Методика введения математических понятий

Методика введения математических понятий

Понятие - форма мышления, в которой выделены существенные свойства и отделены от несущественных. Иметь понятие о некотором объекте, явлении означает понимать сущность этого объекта, явления. Непосредственным выражением понимания являются полнота, разносторонность, существенность взаимосвязей рассматриваемого понятия с ранее усвоенными, с имеющейся системой знаний.

Организуемый учителем процесс усвоения понятия (делания понятия своим) может быть представлен в виде следующей последовательности этапов: подготовка к введению нового понятия, мотивация введения понятия, организация восприятия и понимания, применение в стандартных и нестандартных ситуациях.

Первый этап заключается в актуализации ранее пройденного материала, в рассмотрении отдельных элементов вновь вводимого материала.

Необходимость второго этапа диктуется тем, что учитель в процессе обучения имеет дело не с индивидуумом и его способностями, но с личностью, у которой есть свои интересы, склонности, цели. Необходимо, чтобы ученик сам захотел сделать предлагаемый учителем материал своим, принял бы цели, которые поставлены учителем. Это можно сделать с помощью организации проблемной ситуации, в результате рассмотрения которой появляется необходимость познакомиться с новым понятием, или с помощью рассказа о важности изучаемого понятия.

Например, учащимся 8-го класса предлагается решить текстовую задачу, решение которой приводит к квадратному уравнению, которое учащиеся пока решать не умеют. Потребность решить задачу диктует необходимость изучения квадратного уравнения. Этим самым организуется первичное восприятие нового понятия.

Начальной ступенью понимания является предвосхищение понимания: еще не осознано то, что воспринимается, но ощущение возможности осознания есть. Вторая ступень - смутное понимание, когда отдельные элементы структуры понятия уже схвачены. На этом этапе еще невозможно дать себе отчет, что понято, что не понято. Дальнейшее понимание характеризуется углублением процесса, преодолением скованности в формулировках, возможностью передачи знания другому лицу, возможностью использования понятия в стандартных, а потом и в нестандартных ситуациях. Индивидуальное сознание проходит путь от выявления отдельных существенных характеристик к выяснению структуры понятия. Эти ступени понимания, усвоения проходит любое знание: и теоремы, и правила, а не только понятия.

Организация усвоения понятий может быть реализована в рамках различных методов обучения: объяснительно-иллюстративного, когда учитель сам вводит новое понятие, и в рамках частично-поискового, когда учащиеся привлекаются к поиску нового определения. Эти методы получили названия соответственно абстрактно-дедуктивного и конкретно-индуктивного.

Схема применения конкретно-индуктивного метода:

- анализируется эмпирический материал (при этом, кроме индукции, привлекаются и другие логические методы: анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение);

- выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют;

- формулируется определение;

- определение закрепляется путем привлечения примеров и контрпримеров;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода:

- формулируется определение понятия;

- приводятся примеры и контрпримеры;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Абстрактно-дедуктивный метод применяется обычно в тех случаях, когда введение понятия хорошо подготовлено предшествующим обучением. Например, после введения понятия параллелограмма вводится понятие прямоугольника.

При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует больше учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий.

Введению определения на уроке предшествует работа учителя по выделению существенных и несущественных свойств понятия, определение которого подлежит изучению, анализу логической структуры этого определения, подбору примеров и контрпримеров для закрепления и возможностей их вариации, анализу ситуаций, в которых наиболее часто встречается вводимое понятие. Анализ заканчивается выбором метода введения определения.

