Статья «Изучение арифметических действий в начальном курсе математики»

Изучение арифметических действий в начальном курсе математики

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. То есть арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения этого раздела программы – выработать у учащихся начальных классов умения решать арифметические действия и задачи.

Прежде чем приступить к изучению арифметических действий, важно отработать умение считать, поэтому на каждом уроке включаются упражнения в счете предметов – именно счет предметов – а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают предметы окружающей обстановки, предметные картинки, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др. Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» – это только один предмет. Дети, считая предметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами). Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов. На этой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения. Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов или удалением части данного множества предметов. Такие упражнения выполняются, начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобретает ознакомление с 37 действиями над числами. Программами предусматривается ознакомление с основными приемами вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован применительно к любому случаю сложения и вычитания. С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С этой целью можно предложить такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?». Упражнения на сравнение множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения элементов «один к одному». Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не только где больше, а где меньше предметов, но и на сколько предметов больше, на сколько меньше. При выполнении упражнений с опорой на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем треугольников (показывает лишний квадрат), то треугольников на 1 меньше, чем квадратов.

При изучении тема «Сложение» необходимо: сформировать прочные вычислительные навыки, добиться запоминания результатов сложения, состава чисел из слагаемых.

Первый вычислительный прием, который осваивают первоклассники вида, а+1. Основой этого приема является принцип образование чисел в натуральном ряду: каждое следующее число больше предыдущего на единицу. Усвоение данного приема является центральной задачей при изучении данной темы.

Результатом этого принципа является способ нахождения значений выражений вида 8+1; 5+1; и так далее, путем называния либо следующего, либо предыдущего числа. Таким образом, для нахождения значения данных выражений нет необходимости выполнять какой-то прием арифметических действий, достаточно понимать, что добавление 1 ведет к получению следующего по счету числа.

Число предыдущее стоит в ряду чисел левее данного. При счете называется перед данным, количественно оно содержит на одну единицу меньше данного.

Число последующее (следующее) стоит в ряду чисел правее данного. При счете называется естественно после данного, количественно оно содержит на одну единицу больше данного.

Хорошее понимание принципа построения натурального ряда чисел ведет к легкому постижению приемов присчитывания и отсчитывания по 1 и легкому выполнению вычислительной деятельности в случаях:

25+1, 37+1,594+1,7891+1

Иными словами, общий прием вычисления это:

-прибавляя к числу 1, получаем следующее по счету.

В «Методике преподавания математики в начальных классах» (авт. М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова) отмечается, что «на специально отведенном уроке... под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1», затем учат их наизусть». При хорошем освоении принципа образования чисел в натуральном ряду нет нужды организовывать специальное заучивание результатов этой таблицы, потому что умение ребенка называть ее результаты связано с хорошим знанием прямой и обратной последовательности чисел в пределах 10.

Использование линейки в качестве наглядной опоры для запоминания последовательности чисел, а также для овладения способа нахождения числа последующего и предыдущего создает хорошие условия для усвоения образа во внутреннем плане, формирования наглядно представимой мысленной модели ряда натуральных чисел, способа нахождения результатов присчитывания и отсчитывания для детей с ведущим наглядно-образным мышлением.[1] Прибавление по частям.

Следующую группу вычислительных приемов в пределах первого десятка составляют случаи вида: a + 2, a + 3, a+4 результаты которых могут

быть найдены с помощью последовательного присчитывания или отсчитывания:

4 + 3 = 4 + 1 + 1 + 1 или с помощью прибавления и вычитания по частям: 3 + 3 = 2 + 1 +1+ 2

Подготовительным приемом к обучению ребенка этим случаям вычислений является прием вида: а+1 +1, в основе которого лежит последовательное присчитывание по 1.

Знакомство с этим приемом является очень важным. Во-первых, осваивая данный вычислительный прием, обучающийся, впервые встречается с выражением, содержащим более одного знака действий. Во-вторых, при выполнении вычислений впервые в неявном виде, то есть без сообщения ребенку самого правила используется правило порядка выполнения действий одной ступени без скобок.

При выполнении действий одной ступени без скобок, действия выполняются по порядку слева направо.

