Зеркальная симметрия на примере калейдоскопа

Министерство образования и молодежной политики Свердловской области

Департамент образования Администрации города Екатеринбурга

Муниципальное образование «город Екатеринбург»

Орджоникидзевский район

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 27

Направление: естественнонаучное

Предметная область: математика, физика

Проект

Зеркальная симметрия на примере калейдоскопа

Автор проекта: Воронов Вадим 5 Е класс

Научный руководитель проекта

Тофанило Елена Александровна,

Екатеринбург, 2023

Введение

«Узорник- то трубка с тремя зеркальцами клином, где цветные стекляшки отражаются узорочною звездою, переменною, при всяком движении или обороте трубки». В. Даль

Актуальность: мир зазеркалья очень интересный и загадочный. Любознательному человеку всегда хочется понять, что и как устроено и почему определённые явления происходят именно так.

Находясь в зеркальном лабиринте, трудно найти выход из него. Почему? Узоры в детской игрушке-калейдоскопе не повторяются. Как они образуются? Почему не повторяются?

Проблема: нет ответов на вопросы, связанные с пониманием принципа работы калейдоскопа и других устройств в конструкцию которых входят зеркала.

Цель: исследование зависимости количества изображений в зеркалах от величины угла между ними.

Задачи:

• найти и изучить теоретический материал по теме «Зеркальная симметрия»;

• исследовать зависимость количества изображений от величины угла между зеркалами;

• ознакомиться с устройством калейдоскопа; изготовить калейдоскопы разного вида;

• создать буклет с инструкцией по изготовлению калейдоскопа и объяснению принципа работы.

Объект исследования: зеркальная симметрия.

Предмет исследования: применение свойств зеркальной симметрии в детской игрушке - калейдоскоп.

Гипотеза: количество отражений объекта в зеркалах зависит от величины угла между ними.

Методы и приёмы: поиск, анализ, синтез информации, обобщение, систематизация, эксперимент.

Новизна работы заключается в изучении теоретического материала по теме «Зеркальная симметрия» (не изучаемого в курсе математики 5 класса), заключительным этапом которой является применение полученных знаний на практике - изготовление детской игрушки - калейдоскоп и буклета с инструкцией и объяснением принципа работы "волшебной трубы".

Практическая значимость:

• приобретен опыт применения математических знаний на практике;

• создан буклет с инструкцией по изготовлению калейдоскопа и объяснением принципа работы

Теоретическая часть

1.1. История создания калейдоскопа

Калейдоскоп (от греч. καλός — красивый, εἶδος — вид, σκοπέω — смотрю, наблюдаю) — оптический прибор-игрушка, чаще всего в виде трубки, содержащей внутри три (иногда два или более трёх) продольных, сложенных под углом зеркальных стеклышек; при поворачивании трубки вокруг продольной оси цветные элементы, находящиеся в освещённой полости за зеркалами, многократно отражаются и создают меняющиеся симметричные узоры (Приложение 1, рис. 1).

В 1816 году калейдоскоп был открыт и запатентован шотландским физиком сэром Дэвидом Брюстером. Любопытно, что изначально калейдоскоп создавался Д. Брюстером в качестве научного прибора, а вовсе не как игрушка.

Во время своих экспериментов в 1815 году учёный обратил внимание, что осколки стекла, помещенные в трубу с зеркалами, создают чудесные симметричные узоры, отражаясь в зеркалах.

Узор менялся в зависимости от того, под каким углом зеркала располагались друг к другу, а также от того, какое количество зеркал использовалось. К 1816-му сложилась первоначальная конструкция калейдоскопа.

Он представлял собой трубку с парами зеркал на одном конце и 2-х пар полупрозрачных дисков на другой, между которыми располагался бисер. После опубликования трактата о калейдоскопе, этим прибором заинтересовалась практически вся Европа.

Через пару лет калейдоскоп проник в Россию, где был встречен с невероятным восторгом и восхищением.

1.2. Зеркальная симметрия

В основе принципа работы калейдоскопа лежит зеркальная симметрия. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов и вообще не обращаем внимания.

На самом деле мы ежедневно наблюдаем в зеркале удивительное математическое явление — "зеркальную симметрию". В древности слово "симметрия " употреблялось в значении "гармония", "красота". Действительно в переводе с греческого это слово означает "соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей".

