учащихся, обеспечивающая социальную компетентность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию самостоятельной учебной деятельности, способность учащегося к саморазвитию посредством сознательного и активного присвоения нового социального опыта. УУД реализуют регулятивную, личностную, познавательную и коммуникативную функции в процессе обучения и соответственно рассматриваются регулятивные, личностные, познавательные и коммуникативные УУД. Их формирование должно выступать в качестве цели образовательного процесса, определяя его содержание, организацию при усвоении каждого предмета.

Успешное достижение предметных результатов возможно только при реализации требований к метапредметным результатам. Эти тенденции должны найти отражение в организации процесса обучения математики, и, в первую очередь, во включении в цели обучения математики задачи формирования у учащихся УУД.

Алгебра – раздел математики, посвященный изучению алгебраических операций.

Изучение алгебры в основной школе направлено на достижение следующих целей [ 33, с. 5]:

1) в направлении личностного развития:

• развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;

• формирование у учащихся интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;

• воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;

• формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе;

• развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

2) в метапредметном направлении:

• формирование представлений об алгебре как части общечеловеческой культуры, о значимости алгебры в развитии цивилизации и современного общества;

• развитие представлений об алгебре как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;

• формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для алгебры и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;

3) в предметном направлении:

• овладение алгебраическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения обучения в старшей школе или иных общеобразовательных учреждениях, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни;

• создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.

Содержание раздела «Алгебра» способствует формированию у учащихся математического аппарата для решения задач из разных разделов математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей процессов и явлений реального мира. В задачи изучения алгебры входят также развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики, овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символьных форм вносит специфический вклад в развитие воображения учащихся, их способностей к математическому творчеству. В основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений, а вопросы, связанные с иррациональными выражениями, с тригонометрическими функциями и преобразованиями, входят в содержание курса математики на старшей ступени обучения в школе.

Фундаментальное ядро содержания общего среднего образования указывает следующее содержание курса алгебры [16, с. 38]:

Многочлены и действия над ними. Квадратный трехчлен. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочлена на множители. Алгебраические дроби и действия над ними.Числовое значение буквенного выражения. Тождественные преобразования. Допустимые значения переменных. Уравнения, неравенства и их системы. Решение линейных и квадратных уравнений. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Равносильность уравнений, неравенств и их систем. Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение текстовых задач алгебраическим методом. Интерпретация результата, отбор решений. Расширение понятия числа: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Основная теорема алгебры (без доказательства). Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сложные проценты. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Понятие о методе математической индукции.

§ 3. Отражение концепции духовно-нравственного воспитания на уроках алгебры в основной школе.

Главные для человека вопросы о цели и смысле жизни тесно связаны с его мировоззрением [11, с.15]. Именно в школьном возрасте формируются мировоззренческие, нравственные, интеллектуальные, художественные и прочие вкусы у детей. Каждый школьный предмет предназначен учить тем или иным знаниям, прививать детям определенные умения и навыки. Ключевой фигурой между учеником и конкретным изучаемым предметом является учитель. Именно через школьного учителя в большей мере происходит формирование мировоззрения ученика, учитель воспитывает отношение к науке, вкус и интерес к познанию окружающего мира.

Реализация задачи духовно-нравственного воспитания на порядок сложнее и ответственнее, чем передача предметных знаний и возможна при особом состоянии души учителя, определяющемся ясностью его духовного зрения. По словам К.Д.Ушинского настоящего учителя и учеников роднит «особенная теплота и задушевность отношений», основой которой являются духовные качества личности педагога: вера, любовь, честность, открытость, мудрость, красота души.

И не важно, какой предмет он ведёт, главное, какие условия создает учитель на своих уроках для гармоничного развития личности. Важное значение для реализации задач духовно-нравственного воспитания школьников имеет фактор жизненной и профессиональной активности самого учителя, т.к. воспитанник фиксирует прежде всего то, что ярче всего проявляется в личности наставника. Поэтому очень важен процесс осмысления педагогом ответственности своей социальной роли, добровольное принятие на себя важной общественной функции – воспитания духовно развитого ответственного гражданина демократического общества.

Я преподаю математику, стараюсь быть для своих учеников авторитетом, и в чисто человеческом плане, и через свой учебный предмет. Я считаю, что математика обладает большим воспитательным потенциалом. Ещё в 19 веке польский математик Хуго Штейнгаус заметил, что «между духом и материей посредничает математика». Реализация воспитательного потенциала урока математики возможна через отбор содержания материала, через структуру урока, организацию общения.

Алгебра является не просто областью знаний, но прежде всего существенным элементом общей культуры, языком научного восприятия мира. Математическая наука неизбежно воспитывает в человеке целый ряд черт, имеющих яркую моральную окраску и способных в дальнейшем стать важнейшими моментами в его нравственном облике. Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Даже выполнение скучных и рутинных преобразований опосредованно способствует выработке таких качеств, как собранность и систематичность. Математика учит строить и оптимизировать деятельность, вырабатывать и принимать решения, проверять действия, исправлять ошибки, различать аргументированные и бездоказательные утверждения, а значит, видеть манипуляцию и хотя бы отчасти противостоять ей. Решение задач требует от учащихся добросовестной и серьезной работы над приобретением и укреплением знаний, что приводит к систематическому напряжению умственных усилий, настойчивости в преодолении трудностей. При этом у учащегося воспитываются такие черты характера как трудолюбие, усидчивость, упорство в преследовании намеченной цели, умение не останавливаться перед трудностями и не впадать в уныние при неудачах. Вообще, владение математикой - это тяжелый труд, и далеко не все готовы тратить силы, для того, чтобы это сделать. И бывает, звучат на уроке слова: «Зачем учить эти логарифмы, синусы, производные, ведь в жизни мне это не пригодится». А, действительно, зачем? И первый в учебном году урок математики я посвящаю теме «Почему нельзя жить без математики?». Это мотивационный урок, настраивающий детей на сознательное отношение к изучению математики. Цель урока – показать учащимся значимость математики для дальнейшего образования и в практической жизни, познакомить с учебной литературой и Интернет-ресурсами, необходимыми для успешного изучения этого предмета. На уроке в ходе беседы перед учащимися раскрываются причины, по которым нельзя в современном мире жить без математики, показывается, что математика - это не только "нужно", но ещё и интересно и увлекательно! Дисскусия о развитии математики приводит ребят к выводу о том, что математика – это наука, которая постоянно развивается, меняется и требует того же от тех, кто ею занимается. Математика вездесуща, в настоящее время математизируются биология и медицина и кто знает, что будет впереди, может быть на очереди понятия добра и зла. Для учителя подобный нетрадиционный урок – это возможность лучше узнать и понять учеников, оценить их индивидуальные способности и в то же время – это возможность для самореализации, творческого подхода к работе, осуществления собственных идей .

