Вершина параболы: ключ к построению графика квадратичной функции

Мехтиева Валерия Николаевна,

педагог дополнительного образования

МБОУ ДО ЦДО «Аэрокосмическая школа»

«Построение графика квадратичной функции»

математический проект

Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая определяет положение и внешний вид графика функции.

Математическийпроектнацелен на формирование умений у обучающихся 9 классов навыков построения графика квадратичной функции при применении заданного алгоритма.

Задачи:

1. тренировать универсальные учебные действия;

2. формировать мотивацию к учебной деятельности как одного из средств развития и социализации личности через математическое проектирование.

План занятия

1. Мотивация к учебной деятельности

2. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

3. Выявление причин затруднения

4. Создание проекта выхода из затруднения

5. Реализация проекта выхода из затруднения

6. Первичное закрепление

7. Самостоятельная проверка с самопроверкой по эталону

8. Рефлексия

Раздаточный материал:

1. задание для актуализации знаний;

2. пробное задание, задание для первичного закрепления;

3. задания для этапа включения в систему знаний;

4. задания для математического проектирования.

Ход занятия

Мотивация к учебной деятельности

-педагог предлагает вспомнить, какае навыки приобрели обучающиеся на предыдущем занятии (научились строить график квадратичной функции у = ах², у = а(x -m)² + n и по графику определять свойства функции).

Обучающимся предлагается записать на доске и в тетради полное уравнение квадратичной функции (y=ax²+ bx + c) и предположить какие действия при использовании графика им предстоит освоить на занятии.

Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

Обучающимся предлагается рассмотреть на интерактивной доске график функции у =   x².

К данному графику предлагается выполнить задания:

1. дать характеристику графику данной функции(графиком функции является парабола. Т.к. a = 0, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, т.е. в точке (0;0). Ось y является осью симметрии параболы).

2. назвать алгоритм построения данного графика(в таблицу занести координаты вершины параболы, аргументу дать из области определения функции несколько (2 -3) положительных значений и найти соответствующие значения функции, затем аргументу дать значения, противоположные положительным (или значения, симметричные положительным относительно оси у) и найти соответствующие значения функции и записать в таблицу, в координатной плоскости отметить точки и соединить их плавной линией).

2. определить какие свойства функции подходят к данному графику (можно определить нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее или наибольшее значение функции).

3. определить по графику нули функции (нулями функции будут абсциссы точек пересечения графика с осью х. В данном случае нуль функции равен 0).

4. определить по графику промежутки знакопостоянства(абсциссы, соответствующие положительным ординатам точек графика, будут определять числовой промежуток где f(х) 0, абсциссы, соответствующие отрицательным ординатам точек графика, будут определять числовой промежуток, где f(х) f(х) 0 на (- ∞; 0) и на (0; ∞). Отрицательных значений функция не имеет, т.к. график располагается только в верхней полуплоскости).

5. определить по графику наименьшее или наибольшее значение функции (наименьшим или наибольшим значением функции будет являться ордината вершины параболы. В данном случае функция имеет наименьшее значение, равное 0. Наибольшего значения функция не имеет).

6. построить график функции у = 2x² - 5x + 2, используя имеющиеся знания и умения и определить какую функцию задает уравнение (квадратичную).

Выявление причин затруднения

Вопросы для обсуждения

- Какое задание вы должны были выполнить?(используя ранее полученные знания и умения построить график квадратичной функции).

- Почему у вас возникли затруднения? (нет навыков построения графика квадратичной функции по общей формуле).

Создание проекта выхода из затруднения

Обучающимся предлагается:

-сформулировать цель занятия (научиться строить график квадратичной функции) и тему (построение графика квадратичной функции);

-ответить на вопрос: «В чем именно возникло затруднение?»(при построении графика у = ах², не получилось определить координаты вершины);

- изучить учебник на странице 41 и в тексте найти нужную формулу (формулу, используемую для нахождения абсциссы вершины, а значение ординаты можно определить через уравнение графика);

- определить дальнейшие действия и выполнить их на доске и в тетрадях (составить новый алгоритм построения графика квадратичной функции и построить график данного уравнения).

Реализация проекта выхода из затруднения

Обучающиеся строят график функции у =- x² + 2x + 8; перечисляют шаги, которые выполняют при построении графика:

1 обучающийся записывает уравнение графика;

2 обучающийся находит область определения функции: (-∞; ∞);

3 обучающийся дает характеристику графику: парабола, а = -1;

4 обучающийся находит координаты вершины параболы:

Хв=  =   = 1. Ув = -1² - 2 ∙ (-1) – 8 = 9

(1; 9) – координаты вершины параболы, отмечает точку с полученными координатами в координатной плоскости;

5 обучающийся проводит ось симметрии х = 1, проводя ее через вершину параболы и параллельно оси у;

6 обучающийся составляет таблицу,

отмечая точки в координатной плоскости и соединяя последовательно плавной линией.

Педагог проецирует на доску график, ребята проверяют правильность его построения.

Вопрос для обсуждения:

- что помогло при построении графика функции? (создание алгоритма построения графика квадратичной функции).

Первичное закрепление

Педагог предлагает обучающимся научиться использовать алгоритм для построения графика при построении графика

У = х² - 6х + 5

Один из обучающихся работает у доски, комментируя свои действия:

1. область определения : (-∞; ∞);

2. характеристика графика: парабола, а = 1 0, ветви параболы направлены вверх;

3.координаты вершины параболы: ( 3 ; -4 );

4. проведем ось симметрии х =3, которая проходит через вершину параболы и параллельно оси у;

5. заполним таблицу:

6.получаем график

Самостоятельная проверка с самопроверкой по эталону

Обучающимся предлагается выполнить самостоятельную работу, сопоставляя свои работы с подробным образцом. Образцы выполнения проецируются на доску

1 вариант:

Построить график функции у = х² - 4х.

2 вариант:

Построить график функции у = - х² + 2х.

Вопросы для обсуждения:

-у кого задание вызвало затруднение?

-на каком шаге алгоритма?

- в чем причина возникшего затруднения?

-у кого задание выполнено правильно?

Включение в систему знаний.

Обучающимся для закрепления знаний предлагается выполнить небольшой тест:

1. Определить какие из данных функций квадратные?

А)y=5x²+3-x

Б)y= 6x³-5x²

В)y= 5x²+2

Г)y=(x-3x)²

2. Определить ветви, которые направлены вверх

А) у= 3-2x-x²

Б) у= 2x²-x+5

В) у= -x²+x+8

Г) у= x-x²+5

3. Найти координаты вершины y=-x²+x+1

А) (-0,5;-1,75)

Б) (0,5;-1,75)

В) (-0,5; 1,75)

Г) (0,5; 0,75)

4. Найти координаты точек пересечения графика функции y=-x²+8x+6 с осью координат

А) (-6;6)

Б) (1; -6)

В) (0; 6)

Г) (6; 0)

5. Найти у=(-3) если у=2х²-х-15

А) 6

Б) 0

В) -6

Г) -30

Рефлексия

Обучающимся предлагается по очереди ответить на вопросы:

- что нового вы сегодня узнали на занятии?(как можно построить график квадратичной функции, заданной формулой y=ax²+ bx + c);

-что у вас получилось создать при математическом проектировании? (алгоритм построения графика квадратичной функции).

Используемые Интернет-ресурсы

https://ru.wikipedia.org/wiki/

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/551519-postroenie-grafika-kvadratichnoj-funkcii