Если посмотреть на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой (Приложение1, рис. 2), то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой (такой же, как исходная фигура). Потому такая симметрия называется зеркальной. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало называется осью симметрии (для фигур на плоскости) или плоскостью симметрии (в пространстве).

Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта.

1.3.1. Принцип работы калейдоскопа

Чтобы понять принцип работы калейдоскопа проведём опыт с зеркалами. Возьмём зеркало и положим перед ним фишку. Мы видим две фишки: одну в оригинале и одну в отражении "за зеркалом". В зеркале мы видим изображение фишки, находящееся на расстоянии равном расстоянию до зеркала.

Возьмем теперь два зеркала расположенных под углом 1200 друг к другу и повторим наш эксперимент. Мы видим три фишки: одну в оригинале и две в отражении. Зеркальный угол с раствором 90° покажет то же изображение четыре раза. А два зеркала, угол между которыми составляет 72°, дадут нам пятикратное изображение. Если угол между зеркалами 600, то изображений 6, 300—12 и т.д.(рис.3).

Вывод: - изображение в плоском зеркале мнимое ("за зеркалом"), прямое (неперевернутое), в натуральную величину и расположено симметрично источнику относительно плоскости зеркала.

- количество изображений в зеркалах зависит от величины углов между зеркалами. Число изображений равно результату деления 360° на величину угла между зеркалами, то есть 1800, 1200, 900, 720, 600, 45°, 360, 300 и т. д. В зависимости от числа, на которое производится деление, мы видим фишку 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 раз.

Фишка совершает в зеркале "полный оборот". Таким образом, образует симметричный узор.

1.3.2. Устройство калейдоскопа

Калейдоскоп – это устройство, очень похожее на подзорную трубу или телескоп. Устройство это снабжено зеркалами, поставленными под определённым углом (треугольной призмы). В одном из оснований призмы — двойное стеклянное дно, между стёклами насыпаны мелкие разноцветные предметы. В противоположном основании призмы — окуляр (рис.4).

При фиксированном положении калейдоскопа из предметов складывается картинка в «основном» треугольнике. Она многократно отражается в стенках‐зеркалах, и наблюдатель через окуляр видит симметрично‐правильный разноцветный узор. При повороте калейдоскопа предметы пересыпаются, возникает новый, но тоже правильный узор.

Важно, что видимая картина «устойчива», не изменяется при небольших шевелениях калейдоскопа. Чтобы узор был «устойчивым» и симметричным — лишь в этом случае устройство называют калейдоскопом, — для построения призмы подходят только три вида треугольников.

В самом распространённом типе калейдоскопов треугольник в сечении призмы — равносторонний, у которого углы равны 60°. Этот вариант удобен и с производственной точки зрения — все зеркала одинаковые
Если рассматривать призмы не только с треугольным основанием, то калейдоскоп можно построить и на основе многоугольников.

2. Практическая часть

2.1. Изготовление калейдоскопа

Для изготовления калейдоскопа понадобятся: зеркальные поверхности (полоски зеркала, пластины из дисков, фольга и т.п.), скотч или клейкая лента, ткань (желательно белая не плотная) или матовая пластиковая плёнка, пластиковые диски (прозрачные), цилиндрические поверхности (втулка от бумажного полотенца, коробка от чипсов или ушных палочек и т.п.), мелкие разноцветные предметы (пуговицы, бисер, бусинки), цветная бумага для украшения, клей, ножницы (Приложение 2).

Самая главная деталь калейдоскопа — зеркальная призма. Она может содержать разное количество зеркал. Грани призмы необходимо закрепить с помощью скотча. Удобнее всего мастерить призму с равносторонним треугольником в основании (конструкция получается жёсткой). Затем призму помещают в цилиндр, и фиксируют, уплотняя зазоры бумагой или любым другим материалом.

Концы цилиндра закрывают, с одной стороны окуляром, а с другой стороны помещают "узорную камеру"—между стеклами (прозрачным и матовым) помещают бусины и стекляшки, которые многократно отражаясь, дают неповторимые узоры.

Матовое стекло можно заменить неплотной тканью (её удобно крепить с помощью двухстороннего скотча к цилиндрической поверхности).