Прекрасным материалом для развития чувства патриотизма являются сведения из истории развития математики и математического образования в России. В качестве примера приведу учебный фрагмент о задаче, пришедшей к нам с картины Николая Петровича Богданова-Бельского «Устный счет. Художник изобразил на этой картине учеников и учителя сельской школы 19 века (причем ученики – мальчики, ведь в то время девочек в школу не принимали). Обратите внимание, как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане картины. Видно нелегкую задачу дал им учитель. Не сможем ли решить её и мы? Попробуем. На доске написано следующее задание: сумму квадратов чисел от 10 до 14 нужно разделить на 365. Попробуйте сосчитать устно.

- Не получается? Не у вас одних. Многие считают, что это абсурдная картина, не могли в сельской школе такое решать, и решить эту задачу можно только с помощью калькулятора. А мне кажется, что на первое место ставилась задача показать тот мыслительный процесс, который происходит при поиске решения задачи. Именно на уроке математики можно проявить в полной мере нестандартность мышления.

Расцветить историей можно почти каждый раздел курса математики. Проведение подобных бесед сопровождаю показом компьютерных презентаций [24, с. 104]. Применяя на уроках математики информационно-коммуникационные технологии, я ставлю в качестве цели не только повышение качества знаний, привитие интереса к математике, но и развитие личности учащегося, повышение его культуры. Важно показать детям, что компьютер можно использовать не только для игры в «стрелялки» или общения в «Аське», но и для учёбы, для своего совершенствования. А работать есть над чем. Часто приходится сталкиваться с элементарным неумением устно считать, правильно читать и понимать смысл математического текста. У большинства учащихся слабое знание геометрии, не развито пространственное мышление, слабая оперативная логическая память. Казалось бы, прочно выученный материал напрочь забывается после каникул.

§ 4. Понятие «универсальных» учебных действий в рамках модернизации школьного образования

Возникновение понятия «универсальные учебные действия» связано с изменением парадигмы образования: от цели усвоения знаний, умений и навыков к цели развития личности учащегося [4, с. 15].

УУД - это система действий учащегося, обеспечивающая культурную идентичность, социальную компетентность, толерантность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию самостоятельной учебной деятельности. Они обеспечивают способность учащегося к саморазвитию и самосовершенствованию посредством сознательного и активного присвоения нового социального опыта.

К основаниям выделения УУД относятся: цели и результаты общего образования; структурные компоненты учебной деятельности (мотив, цель, задача, учебные действия, контроль, коррекция, оценка); этапы процесса усвоения; формы учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

УУД реализуют следующие функции. Первая из них - регуляция собственной учебной деятельности – саморегуляция (принятие и постановка учебных целей и задач, поиск и эффективное применение необходимых средств и способов реализации учебных целей и задач, контроль, оценка и коррекция процесса и результатов учебной деятельности). Следующая функция - создание условий для саморазвития и самореализации личности, что обеспечивает готовность к непрерывному образованию на основе умения учиться. Не менее важная функция УУД - развитие высокой социальной и профессиональной мобильности, что способствует формированию гражданской идентичности и толерантности жизни в поликультурном обществе.

Выделяются четыре вида УУД [4, с. 88]: 1) личностные; 2) регулятивные; 3) общепознавательные; 4) коммуникативные.

Личностные универсальные учебные действия включают: смысло-образование, нравственно-этическое оценивание, самопознание и самоопределение. Владение этими действиями позволяет ученику построить образ своего «Я», способствует личностному, профессиональному, жизненному самоопределению и построению жизненных планов во временной перспективе. Эта группа УУД направлена на установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов; установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом - определение того, «какое значение, смысл имеет для меня учение».

Выделение морально-этического содержания событий и действий; построение системы нравственных ценностей как основания морального выбора; нравственно-этическое оценивание событий и действий с точки зрения моральных норм; ориентировка в моральной дилемме и осуществление личностного морального выбора – составляющие личностных УУД.

К регулятивным УУД относятся: 1) целеполагание (постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно); 2) планирование (определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий); 3) прогнозирование (предвосхищение результата и уровня усвоения, его временных характеристик); 4) контроль (сличение способа действия и его результата с заданным эталоном, с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона); 5) коррекция (внесение необходимых дополнений и корректив в план, и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта); 6) оценка (выделение и осознание учащимся того что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения); 7) волевая саморегуляция, как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолению препятствий, эмоциональная устойчивость к стрессам, эффективные стратегии совладания с трудными жизненными ситуациями).

Общепознавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблем.

К общеучебным УУД относятся: самостоятельное выделение и формулирование учебной цели; информационный поиск; знаково-символические действия; структурирование учебной информации и знаний; произвольное и осознанное построение устного и письменного речевого высказывания; смысловое чтение текстов различных жанров; извлечение информации в соответствии с целью чтения; рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий;

К логическим общепознавательным действиям относятся: анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков; синтез, как составление целого из частей, в том числе с восполнением недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, классификации, сериации объектов; подведение под понятие, выведение следствий; установление причинно-следственных связей; построение логической цепи рассуждения; выдвижение гипотез, их обоснование; доказательство.

Постановка и решение проблем включает: формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Группа коммуникативных УУД включает: планирование учебного сотрудничества; постановку вопросов; построение речевых высказываний; лидерство и согласование действий с партнером.

К формированию УУД предъявляются следующие требования [32, с. 118]. А) Формирование УУД должно выступить как цель образовательного процесса, определяя его содержание и организацию, при усвоении разных учебных предметов, целенаправленно и планомерно, а не стихийно. Б) Сформированность УУД определяет эффективность учебно-воспитательного процесса и его результаты. В) Определить цели формирования универсальных учебных действий через описание их функций в образовательном процессе, их содержания и свойств в соотнесении с возрастно-психологическими особенностями учащихся. Г) Составить ориентировочную основу каждого из УУД, обеспечивающую его успешное выполнение и организовать ориентировку учащихся в его выполнении. Д) Организовать поэтапную отработку УУД, обеспечивающую переход: от выполнения действия с опорой на материальные средства к умственной форме выполнения действия; от сорегуляции и совместного выполнения действия с учителем или сверстниками к самостоятельному выполнению, основанному на саморегуляции. Е) Определить связи каждого УУД с предметной дисциплиной. Ж) Определить конкретную форму УУД применительно к предметной дисциплине. Разработать системы задач для их формирования. З) Разработать систему рекомендаций разработчикам и авторам учебников и учебных пособий по учебным предметам с целью обеспечения формирования конкретных видов и форм УУД в данной предметной дисциплине. Включить как критерий экспертной оценки учебника и учебного пособия рекомендации и учебные задания, направленные на формирование УУД. И) Разработать учебно-методические рекомендации для педагогов. К) Осуществить специальную психолого-педагогическую подготовку в рамках существующих форм повышения квалификации или профессиональной подготовки педагогов.

Глава 2. Изучение темы «Аналитическое решение линейных и квадратичных уравнений и неравенств».

§ 1. Классификация линейных и квадратичных уравнений и неравенств с одной переменной и методика их решения.

Определение. Уравнением с одним неизвестным F(x)=f(x) называется равенство двух функций от одной и той же переменной величины, верное лишь при некоторых определенных значениях этой переменной [6, с. 165].