В-третьих, при выполнении данного вида вычислений не нужны специальные вычислительные действия какого-то нового вида, а требуется лишь последовательное применение принципа образования чисел в натуральном ряду.

Например:

Вычислите 5 + 1 + 1.

(Прибавляя к 5 единицу, получаем число следующее — это 6; прибавляя к 6 единицу, получаем следующее число — это 7. Значит, 5+1+1=7).

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку — прибавляя единицу дважды, учащийся делает вправо от числа 5 два «шага», получая ответ наглядно (вначале эти «шаги» полезно прослеживать пальцем).

При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или загибает) последовательно два пальца, присчитывая их к 5 пальцам, или, в крайнем случае, сосчитывая заново все количество отогнутых (загнутых) пальцев.

Вычислительный прием а+2 является случаем, объединяющим последовательное присчитывание (отсчитывание) двух единиц к числу, производимое в предыдущем случае.

При прибавлении к любому числу двух, ребенок заменяет его на сумму двух единиц и последовательно присчитывает их от числа.

Например: 4+ 3 = 4+1+1+1

Методически ставится цель довести умение ребенка прибавлять и отнимать 2 до состояния навыка, т. е. до запоминания результатов прибавления и вычитания двух в пределах 10 наизусть:

1+2=3,2+2=4, 3+2=5, 4+2=6,5+2=7, 6+2=8, 7+2=9 ,8+2=10.

Таблица сложения двух содержит самое большое количество случаев, так как она изучается первой, многие дети испытывают большие трудности, пытаясь заучить этот объем.

Если ребенок хорошо владеет приемами присчитывания, он всегда может вычислить забытый случай из таблицы, используя вычислительные навыки.

Если при изучении чисел в пределах 10, дети выучили наизусть состав однозначных чисел и легко его воспроизводят, то проще всего для запоминания таблицы сложения и вычитания связать соответствующие случаи с составом однозначных чисел:

5это 3 + 2, значит 3 + 2 = 5, а 5-3 =2

9, 9 = 7 + 2 тогда 7+2=9, а 9-2=7

При опоре на состав числа имеет смысл сразу ориентировать ребенка на составление и запоминание тройки взаимосвязанных равенств:

6 это: 4+2=6,6-2=4,6-4=2

Умение прибавлять и вычитать 2 является опорным умением для формирования дальнейшей вычислительной деятельности.

Вычислительные приемы а+3, и а+4 могут выполняться последовательным присчитыванием или отсчитыванием по 1:

7+3=7+1+1+1,

3+4=3+1+1+1+1.

После освоения приема вычислений по частям, составляют таблицы для случаев а+3, а-3:

1+3=4,2+3=5,3+3=6

4+3=7,5+3=8,6+3=9,7+3=10, а также а+4,а-4:

1+4=5,2+4=6,3+4=7

4+4=8,5+4=9,6 +4=10

Первая таблица содержит 14 случаев, вторая таблица содержит 12 случаев. В сумме с 16 случаями таблицы прибавления двух получается 42 случая. Очень многие дети на этапе изучения табличного сложения и вычитания в пределах 10 испытывают массу трудностей, в связи с необходимостью в достаточно короткие сроки заучить наизусть большой объем формализованного материала. При этом единственным мотивом изучения этого объема наизусть для школьников выступает требование учителя. Все задания на решение примеров в этот период (а также на решение задач, на сравнение выражений и т. п.) требуют воспроизведения наизусть табличных случаев сложения и вычитания вразбивку. Поэтому, если ребенок учил таблицу наизусть подряд, то, даже легко отвечая ее результаты подряд, он может ошибаться при воспроизведении таблицы вразбивку, и тем более при необходимости воспроизводить вразбивку случаи из разных таблиц.

В связи с этим при запоминании таблиц для случаев вида а+3, а-3 и а +4, а-4 многие учебники математики для 1 класса ориентируют ребенка на использование состава числа как основы для запоминания таблиц сложения и вычитания. При ориентации на состав числа удобнее делать акцент на составление и запоминание взаимосвязанных троек: 5+2=7,7-2=5,7-5=2.