Рассмотрим пример подготовки учителя к уроку по теме «Смежные углы». Определение смежных углов имеет два существенных свойства: наличие у обоих углов общей стороны и то, что вторые стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Эти свойства связаны между собой конъюнктивно. Объект подпадает под понятие, если имеет место каждое свойство. Это значит, что контрпримеров этому понятию можно привести три: когда отсутствует первое или второе или оба свойства сразу. Какими несущественными свойствами обладает это понятие, т. е. какие свойства допускают вариации? Это соотношения между величинами углов, произвольность расположения на плоскости. В методике Н.Н. Кабановой-Меллер предлагается вместе с учащимися выделять и проговаривать не только существенные свойства, но и несущественные. Такая работа позволяет учащимся легче узнавать объекты в наиболее часто встречающихся задачных ситуациях, в которых участвуют смежные углы. Такими ситуациями для смежных углов являются ситуации, когда две прямые пересечены третьей прямой, в треугольниках, в разных видах четырехугольников.

Поскольку вводимое понятие смежных углов не очень сложное, то учитель может предпочесть частично-поисковый метод введения понятия. При этом цель урока может быть сформулирована по-разному: получить определение смежных углов с помощью учащихся, научить учащихся его формулировать, узнавать смежные углы в различных ситуациях, подводить под определение понятия смежных углов, исправлять ошибочные определения.

Рассмотрим фрагмент урока по введению понятия смежные углы. Классу представлены следующие рисунки:

а) б) в) г) д)

Далее процесс восприятия и осознания направляется вопросами учителя к предложенным рисункам:

• назовите рисунки, на которых изображены два угла, имеющие одну общую сторону;

• назовите рисунки, на которых сторона одного угла является дополнительной полупрямой для стороны другого угла;

• на каких рисунках изображены углы, которые одновременно удовлетворяют двум предъявленным требованиям?

В беседе роль учащихся может быть усилена, а вопросы можно поставить так, что уровень самостоятельности учащихся повысится:

• что общего на рисунках а), б) и г)?

• что общего на рисунках б), в) и г)?

• назовите рисунки, изображения на которых удовлетворяют двум выделенным требованиям.

Далее учитель сообщает термин «смежные углы» и просит учеников сформулировать соответствующее определение. Для закрепления выделенных существенных свойств учитель дает задание обосновать, почему углы на рисунках а), в) и д) не являются смежными. Далее рассматривается, чем различаются смежные углы на рисунках б) и г) и чем вообще могут отличаться друг от друга пары смежных углов.

Психологи (В.И. Зыкова, М.А. Холодная) считают, что при изучении всякого понятия должно быть установлено соответствие нового знания личному интеллектуальному опыту учащихся, в котором могут содержаться противоречия с новыми знаниями. С отношением «быть смежными» учащиеся сталкивались в быту: смежные - соседние участки земли, помещения. Необходимо подчеркнуть сходство и различие вновь вводимого понятия с имеющимися.

Интересным для учащихся может оказаться перевод на русский язык различных математических терминов: радиус - спица колеса, хорда - струна, диаметр - поперечник (с греч.) и т. д., что раскрывает первоначальный смысл понятий, их происхождение и связь математики с окружающей действительностью.

Применению всякого понятия на практике при решении задач предшествует узнавание его в некоторой конкретной ситуации, где оно может быть представлено в более или менее скрытой форме. За этим при решении задач следуют обоснование узнавания (подведение под понятие) и выведение следствий (использование понятия). В методике преподавания математики принято в качестве первых упражнений на закрепление вновь вводимых понятий предлагать упражнения на узнавание объектов с дальнейшим подведением под определение. Например, такими упражнениями на узнавание смежных углов могут быть задания выделить смежные углы на рисунке и обосновать свои утверждения.

Это же понятие смежных углов может быть введено по-другому.

Например, учитель просит учащихся построить в тетради и на доске любой угол, а затем продолжить одну из его сторон - построить дополнительную полупрямую. Далее с помощью учащихся выясняется, какими существенными свойствами обладают два полученных угла, рассматриваются различные чертежи из тетрадей учеников в качестве вариаций несущественных свойств, затем рассматриваются контрпримеры.

Дальнейшее усвоение понятия «смежные углы» проходит на этапе применения понятия.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/521866-metodika-vvedenija-matematicheskih-ponjatij