(Если равенство верно при любых значениях переменной, то оно называется тождеством). Переменная, входящая в уравнение, называется неизвестным, а значения (x₁,x₂, … ,x_n), при которых оно верно, – корнями или решениями уравнения.

Уравнение называется алгебраическим, если каждая из входящих в него функций является алгебраической (рациональной или иррациональной). Одна из этих функций может быть постоянной величиной. Всякое алгебраическое уравнение путем алгебраических преобразований может быть приведено к уравнению в канонической форме,

P(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n-1x+a_n= 0,

имеющему те же корни, что и исходное уравнение.

В этом случае показатель n называется степенью уравнения. Числаa₀,a₁, …,a_n-1,a_n называются коэффициентами уравнения. Здесь и далее предполагается, что это действительные числа.

Линейные уравнения

Приn=1 получается уравнение с одним неизвестным первой степени, которое чаще называют линейным уравнением

Уравнение вида ax=b - линейное, где a и b - числа, а x - неизвестное.

Для того, чтобы найти решение линейного уравнения, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент a - числовой коэффициент возле переменной x.

Линейное уравнение может быть задано неявно. В этом случае необходимо раскрыть скобки, умножив многочлен на одночлен, применить действия над уравнениями, в результате которых получим уравнение равносильное данному, привести подобные.

Если изначально задано уравнение, содержащее переменную в знаменателе, то перед решением необходимо указать область определения, исключить из ответа корни, при которых выражение не имеет смысла.

Особые случаи линейных уравнений

, где a – любое число a 0

Решением уравнения является ноль. Например, 

Решением уравнения является любое число. Корней бесконечно много.

, где b – любое число b 0

Уравнение не имеет корней. Например, 

Квадратные уравнения

Приn=2 получается уравнение с одним неизвестным второй степени, которое чаще называют квадратным уравнением. Этого названия будем придерживаться в дальнейшем изложении материала [37, с. 86 ].

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a,b,c – некоторые числа, причем a≠0.

Особо отметим, что в квадратном уравнении a≠0 , так как в противном случае оно было бы уравнением первой степени или линейным уравнением: bx+c=0. В то же время a может быть и положительным и отрицательным. Если a<0, то, умножая обе части уравнения на -1, получим уравнение с положительным коэффициентом при x².

Числаa,b,c – коэффициенты квадратного уравнения, причем число a называется первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом и с – свободным членом.

В зависимости от коэффициентов квадратных уравнений, можно классифицировать их на следующие виды.

Еслиb≠0,c≠0, то уравнение ax²+bx+c=0 называется полным квадратным уравненим общего вида.

Разделив все члены уравнения на a ≠0, получим x²+x+ =0. Полагая =p, =q, получаем уравнение x²+px+q=0 с первым коэффициентом равным единице, которое называется приведенным квадратным уравнением.

Если второй коэффициент четное число b=2k, то получается квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом ax²+2kx+c=0. Дополнительно можно выделить приведенное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом x²+2kx+c=0. Причина подобного дробления будет понятна в дальнейшем, когда мы станем рассматривать вопрос решения квадратных уравнений. Дело в том, что все эти частные виды уравнений имеют свои несколько отличные формулы решения.

Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

ax² +c=0, где b=0, c≠0

ax²+bx =0, где c=0, b≠0

ax²=0, где b=0 и c=0

Для большей наглядности сведем перечисленные результаты в классификационную таблицу.

1. Решение квадратных уравнений начнем с конца, с самого простого неполного квадратного уравнения ax²=0. Так как a≠0 оно равносильно уравнению x²=0 и поэтому имеет единственный кореньx=0. Вообще по поводу единственности этого корня будет сделано замечание в дальнейшем, математически правильнее считать его кратным (двойным) корнем.

2. В уравнение ax²+bx =0 вынесем общий множитель за скобки и получим x (ax+b) =0 . Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: x=0 или ax+b =0. Решая уравнение ax+b =0 в котором a≠0 находим x= - . Следовательно, корнями уравнения ax²+bx =0 являются числа x₁=0 и x₂= - .

3. В уравнении ax² +c=0 переносим его свободный член в правую часть и делим обе части уравнения на a. Получаем уравнение равносильное исходному уравнению.

Так как c≠0 , то ≠ 0. Если >0, то уравнение имеет два корня:

и . Если <0, то уравнение не имеет корней.

4. Решение полного квадратного уравнения общего вида

ax²+bx+c=0 (1)

проведем методом выделения полного квадрата. Разделим обе части уравнения на a , получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение x²+x+ =0. Преобразуем это уравнение:

, ,

.

Полученное уравнение равносильно полному квадратному уравнению общего вида (1). Число его корней зависит от знака дроби . Так как a≠0 , то 4а²- положительное число, поэтому знак дроби определяется знаком ее числителя, т. е. выражения b²-4ac . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+c=0 (дискриминант по-латыни – различитель). Его обозначают буквой D , т.е. D=b²-4ac. Уравнение можно переписать в виде: (2)

Рассмотрим теперь возможные различные случаи в зависимости от дискриминанта.

ЕслиD>0, то

или , или

Таким образом, в этом случае уравнение имеет два корня:

и .

Принята следующая короткая запись, которая называется формулой корней квадратного уравнения:

, где D=b²-4ac.

В советские времена, когда меньше говорили о правах школьников, учителя требовали заучивать наизусть словесную формулировку. Эта формула читалась так: корень полного квадратного уравнения общего вида равен дроби, числитель которой есть второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

ЕслиD=0, то уравнение (2) примет вид:

.

Отсюда, и в этом случае уравнение имеет один корень . Но так ли это? Один корень или два равных? Этот случай особенно интересен с точки зрения правильного определения количества корней квадратного уравнения.

Рассмотрим его подробнее на более простом примере. Линейное уравнение х-2=0 имеет одно решение х=2. Квадратное уравнение (х-2)²=0 тоже имеет решением лишь х=2, ведь никакое другое число не удовлетворяет этому уравнению. Однако в первом случае мы говорим что уравнение х-2=0 имеет один корень, а во втором принято правильно говорить, что уравнение (х-2)²=0 имеет кратный корень или два равных корня: х₁=2и х₂=2. Попробуем дать разъяснение этому различию. Изменим немного первое и второе уравнения, заменив нуль в правой части каким-нибудь маленьким числом, например х-2=0,01 и (х-2)²=0,01. Первое линейное уравнение по-прежнему имеет один корень, только он немного изменился х=2,01. А вот второе, квадратное уравнение теперь будет иметь два корня: х₁=2,1 и х₂=1,9. Станем теперь в уравнении (х-2)²=0,01 менять правую часть, заменяя ее все меньшими и меньшими числами. До тех пор, пока эта правая часть не будет равна нулю, уравнение будет иметь два различных корня. С уменьшением правой части корни будут «сближаться», так что их значения будут отличаться друг от друга на все меньшую и меньшую величину. Наконец, когда правая часть станет равной нулю, два корня «сольются» в один - значения двух корней станут равными друг другу. Поэтому говорят, что уравнение (х-2)²=0 имеет два корня, слившихся в один двукратный корень.