Для ускорения вычислений в домашних условиях (при выполнении домашней работы) часто используют треугольную таблицу, помогающую найти результат суммирования любых пар чисел в пределах 10. Такая таблица может быть повешена над классной доской посредине, так чтобы каждый ученик смог посмотреть на нее, если возникли затруднения. Постоянное обращение к ней при выполнении домашних заданий более полезно, чем использование калькулятора, потому что зрительный образ соответствующих случаев постепенно запоминается ребенком, пополняя тем самым количество запомненных наизусть случаев табличного сложения и вычитания.

Для быстрого запоминания таблицы, можно использовать правило перестановки слагаемых. С данным правилом дети знакомят в 1 классе, при знакомстве с вычислительными приемами вида: а+5, а+6, а+7, а+8, а+9.

Пользуясь данным правилом, данная таблица включает все случаи сложения в пределах 10. Таблица содержит 15 случаев, и, конечно, заучивание для учащихся становится намного легче, чем при полном ее заучивании.

Так же не следует забывать об основном свойстве нуля, которое гласит, что прибавление и вычитание нуля результата не меняет.

Иными словами, его можно записать так: а+0=а, а-0=а; 0+а=а, 0-а=а

Критерии для определения уровней сформированности вычислительных навыков в концентре «Десяток».

Низкий уровень - учащийся может читать и записывать однозначные числа; допускает ошибки в сравнении чисел; путает смысл действий сложения и вычитания, знаки; не знает терминологию, связанную со сложением и вычитанием; самостоятельно не может выполнить действия сложения и вычитания, только с помощью наглядных пособий.

Средний уровень - учащийся может читать, записывать и сравнивать однозначные числа; понимает смысл действий сложения и вычитания; путает терминологию, связанную с действиями сложения и вычитания, самостоятельно выполняет действие сложения; затрудняется в выполнении действия вычитания, пользуется числовой прямой; затрудняется в применении на практике переместительного свойства сложения и взаимообратности действий сложения и вычитания.

Высокий уровень - учащийся может читать, записывать и сравнивать однозначные числа, используя знаки и термины; выполнять действия сложения и вычитания на основе знаний основного свойства натурального ряда чисел, на основе знаний о составе чисел, с помощью ряда чисел; сложение на основе переместительного свойства сложения; вычитание на основе знаний о соответствующих случаях сложения.

Разрядные случаи сложения и вычитания

Разрядными случаями сложения и вычитания во втором десятке считаются случаи вида:

17 + 2,2+15,19+2,16-2

При нахождении значения данных выражений ссылаются на разрядный (десятичный) состав чисел второго десятка. Например:

15это есть сумма 10 и 5 значит,

15 -10=5, 10+5=15,

15 + 2=17, 5+10=15.

Комплексные примеры на применение знания разрядного состава и вычислительных приемов первого десятка: Приложение 2 Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. 2+8=8+2=10 по свойству перестановки слагаемых. 10+3=13

Переход через десяток

Наиболее сложным для большинства детей является прием сложения и вычитания с переходом через десяток. Это случаи вида: 8+5,15-7. Приложение 3

Алгоритм приема (правило вычислений) содержит три последовательно выполняемых вычислительных действия:

1. второе слагаемое раскладывается на составные части таким образом, чтобы одна из частей в сумме с первым слагаемым составила число 10;

2. первое слагаемое складывается с частью второго слагаемого, образуя промежуточное число 10;

3. к промежуточному числу 10 прибавляется оставшаяся часть первого слагаемого (во всех случаях здесь имеет место разрядное суммирование) для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен:

1. запомнить последовательность действий;

2. уметь быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (знать состав однозначных чисел);

3. уметь дополнять любое однозначное число до 10 (знать состав числа

10);

1. уметь выполнять разрядное сложение в пределах второго десятка.

Многие школьники испытывают большие трудности при освоении этого сложносоставленного приема вычислений. В качестве внешней опоры можно использовать линейку. Ориентируясь по линейке, ребенок отмечает первое слагаемое, а затем делает вправо от него нужное количество «шагов» (в соответствии со значением второго слагаемого). Результат последнего «шага» совпадает со значением суммы. Сходно, можно использовать счеты.

