Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция

Класс : 9

Функция у =  и её график.

ЦЕЛИ:

1) ввести определение функции у =  ;

2) научить строить график функции у =  , используя программу Agrapher;

3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у =  , используя свойства преобразования графиков функций;

4) научить читать графики функций у = .

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у =  ; у =  ; у =  .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

у =   (1).

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в)   =  .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у =  х + в – линейная функция.

Д2: Если   =  , то с =  . Подставив значение с в формулу (1) получим:

 =   =   =  , то есть у =   - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у = , где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с 0 и аd – вс  0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у =  . Выделим из дроби   целую часть.

Имеем:   =   =   = 1 +  .

График функции у =  +1 можно получить из графика функции у =   с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у =  : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = - .Выделим из дроби   целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим   = 2 +  . Следовательно, у = - -2.

График функции у = - -2 можно получить из графика функции у = -  с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = -  (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у =   с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (- . Прямая х = -  называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у =   называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

Д: D(y) =

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) =  .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) =  , d . То есть у функции есть нули – точка А .

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = - . Значит, если а  , то точка пересечения с осью Х имеет координаты  . Если же а = 0, в  , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.

У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?

Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?

Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = - ; а горизонтальной асимптотой – прямая y =  .

(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)

II. Закрепление.

При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Agrapher

1. Постройте график функции: а) у =   (рис. 3а); б) у =   (рис. 3б).

2. Найдите область определения и область значений функции f, если: a) f(x) =   (рис. 3в), б) f(x) =   (рис. 3г).

3. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции: а) у =   (рис. 4а);  б) у = -  (рис. 4б); в) у =  .

III. Обучающая самостоятельная работа.

1. Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:

а) у =   б) у =   в) у =  ; г) у =  ; д) у =  ; е) у =  ;

ж) у =   з) у = -

Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь, задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.

Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у =  и у =  и особенностей графиков этих функций.

ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у =   и у =  , используя программу Agrapher;

2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.

I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.

Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.

Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.

1. Постройте график функции у = -  Используя график, найдите значение У, соответствующее значению Х. равному 1,5; 8; -1,5; -2,5.

2. Постройте график функции f(x) = 

Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.

3. Постройте график функции у =  Определите, принадлежит ли графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;- ); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?

4. Постройте график функции у =  Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.

5. Постройте график функции у =  . Найдите область определения и область значений функции.

6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = - . Выполните построение графика.

7. Постройте график функции у =  . Найдите нули функции.

II.Лабораторно-практическая работа.

Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты исследования функции”.

Примерное содержание карточки “Инструкции”:

1. Постройте график указанной функции.

2. Найдите область определения функции.

3. Найдите область значения функции.

4. Укажите асимптоты гиперболы.

5. Найдите нули функции (f(x) = 0).

6. Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у = 0).

7. Найдите промежутки в которых : а) у<0; б) y>0.

8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.

I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у =   б) у = -  в) у =   г) у =   д) у =   е) у =  . -5-

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = -  и у = х-7; б) у =   и у = х +2х+3.

I I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у =   б) у = -  в) у =   г) у =   д) у =   е) у =  .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у =   и у = х+2; б) у =   и у = х -2х+3.

I I I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у =   б) у = -  в) у =   г) у =   д) у = -  е) у =  .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = -  и у = -х-1; б) у = - -2 и у = -х -2х-3.

I V вариант.

1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у =   б) у = -  в) у =   г) у = -  д) у = -  е) у =  .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у =   и у = х+1; б) у = -  и у = - х -2х-5.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/547054-drobno-linejnaja-funkcija