Перейдем к последнему варианту для значения дискриминанта в уравнении (2). Если D<0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение (2), а следовательно, и уравнение (1) не имеет корней. Добавим, что речь идет только о действительных числах.

Показанный метод решения квадратного уравнения общего вида ax²+bx+c=0 позволяет алгоритмизировать процесс решения. При решении квадратного уравнения следует поступать следующим образом:

вычислить дискриминант D=b²-4ac;

сравнить дискриминант с нулем;

если дискриминант отрицательный, то записать, что корней нет;

если дискриминант неотрицательный, то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения и вычислить оба корня.

Неравенства

Линейные неравенства

Определение.Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида

где a, b - числа, x - переменная.

Общее решение .

Неравенства можно преобразовать в линейное, используя основные свойства неравенств [19, с. 225].

Основные свойства неравенств

1) Если  .

2) Свойство транзитивности. Если  .

3) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т.е. если  .

4) Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, т.е. если  .

5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если  .

6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если  .

7) Аналогично правилам 5) и 6) действуют правила для деления на одно и то же число. Если  .

Квадратичные неравенства

Неравенство вида

где x - переменная, a, b, c - числа,  , называется квадратным [17, с. 308].

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения  . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0, квадратное уравнение имеет один корень; 2)D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D<0 квадратное уравнение не имеет корней.

В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции (см. рис. 1)

Рис. 1. Случаи расположения графика функции.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен  больше нуля, то это числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен  меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Такой метод решения квадратного неравенства называется графическим.

§ 2. Разные подходы к определению понятия «модуля числа»

Сначала введем обозначение модуля числа [39, с. 56]. Модуль числа a будем записывать как  , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль целого числа −7 можно записать как  ; модуль рационального числа 4,125 записывается как  , а модуль иррационального числа   имеет запись вида  .

Определение модуля числа

Модуль числа a – это либо само число a, если a – положительное число, либо число − a, противоположное числу a, если a – отрицательное число, либо 0, если a=0.

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде  ,

Запись   можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что  , если   (a больше или равно 0), и  , если a<0.

Также имеет место и запись  . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0. В этом случае имеем  , но −0=0, так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние [39, с. 92]. Приведем определение модуля числа через расстояние.

Определение.Модуль числа a - это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу а (см. рис. 2)

Р ис. 2. Графическое изображение модуля числаa.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9, так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25, поэтому  .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень [39,с. 95].

Определение. Модуль числа а – это арифметический квадратный корень из квадрата числа a, то есть, .

Свойства модуля.

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля [25, с. 12]. Сейчас я приведу основные и наиболее часто используемые из них.

§ 3. Способы раскрытия знака модуля в уравнениях и неравенствах с модулем.

По определению модуля через расстояние

Данный метод можно использовать для решения уравнений и неравенств следующего вида [7, с. 75]:

1)Уравнения вида , где f(x) – функция переменной х,  а – заданное действительное число.

При решении указанного уравнения могут возникать случаи:

Если а<0, и тогда уравнение не имеет корней, поскольку  ≥0;

Если  а=0, и тогда уравнение равносильно уравнению f(x)=0;

Если  a>0, и тогда уравнение равносильно совокупности уравнений:  

Пример 1. Решить уравнение  

Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:   x²+ 5x = 6  или  x²+ 5x = - 6 .

В результате получаем два квадратных уравнения:

x²+ 5x – 6 =0, x²+ 5x + 6 =0.

Первое уравнение имеет корни х₁=-6, х₂=1, второе – корни   х₃=-3, х₄=-2.

Каждое из этих чисел является корнем исходного уравнения.

Ответ: -6;-3;-2;1.

Решение равносильно системе, т.е. пересечение решений двух неравенств:

Вместо знака < может стоять любой другой знак: ≤

Напомним, что:

Если , то

Примечание. Если , то неравенство решений не имеет.

Если , то

Примечание. Если , то неравенство решений не имеет; неравенство равносильно уравнению .

Пример 1.Решим неравенство

Решение. Имеем:

Ответ: (2;4).

Пример 2. Решим неравенство

Решение. Имеем:

.

Ответ: . .

3) Неравенство

Решение равносильно совокупности, т. е объединение решений двух неравенств.

Вместо знака > может стоять любой другой знак: ≥.

Если , то .

Примечание. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения функции , исключая такие при которых , т. е. исключая нули функции .

Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения функции .

Если , то .

Примечание. Если или , то множество решений неравенства совпадает с областью определения функции .

Пример 1.

Решение:

Ответ: 

Пример 2.

Решение:

Второе неравенство системы не имеет решений. Первое неравенство сводится к виду

Ответ:

2. Возведение обеих частей уравнения или неравенства в квадрат.

Здесь необходимым условием является то, чтобы обе части уравнения были неотрицательны [7, с. 85].

Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака модуля. Для этого следует: возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию. Однако необходимо учитывать, что после возведения обеих частей уравнения в квадрат уравнение или неравенство должно легко решаться. Такой способ решения применим для уравнений и неравенств следующего вида:

1)Уравнения вида и .

После возведения обеих частей уравнения в квадрат получим следующее равенство

Пример 1. Решите уравнение2 - 3x - 5 – 2x = 0.

Решение. Если представить уравнение в виде 2 - 3x=5 - 2x ,то наиболее простым способом решения будет способ возведения обеих частей уравнения в квадрат. Так как обе части этого  уравнения  неотрицательны, то это уравнение равносильно следующему уравнению (2 – 3x)²= (5 - 2x)², которое путем преобразований сводится к квадратному 5x² + 8x – 21 = 0.

Решая его, имеем  D/4 =4²-5(-21)=16+105=121=11². 

Тогда получим x₁=-3,x₂ =7/5  .

Ответ: -3; 7/5.

Пример 2. Решите уравнение: |x+4|=2x-10.

Возведем в квадрат обе части уравнения:

x² +8x+16=4x² -40x+100

3x² -48x+84=0 /3

x² -16x+28=0

x₁=14,x₂=2

Найдём ОДЗ:

2x-10 0;

2x 10 ;

x 5.

x₁=14   [5;+ ), х₂=2   [5;+ )

Ответ: 14

2) Неравенство видаf(x) > g(x)

Оно равносильно неравенству . Преобразуем неравенство, получим неравенство , которое решается методом интервалов [25, с. 18].

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Исходное неравенство равносильно неравенству

,

которое, в свою очередь, равносильно Решим последнее неравенство методом интервалов:

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Неравенство равносильно исходному. В полученном неравенстве перенесем все члены в одну сторону и применим формулу разности квадратов.

.

Так как для всех , то полученное неравенство равносильно

. Решим неравенство методом интервалов.

Ответ: .

По определению модуля по формуле

Данный метод удобно применять для решения уравнений и неравенств с одним знаком модуля, когда способ решения возведения двух частей уравнения или неравенство неприменим.

1) Уравнения вида   

Когда функция  f(x) проще, чем функция g(x).Тогда уравнение равносильно совокупности двух систем:

Пример 1. Решить уравнение 

Решение. Пользуясь определением модуля, получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Ответ:     .