Выводы: для того, чтобы узор в калейдоскопе был симметричный и четкий надо придерживаться следующих правил:

1. Два зеркала должны быть расположены под углом, делящим круг на целое количество частей.

2. Объект должен быть расположен непосредственно перед отражающими поверхностями.

3. Наполнитель для узорной камеры калейдоскопа, желательно подбирать разноцветный, не больших размеров и прозрачный.

4. Лучшая точка для наблюдения орнамента - максимально близкая к стыку зеркал.

5. Попадающие в пространство между двумя зеркалами объекты отражаются в них, отражаются их отражения и отражения их отражения, образуя симметричный круговой узор, оживающий при движении объектов относительно калейдоскопа.

Заключение

"Если у вас есть калейдоскоп с 20 стеклышками, и вы будете поворачивать его 10 раз в минуту, то вам понадобится 500 000 миллионов лет, чтобы просмотреть все узоры" Я.И. Перельман
Калейдоскоп — это генератор положительного поля. Он способен создать настроение, разогнать тоску, улучшить самочувствие. Пятнадцать минут рассматривания картинок калейдоскопа сравнимы с пятью минутами здорового смеха. Калейдоскоп — это домашний терапевт.

Он помогает снять усталость зрительного нерва, что особенно важно в современном мире компьютеров и электроники. Калейдоскоп — такая полезная игрушка. Принцип её работы основан на свойствах зеркальной симметрии. Экспериментируя с зеркалами, была доказано, что количество отражений объекта в зеркалах зависит от величины угла между ними: чем меньше угол, тем больше изображений.

Гипотеза подтвердилась. В процессе создания калейдоскопов было подмечено, что наиболее простым в изготовлении является калейдоскоп с зеркальной правильной треугольной призмой (в основании равносторонний треугольник).

Знания о зеркальной симметрии, полученные при работе над проектом дали ответ на многие вопросы связанные с этим явлением и его применением: понятна работа зеркального лабиринта, применение зеркал в интерьере — расширяет пространство, в создание различных симметричных узоров, например – для обоев, ковров, тканей, ювелирных украшений используется зеркальная симметрия.

Практическая значимость:

Приобретен опыт применения математических знаний на практике.

Создан буклет с инструкцией по изготовлению калейдоскопа и объяснением принципа работы.

Получена возможность использования материалов исследования, компьютерной презентации на занятиях факультатива.

Список литературных источников

1. Калейдоскопы и группы отражений / Э. Б. Винберг. Математическое просвещение. Серия 3. 2003. Вып.7. с. 45—63.

2. Математика: Наглядная геометрия. 5—6 кл. : учебник / И.Ф. Шарыгин, Л. Н. Ернаджиева. — 2-е изд., стереотип. — М: Дрофа, 5015. —189 с.

3. Математическая составляющая / Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — М. : Фонд «Мате­мати­ческие этюды», 2015. — 151 с.

Приложение 1

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Приложение 2

Нам понадобится для изготовления калейдоскопа:

1. тубус от чипсов

2. ножницы

3. Линейка

4. Циркуль

5. Карандаш

6. Цветная бумага

7. Клей

8. Бусины

   

9. Пластиковая крышка

10. Скотч

11. Картон

1. Возьмем картон с фольгой и склеим из него треугольную призму блестящей стороной внутрь. Можно использовать пачки из-под молока или сока. Ширина каждой полоски — 6.2 см, длина — 21 см. Закрепим призму с помощью скотча.

2. Поместили призму в тубус. Призма должна быть короче трубки на несколько сантиметров и не доходить до конца.

3. Вырезали из пластика два прозрачных диска диаметром 5,3 см. На один из них приклеили бумагу — он должен быть матовым.

4. Прозрачный диск вставь в тубус и закрепили клеем на конце призмы.

5. На другом конце калейдоскопа проделали отверстие посередине.

6. На прозрачный диск положили стеклышки и блестящие камешки. Много их класть не нужно, в обратном случае они не смогут двигаться.

7. Сверху тубус задекорировал цветной бумагой.

И вот мой калейдоскоп готов!

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/527559-zerkalnaja-simmetrija-na-primere-kalejdoskopa