Некоторые дети с успехом продолжают использовать «пальцевый» счет. В этом случае они присчитывают к первому слагаемому единицы, пока хватает пальцев (до 10), а затем, мысленно запоминая полученный десяток, продолжают присчитывать оставшуюся часть второго слагаемого уже к десятку: 7 да еще три пальца- 8,9,10. Переход на другую руку - еще четыре пальца- 11,12,13,14. Фактически этот способ счета моделирует присчитывание по одному, как и использование линейки. При прибавлении чисел больше 5 этот способ несколько тормозит работу ребенка, но по крайней мере дает ему возможность самостоятельно получить результат действия.

В настоящее время на первый план в педагогике начального обучения выходят требования организации личностно-ориентированного обучения, это означает, что в обучающем процессе необходимо учитывать своеобразие и индивидуальность способа мышления и ведущего способа познания каждого ребенка. Дети с превалирующей функцией аналитического мышления легко осваивают этот прием, требующий пошагового выполнения трехступенчатого действия в уме. Дети с превалирующей функцией синтетического мышления осваивают прием с большими трудностями. В некоторых альтернативных учебниках математики для начальных классов предлагается знакомить учащихся с этим приемом значительно позже после того, как они освоят всю нумерацию в пределах 100 и научатся выполнять все виды вычислений без перехода через десяток, в том числе и вида 74 + 13.

Методически ставится задача довести умение ребенка выполнять вычисления во втором десятке до автоматизма. Это значит, что учитель, ставит задачу выучить результаты всех случаев сложения и вычитания в пределах второго десятка наизусть. С этой целью в учебнике на каждом уроке этой темы (начало второго класса) дается по три случая для заучивания наизусть.

Например: 9+3= 12, 8+5=13,6+5=11.

Всего случаев, требующих запоминания 20. Во всех этих случаях второе слагаемое меньше, чем первое (в случае, когда второе слагаемое больше первого, можно применить перестановку слагаемых).

9+2=11, 9+3=12, 8+3=11, 6+5=11, 7+4=11, 8+4=12, 9+4=13, 6+6=12.

9+5=14, 8+5=13, 7+5=12,

9+6=15, 8+6=14, 7+6=13,

9+7=16, 8+7=15, 7+7=14,

8+8=16, 8+9=17, 9+9=18,

В качестве приема, помогающего некоторым детям быстрее запомнить результаты этих вычислений, можно использовать прием опоры на сумму одинаковых слагаемых, так как сумма одинаковых слагаемых запоминается детьми существенно легче, чем сумма разных слагаемых.

Например, легко запоминается сумма 6+6=12. Рассматривая любую сумму, в которой одно из слагаемых- число 6 и зная свойство суммы:

При увеличении любого слагаемого на несколько единиц сумма увеличивается на столько же единиц.

Можно получить значение соответствующего выражения: 8+6=8+2+4=10+4=14.

Дети легко запоминают суммы: 5+5=10,6+6=12,7+7=14, 8+8=16, 9+9=18.

Используя их как «базовые», ребенок может получить нужный результат, присчитывая соответствующее количество единиц к сумме или отсчитывая: 7+8=7+3+5=10+5=15.

Исходя из выше сказанного, можно сделать следующий вывод.

Формирование вычислительных умений и навыков - основная задача курса начальной математики. Вычислительно умение — это осуществление действия, в котором каждая из выполняемых операций контролируется, а также еще и осознается. Прежде чем перейти к изучению темы «Сложение и вычитание», учителю необходимо убедиться, что ребенок умеет моделировать на предметах разные ситуации, понимать и представлять их со слов учителя, уметь показывать руками и процесс, и результат. Так как, действие сложение — это объединение конечных непересекающихся множеств.

Вычислительный прием для чисел первого десятка, может осуществляться через:

1.Присчитывание и отсчитывании.

2.Прибавление и вычитание по частям.

3.Перестановка слагаемых.

4.Сложение и вычитание с нулем.

5.Вычислительный прием для чисел второго десятка.

При выполнении операции сложения или вычитания ссылаются на разрядный состав чисел второго десятка. Существует так же алгоритм, описанный выше, с ним необходимо познакомить учащихся. Для лучшего восприятие лучше его перефразировать и на примерах его объяснить.

Многие дети могут испытывать затруднения. В качестве внешней опоры ребята могут использовать линейку или «пальцевый» счет.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/552122-statja-izuchenie-arifmeticheskih-dejstvij-v-n