2)Уравнения вида |f(

Так как обе части уравнения неотрицательны, то получаем следующее условие равносильности [36, с. 25]: 

 Пример 1. Решите уравнение x³ + x² + 4x – 5 = x³ – x² + 2x – 3 .

Решение: Воспользуемся условием равносильности:

x³ + x² + 4x – 5 = x³ – x² + 2x – 3 или x³ + x² + 4x – 5 = - x³ + x² - 2x + 3;

x² + x -1 = 0 или x³+ 3x – 4 = 0;

илиx= 1.

  Ответ: ,1

3) Неравенства вида

Вместо знака > может стоять любой другой знак: ≥.

Используя определение модуля, получаем равносильную совокупность систем:

Метод промежутков (интервалов, решетки)

Если в задании модуль только один, то он легко раскрывается по определению. Но в решении упражнений, где количество модулей более чем один, у учащихся возникают затруднения, так как нужно определять знаки в одном и том же промежутке, но для различных подмодульных выражений и ещё учесть знаки из упражнения, стоящие перед модулем. В таких случаях мы пользуемся метод интервалов [25, с. 25]. Название условно, так как просто сопутствующий чертеж напоминает обычную оконную решетку.

Рассмотрим алгоритм решения упражнения методом интервалов:

Вычислить значение переменной, обращающее каждый модуль в нуль.

Начертить числовые прямые по количеству модулей в упражнении и подписать их.

Нанести на числовые прямые значения переменной соответствующие пункту 1.

Провести вертикальные прямые через отмеченные точки.

Определить знаки подмодульных выражений в “ окошках решетки”.

Последовательно рассматривая вертикальные столбцы решетки с учетом уже расставленных знаков раскрыть модули.

Решить полученные уравнения или неравенства, с учетом промежутков на которых раскрывали модули.

Пример 1:

Решить уравнение 

Ответ: -7.

Пример 2:

Решить систему неравенств 

Решим неравенство I , используя определение модуля.

Решение неравенства I: 

Решим неравенство II, используя метод интервалов:

Общее решение системы:

Ответ: 

Методика использования показала, что такие упражнения могут успешно решать как учащиеся математического профиля, так и учащиеся общеобразовательного и гуманитарного профиля, так как наглядность чертежа резко снижает количество ошибок по невнимательности.

Практика обучения учащихся 7-8 классов способам решения уравнений, содержащих модули, позволила выявить достоинства и недостатки каждого способа, которые для удобства сведены в таблицу (см. Приложение 8) .

Проанализировав достоинства и недостатки каждого из указанных способов, можно с уверенностью сказать, что на мотивационном этапе формирования умения решать уравнения с модулем ученикам следует показывать все, доступные на данном этапе обучения способы решения, и, главное, на конкретных примерах доказывать, что первый этап решения – выбор самого эффективного способа.

§ 4. Анализ линии уравнений и неравенств с модулем в УМК по программе основной школы

В данном параграфе мы рассмотрим программу по математике, выясним, в каких классах и темах школьного курса математики встречается понятие модуля, а также, какие требования предъявляются к знаниям и умениям школьников при изучении «модулей».

Также в параграфе проанализируем, как излагается тема «модуль» в основных школьных учебниках.

В первый раз в школьном курсе математики понятие «модуль» встречается в шестом классе, в разделе «Рациональные числа». Вводится определение модуля любого числа, его геометрический смысл и свойства.

Проанализировав требования, предъявляемые в программах к знаниям и умениям учеников после первого знакомства с понятием «модуль», мы выявили, что в результате изучения темы модуль ученик должен:

знать определение модуля числа;

уметь находить модули положительных и отрицательных чисел;

уметь решать простейшие уравнения, содержащие модуль;

уметь сравнивать рациональные числа по модулю.

Далее понятие модуля встречается уже во всех важных разделах курса алгебры и начал анализа: квадратный корень, уравнения, неравенства, функции.

В процессе изучения алгебры в 7-9 классах понятие модуля тесно вплетается в другие темы, поэтому четко требования к ученикам именно по теме «модуль» в программе не прописываются. Однако, проанализировав конкретные рабочие программы по алгебре [ 34, с. 25], можно выделить ряд требований к знаниям и умениям учеников:

знать определение модуля, геометрический смысл модуля;

знать свойство модулей противоположных чисел;

знать аналитическое определение модуля;

знать свойство квадратного корня | a |;

уметь решать уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля:

- решаемые по определению;

-вида │х - а│ = │х - b│;

- вида│х - а│ + │х - b│ = b – а, где b>a;

-решаемые методом интервалов;

-решаемые с использованием условия равенства модулей двух выражений;

- с параметрами;

-логарифмические и тригонометрические.

- уметь изображать на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

-уметь решать неравенства типа │х│< a; │x│> a.

- уметь решать системы неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля;

-уметь решать неравенства с двойным модулем;

- уметь изображать на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.

Анализ школьных учебников по математике, алгебре и началам анализа

Проанализируем действующие учебники курсов математики, алгебры и начал анализа, чтобы выяснить, как в них вводится понятие «модуль», насколько в них представлены задания, использующие это понятие.

Прежде всего, рассмотрим изложение понятия «модуль» в учебниках по математике для 6 класса. Рассмотрим два основных учебника, которые используются в школах – это учебник А.Г. Мордковича и Н.Я. Виленкина.

В учебнике А.Г. Мордковича [28, с. 75] модуль определяется как расстояние: «Расстояние от точки А(а) до начала отсчета, т.е. до точки О(0), называется модулем числа а, и обозначают |a|.

После определения модуля рассматривается его свойство: |0|=0. После этого в учебнике объясняется понятие противоположных чисел. И в заданиях №71,89 предлагается сделать вывод о модулях противоположных чисел. Тем самым ученики сами должны вывести свойство модуля: модули противоположных чисел равны.

Остальные свойства модуля:

модуль число неотрицательное;

модуль положительного числа равен этому же числу;

модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

в учебнике А.Г. Мордковича не приведены.

В учебнике есть задания:

на нахождение модулей рациональных чисел (№66,67);

на сравнение модулей чисел (№68,90,91);

на вычисления значения выражений, содержащих знак модуля (№92,96);

на решение простейших уравнений (№95) и простейших неравенств с модулем (№145,146).

В учебнике Н.Я. Виленкина модуль также определяется как расстояние: «модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а) |».

После определения модуля рассматриваются все его свойства:

модуль 0 равен нулю;

модуль число неотрицательное;

модуль положительного числа равен этому же числу;

модуль отрицательного числа равен противоположному числу;

модули противоположных чисел равны.

В учебнике Н.Я. Виленкина [8, с. 135] в теме «модуль числа» предлагаются задания:

на нахождение модулей чисел (№934,935);

на нахождение числа по его модулю (№939,940);

на сравнение модулей чисел (№942);

вычисления значения выражений, содержащих знак модуля (№937).

Таким образом, рассмотрев два основных учебника по математике для 6 класса, можно сделать вывод о том, что теоретическое изложение понятия «модуль числа» лучше в учебнике Н.Я.Виленкина. Что же касается заданий на данную тему, то учебнике А.Г. Мордковича представлены простейшие уравнения и неравенства с модулем, что является основой для изучения более сложных уравнений и неравенств, рассматриваемых в старших классах.

Теперь рассмотрим учебники по алгебре для 7-9 класса.

Алгебра. 7 класс.

В учебнике Ю.Н. Макарычева [21, с. 85] модуль появляется при изучении линейных уравнений. В №130 рассматриваются простейшие уравнения с модулем. Более сложные задания с модулем предлагаются лишь в дополнениях к первой главе (№№206-209,217).

Это задания вида:

| a | = | b |; верно ли, что а = b?

| x | < | y |; верно ли, что x < y?

| x | > | y |; верно ли, что x > y?

Являются ли тождествами равенства: |a + 5| = |a| + 5 ;|a2 + 4| = a2 + 4; в) |a – b| – |b – a| = 0 ; |a + b| – |a| = |b| ?

В учебнике Ш.А. Алимова [1, с. 108] при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, в котором нужно решить линейные уравнения с модулем (№№83,100). Эти задания помечены в учебнике как задания повышенного уровня. Также уравнения, содержащие знак модуля представлены в №133, который выделен как особо сложный. В нем учащимся предлагается решить уравнения, содержащие знак модуля в обеих частях равенства.

Рассмотрим еще один учебник по алгебре для 7 класса – А.Г. Мордковича [28, с. 84]. Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника.

В учебнике А.Г. Мордковича задания с модулем не разбираются.

В задачнике А.Г. Мордковича уже в главе «Математический язык. Математическая модель» представлены задания на применение свойств модуля числа и раскрытие модуля (№1.50). В теме «Линейные уравнения с одной переменной» в заданиях повышенного уровня сложности (№№4.22-4.25) предлагается решить уравнения с модулем, причем помимо простейших уравнений, представлены уравнения, содержащие переменную и под знаком модуля и вне него. Например, уравнения х + |х| + 4 = 0 или |5 - 2х| - 2х = х + 3.

Таким образом, во всех трех учебниках по алгебре 7 класса, рассмотренных нами, встречается мало заданий, содержащих модуль. Наиболее разнообразны и интересны задания из дополнений к основным главам учебника Ю.Н. Макарычева, а в задачнике А.Г. Мордковича представлены хорошие, достаточно сложные уравнения с модулем.

Алгебра. 8 класс.

Для 8 класса также рассмотрим учебники А.Г. Мордковича, Ш.А. Алимова и Ю.Н. Макарычева.

В учебнике Ю.Н. Макарычева [22, с. 112] модуль появляется в теме «Функция ». В №194 предлагается найти допустимые значения выражений, причем два из выражений содержат в знаменателе переменную под знаком модуля. А в №249 нужно построить графики функций, содержат в знаменателе переменную под знаком модуля. Это задание отмечено в учебнике как задание повышенной сложности.

В главе «действительные числа» предлагаются задание на раскрытие знака модуля (№№268,269).

В главе «Арифметический квадратный корень» рассматривается теорема: «При любом значении x верно равенство ». Хорошо расписано доказательство этой теоремы и примеры ее применения. И в упражнениях представлены различные задания на применение этого свойства. В дополнениях к этой главе можно найти достаточно интересные задания на применение данной теоремы.

В главах «квадратные уравнения» и в «Неравенства» учебнике Ю.Н. Макарычева [22,с.12 ] уравнения с модулем не рассматриваются.

В учебнике Ш.А. Алимова [2, с. 39] при изучении неравенств рассматриваются простейшие неравенства с модулем, и предлагаются достаточно интересные задания, в котором нужно решить неравенства с модулем (№№152-164). Причем рассматривается алгебраическое решение таких неравенств.

Кроме неравенств предлагаются другие задания с модулем, например:

определить знак а, если a3 *|a|<0;

проверить, справедливо ли тождество |a*b| = |a|*|b|, и др.

Также в учебнике Ш.А. Алимова рассматривается много других заданий с модулем:

решение уравнений;

оценку погрешностей;

вычисление корней;

сравнение иррациональных чисел;

построение графиков функций.

В учебниках по алгебре для 8 класса рассматривается функция y=|x|. А также уравнения, содержащие знак модуля.

В 8 классе учебник А.Г. Мордковича используется для обучения на базовом уровне. В разделе «Действительные числа» рассматривается понятие модуля действительного числа. Он определяется аналитически: «Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: |х|=х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: |х|=-х»

Модуль применяется для оценки иррациональных чисел.

Геометрический смысл модуля определяется формулой: p(a,b) = |a-b|.

Также рассматривается функция y=|x|, и уравнения содержащие знак модуля, причем уравнения подразумевают решение как аналитическим, так и графическим способом. Однако, уравнения, предлагаемые в данном учебнике довольно просты. Модуль применяется для оценки иррациональных чисел.

В задачнике А.Г. Мордковича уже в главе в главе «квадратные уравнения» предлагаются уравнения с модулем различного уровня сложности.

Таким образом, во всех трех учебниках по алгебре 8 класса, рассмотренных нами, встречаются задания, содержащих модуль. Наиболее разнообразны и интересны задания в учебнике Ш.А. Алимова.

Алгебра. 9 класс.

В учебниках А.Г. Мордковича [ 30, с. 89] и Ю.Н. Макарычева [23, с. 133] для 9 класса рассматривается решение модульных неравенств с помощью геометрического смысла модуля. предлагаются простые неравенства, такие как | х - 2 | < 3; | х + 3,2 | < 2;

Также в теме «системы неравенств» предлагаются задания с модулем, эти задания выделены как задания повышенной трудности.

В обоих учебнике рассматриваются графический и аналитический способы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

В учебнике Ш.А. Алимова [3, с. 136] очень мало заданий с модулем.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие модуль, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы, очень редко предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

во всех рассмотренных учебниках не даётся чёткое определение модуля;

чаще всего модуль встречается при вычислении значений выражений, решении уравнений и неравенств;

не во всех учебниках рассматривается графический и аналитический методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что для реализации разноуровневого изучения темы «модуль» в школьном курсе математики недостаточно пользоваться каким-либо одним учебником.

§ 5. Методические особенности изучения темы «линейные и квадратные уравнения и неравенства с модулем» на уроках алгебры в 9 классе на базовом и повышенном уровнях.

Использование уровневой дифференциации вносит в процесс обучения ряд изменений, которые проявляются в особых методических приемах, применяемых учителем, а также в изменении стиля взаимодействия с учениками [5, с. 25]. Разработка и использование таких приемов требует от учителя серьезной работы над содержанием и структурой изучаемого материала, так как уровневый подход предполагает вариативность глубины и темпа изучения определенной темы, различие учебных задний, выбор разных видов деятельности, дифференциацию помощи со стороны учителя [13, с.10], [14,с. 106].

Соответствующая работа, на наш взгляд, должна проводиться в каждом классе на всех ступенях школьного обучения. Рассмотрим некоторые методические приемы и средства реализации уровневого подхода в классах математического профиля при изучении темы «модули», учитывая при этом различные уровни математической подготовки учащихся[18, с. 36] ,[20, с. 56].

В ходе исследования мною была составлена таблица целей обучения теме «Уравнения и неравенства первой и второй степени с модулем» (см. Приложение1), карта изучения темы «Уравнения и неравенства первой и второй степени с модулем» (см. Приложение2), учебная рабочая программа по математике (фрагмент) (см. Приложение3). Также мною разработаны проверочные работы для диагностики уровня обученности и дальнейшей коррекции усвоения знаний учащимися (см. Приложение 4); систематизационные талицы, которые позволяют ученику обобщить различные методы решения уравнений и неравенств с модулем. (см. Приложение 5), банк заданий для внеаудиторной работы (см. Приложение 6), который позволяет учащимся выбирать нужный уровень сложности; карточки с алгоритмическими предписаниями (см. Приложение 7), которые удобно использовать учителю на уроках первичного закрепления материала.

В ходе исследования мною были разработаны методические рекомендации обучения теме «Уравнения и неравенства первой и второй степени с модулем» и применены в учебном процессе.

Рассмотрим, как происходит  формирование универсальных учебных действий на одном из уроков  алгебры в 9 классе по теме «Линейные и квадратичные уравнения и неравенства с модулем».

Тема урока «Линейные и квадратичные уравнения и неравенства с модулем»

Тип урока: урок обобщения и систематизации нового материала.

Цель урока: Осознать, систематизировать и упрочить знания по данной теме,

выработать умение самостоятельно применять знания, осуществлять их перенос в новые условия.

Формируемые УУД:

Познавательные: анализ, сравнение, аналогия, использование знаковой системы, осознанное построение речевого высказывания, подведение под понятие.

Регулятивные: выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить; приёмы саморегуляции.

Коммуникативные: взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, аргументация своего мнения.

Личностные: рефлексия собственной деятельности.

Средства обучения: компьютер, классная доска, слайдовая презентация, учебник «Алгебра. 9 класс» под редакцией Мордковича А.Г.

План урока

Организационный этап 1-2 мин

Повторение теоретического материала 7-8 мин

Этап всесторонней проверки знаний 20 мин

Этап обобщения и систематизации изученного материала 8 мин

Этап информации учащихся о домашнем задании и

инструктаж к его выполнению 5 мин

6. Этап подведения итогов урока 2 мин

Ход урока

Организационный этап

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II.Повторение теоретического материала

Для актуализации знаний полезно провести следующий теоретический опрос (см. Приложение 10).

После заполнения таблицы осуществить проверку: на обороте доски заранее подготовить ответы, соседям по парте обменяться своими работами. Критерии оценивания: 5 баллов – безошибочное выполнение всех заданий; 4 балла – 1или 2 ошибки; 3 балла – 3 или 4 ошибки; 2 балла – 5-7 ошибок.

III. Этап всесторонней проверки знаний

Выполните следующие задания:

1.Упростите выражение |x-5|-6 при х < 2.

2.Решите уравнения: а) |2x+3| = 5;

б) |5x-1|= 3- .

3. Решите неравенство |x- 7|≥ 4.

4. Решите уравнение |x В ответе укажите сумму его корней.

5. Решите неравенство |x+1| +|x-2|+|x-3|< 3x-9.

Ответы: 1) –х-1; 2) а) 1;-4; б) корней нет; 3) (-∞;3) (11;+∞); 4) -10.

При решении уравнений на доске, использовать приём саморегуляции (см. Приложение 9)

IV. Этап обобщения и систематизации изученного материала

Весь изученный теоретический материал обобщаем и систематизируем в виде таблицы (Приложение), таблицу заносим в справочник и сохраняем до экзамена в новой форме.

V. Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению

Прохождение тестирования (с самопроверкой)

Тестовые задания по теме «Решение уравнений с модулем».

А. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?

а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.

2.       Решите уравнение |х+3|=7:

а) 7; б) -7;  в) 0; 7; г) 7; -7.

3.       Решите уравнение |х+3|+|х-1|=6:

а) 3; -2; б) 4; -2;  в) -4; 2; г) 2; -3.

4.     Решите уравнение |3х-7|=1-х:

а) 2; 3; б) -2; 3;  в) -3; 2; г) -2; -3.

5. Сколько решений имеет уравнение (2,5х-5)²=(0,5х-6)²:

а) 1; б) 2;  в) 3; г) 4.

На дом вам предложено решить следующие задания трех уровней сложности. Все аналогичные примеры были разобраны на предыдущих уроках. (См. Приложение 6).

VI Этап подведения итогов урока

Подвести итоги урока: что получилось, над чем надо ещё поработать, тема очень важна для экзамена; выставить оценки учащимся.

Заключение

Модуль – одна из самых интересных и многогранных тем в математике. Изучив материалы вступительных экзаменов (тестовые задания ЕГЭ и сборники для поступающих в Вузы), я заметила, что многие из них содержат задания с модулем (уравнения, графики, неравенства) но, эти задачи либо мало, либо вообще не представлены в учебниках для средних школ.

Завершая рассмотрение различных способов решения уравнений, содержащих знак модуля, еще раз отметим тот важный факт, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.

Над проблемой применения различных способов для решения уравнений с модулем я работаю третий год. За это время мною разработана и внедрена в практику методика обучения учащихся решению уравнений и неравенств с модулем. Цель внедрения данной методики заключается в стремлении повысить качество умения решать уравнения, содержащие абсолютную величину.

Я работаю в общеобразовательных классах, где интерес учащихся к математике невелик. Исследование уровня обученности показало, что решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины, составляет большую трудность для учащихся. В начале обучения использованию различных методов для решения уравнений ученики относились к ним настороженно, стараясь, как можно чаще использовать один метод для решения всех уравнений, что иногда приводило к затруднениям. Однако, со временем, поняв, что к каждому уравнению можно подобрать наиболее эффективный метод решения, дети стали использовать для решения все способы в зависимости от уравнения. Это привело к повышению качества обученности решению уравнений с модулем.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: систематическое использование различных способов для решения уравнений, содержащих абсолютную величину, приводит не только к повышению интереса к математике, повышению творческой активности школьников, но и повышает уверенность детей в собственных силах, так как у них имеется возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае.

В ходе данного исследования я пришла к выводу, что вполне реально на уроках выделить время для подготовки учащихся к решению уравнений и неравенств с модулем. Это возможно осуществить несколькими способами: Внедрять технику решения уравнений и неравенств с модулем непосредственно после прохождения соответствующих тем решения линейных и квадратных уравнений и неравенств.

Список литературы

1.Алимов Ш.А. Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

2.Алимов Ш.А. Алгебра. Учебник для 8 класса. – М.: Просвещение, 2007. – 195 с.

3.Алимов Ш.А. Алгебра. Учебник для 9 класса. – М.: Просвещение, 2010. – 202 с.

4.Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / под. ред. А.Г. Асмолова. – М.: Просвещение, 2010. – 159 с.

5. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения (Общедидактический аспект). – М.: Педагогика, 1997. – 225 с.

6.Блох А. Я., Гусев В. А., Дорофеев Г. В. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика.- М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

7.Боженкова Л.И. Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах: Учебные материалы. Калуга: КГПУ, 2012. – 75 с.

8.Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 5 класса. – М.: Мнемозина, 2010. – 225 с.

9. Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: Мнемозина, 2010. – 235 с.

10.Голубев В. Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма модулей// Математика. – 2005. - №12. - с.41-48. 1

11.Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Коцепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. – М.: Просвещение, 2009. – 24 с. – (Стандарты второго поколения).

12.Добрынин Н.Ф. Возрастная психология: Курс лекций. - М.: Просвещение, 1965. - 296 с.

13. Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее развитие. – М.: Педагогика, 1989. – 345 с.

14. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроке. М.: Просвещение, 1961. – 118 с.

15.Зеленский А.С., Панфилов И.И.  Решение уравнений и неравенств с модулем. – М.: УниверПресс, 2009. – 126 с.

15.Козлова В.В., Кондакова А.М. Фундаментальное ядро общего образования:.. – М.: Просвещение, 2009-78 с.

17. Колягин Ю.М., Луканкин Г. Л. И др. Методика преподавания математики в школе: Частные методики. - М.: Просвещение, 1977.- 315 с.

18.Кочагин В.В., Кочагина М.Н. Тематические тренировочные задания // Математика. – 2008. - № 3. – с.15-18.

19.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1994. – 450с.

20. Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике/Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. - 10-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2007. - 624с.

21.Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: Просвещение, 2009. – 180 с.

22.Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 8 класса. – М.: Просвещение, 2008. – 193 с.

23.Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 9 класса. – М.: Просвещение, 2011. – 192 с.

24. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики. Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 2002. – 187 с.

25.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. и др. Алгебраический тренажер. – М.:Илекса. - 2005. -125 с.

26. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика / Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.- 435 с.

27.Методические рекомендации: http://www.shevkin.ru

28.Мордкович А.Г. Алгебра, учебник для 7 класса. 2 часть. - М.: Мнемозина, 2011. - 85 с.

29.Мордкович А.Г. Алгебра, учебник для 8 класса. 2 часть. - М.: Мнемозина, 2011. - 92 с.

30.Мордкович А.Г. Алгебра, учебник для 9 класса. 2 часть. - М.: Мнемозина, 2012. - 87 с.

31.Мухина В.С. Детская психология. - М.: Апрель-Пресс, 1999. - 352 с.

32. Онищук В.А. Урок в современной школе. – М.: Просвещение, 1981 г.

33.Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. -67с. – (Стандарты второго поколения).

34.Примерные программы по учебным предметам. Математика 7 - 9 классы. – М.: Просвещение, 2011.

35.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5 – 11кл. / Сост. Мордкович А.Г. – М.: Мнемозина, 2012. – 75 с.

36.Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения : учебно-методическое пособие. - М.: Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2005 г, - 144 с.

37.Тишин В. И., Математика для учителей и учащихся: рациональные алгебраические уравнения/ Тишин В. И. --- п. Комаричи, 2002. --- 167с.

38.Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с. – (Стандарты второго поколения) .

39.Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1985. – 365 с.

Приложения

Приложение 1

Таблица целей обучения теме «Уравнения и неравенства первой и второй степени с модулем»

УИ - учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятивные учебные действия

Приложение 2

Карта изучения темы «Уравнения и неравенства с модулем первой и второй степени»

Приложение 3

Учебная рабочая программа по алгебре (фрагмент)

Утверждаю Согласовано Рассмотрено

Директор СОШ № __ Зам. директора по УВР на заседании ШМО

__________ Ф.И.О. ­­­­­­_____________ Ф.И.О. протокол № ________

от ________________

Руководитель ШМО

___________ Ф.И.О.

Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики

на 2013/2014 учебный год (фрагмент)

Класс:_9__

Учитель:Дудоладова Н.А.

Количество часов: на учебный год: 136ч в неделю: 4ч

Плановых контрольных уроков: I триместр – 2 ; II триместр – 4 ; III ч триместр – 4

Планирование составлено на основе источников:

1) Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5 – 11кл. / Сост. А.Г. Мордкович,

- М.: Мнемозина, 2012.

2) Учебник Алгебра 8, А.Г. Мордкович, Москва «Мнемозина» 2011

3) Методические рекомендации: http://www.shevkin.ru

4) Алгебраический тренажер А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, Москва «Илекса» 2005

5) Примерные программы по учебным предметам. Математика 7 - 9 классы. – М.: Просвещение, 2011.

6) Боженкова Л.И. Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах: Учебные материалы. Калуга: КГПУ, 2012.

Тематическое планирование составила: Дудоладова Н.А. Дата 05.03. 2014 Роспись _____________

Условные обозначения: ПУУД – познавательные УУД; ПЛ УУД - познавательные логические УУД; ПО УУД - познавательные общеучебные УУД; РУУД – регулятивные УУД; КсУУД – коммуникативные УУД сотрудничество; КрУУД – коммуникативные УУД для общения: развитие устной и письменной речи; Ц1 – Ц 5 – цель 1 – 5; ДЗ – домашнее задание; УПД – учебно-познавательная деятельность, П-1 - практикум 1, Д-1 – диагностика 1, К-1 – коррекция-1

Приложение 4.

Образцы проверочных работа для диагностики и коррекции полученных знаний по теме «Решение уравнений и неравенств с модулями»

Д-1. Решение уравнений с модулями.

Д-2. Решение неравенств с модулем.

Д-3. Методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Приложение 5

Образцы систематизационных таблиц по методам решения уравнений и неравенств с модулем

Т-1. Виды уравнений с модулем и способы их решения

Т-2. Виды неравенств с модулем и способы их решения

Приложение 6

Задания для внеаудиторной работы учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем»

I. Модуль

Раскрыть следующие модули :

1) | π-3 |5) | х²|

2) | √3 - √2 |6) | x4 + 1 |

3) | 1- √2 | 7) | х² – х + 0,25 |

4) | √5 -2 | 8) | х²+ 2х + 2 |

II . Решить уравнения, содержащие выражения под знаком модуля :

Решить неравенства, содержащие выражения под знаком модуля

Приложение 7

Система карточек-заданий по теме «Решение уравнений с модулем».

ЗАДАНИЯ С УКАЗАНИЯМИ ИЛИ АЛГОРИТМИЧЕСКИМИ ПРЕДПИСАНИЯМИ И ОБРАЗОМ ВЫПОЛНЕНИЯ.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ».

1.

2.

3.

3. ЗАДАНИЯ С СОПУТСТВУЮЩИМИ УКАЗАНИЯМИ И ИНСТРУКЦИЯМИ.

1.

2.

4. ЗАДАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИФИКАЦИИ.

1.

2.

5. ЗАДАНИЯ С ВЫПОЛНЕНИЕМ НЕКОТОРОЙ ЧАСТИ.

1.

2.

Приложение 8.

Достоинства и недостатки методов раскрытия модуля при решении уравнений и неравенств с модулем

Приложение 9

Пример осуществления саморегуляции учеником при решении уравнения с модулем

Приложение 10

Теоретический опрос по теме: «Модули»

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/52042-metodicheskie-osobennosti-obuchenija-analitic