Разложение квадратного трехчлена на множители

I. Организационный момент

II.Повторение – мать учения!

III. Твори, выдумывай, пробуй!

IV. Физминутка

V. Применяй!

VI. Проверь себя!

VII.Подведем черту!

Ход занятия

Организационный момент

Обучающимся предлагается пояснить слова известного швейцарского математика Д. Пойа «Наиболее глубокий след оставляет то, что тебе удалось открыть самому».

Повторение – мать учения!

Обучающимся предлагается вспомнить изученный ранее материал:

- дать определение квадратного трехчлена (квадратным трехчленом называется многочлен вида ах² +bx+c, где х переменная, a,b,c- некоторые числа, причем а¹ 0);

- назвать корень квадратного трехчлена(корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю);

- найти корни квадратного трехчлена (чтобы найти корни квадратного трехчлена ах² +bx+c, надо решить квадратное уравнение вида ах² +bx+c =0);

- определить от чего зависит количество корней (от значения дискриминанта квадратного уравнения, если D> 0 - два корня, если D = 0 – один корень, если D<0 – корней нет).

-решить задание:

Ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х² -5х +7)² - 2(х² -5х +7) – 3. Подумав, Коля рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. Но Петя сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Коле найти рациональный способ решения. Показать какой способ нашли вы. (1 ученик решает на доске). Обозначить х² -5х +7 = у, получив у² – 2у - 3 = 0, Д₁= 4, у_1,2= -1; 3. Веруться к переменной х, получив х² -5х + 7 = -1 и х² -5х +7 = 3. Первое уравнение не имеет корней, второе уравнение имеет два корня х_1,2= 1; 4.

-проверить устно, найти корни квадратного трехчлена, сверить ответы:

Дополнительные вопросы:

-найти другое решение (вычисляли Д₁под б,в,г).

- пояснить как нашли корни первого трехчлена (по теореме Виета, по свойству коэффициентов);

- решить номер из открытого банка заданий ОГЭ -9:

сократить дробь

(Ответ: х – 3)

-назвать способы разложения многочленов на множители (вынесение общего множителя за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способ группировки).

-выполнить самостоятельную работу в парах разложив на множители:

а) х² – 5х;

б) х² -3;

в) х² – 16;

г) х² – 8 х +16;

д) 2аb -2b² – а +b;

е) х² – 7х +10.

Вопросы для обсуждения: все ли многочлены смогли разложить на множители и каким способом разложили на множители квадратные трехчлены?

-выполнить работу у доски по карточке, сократив дробь:

а) ;

б) ;

в)

Ответы: а); б) 2 (х-3) = 2х - 6;

Вопросы для обсуждения: все ли дроби получилось сократить, почему именно разложение этого квадратного трехчлена вызвало у вас затруднение? (нет общего множителя, нет формулы сокращенного умножения, нельзя сгруппировать.).

Твори, выдумывай, пробуй!

Постановка задачи исследования

Педагог предлагает заслушать слова известного швейцарского математика Пойа: «Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».

Обучающимся предлагается сократить дробь и определить, как выполнить данное задание, наядя новый способ, не изученный ранее.

Педагог предлагает сформулировать тему и цель занятия исходя из возникшей проблемы и записать их в тетради

Сбор информации и создание базы полученных результатов.

Обучающимся предлагается вернуться к ранее выполненным заданиям и провести небольшое исследование, касающееся квадратных трехчленов, записав результаты в таблицу. План исследования:

- записать 1 столбик квадратные трехчлены, которые можно разложить на множители;

-записать во 2 столбик множители, на которые можно разложить квадратные трехчлены;

-установить связь чисел, полученных в разложении с квадратными трехчленами, и записать числа в 3 столбик; –записать в 4 столбик значение дискриминанта и сравнить его с нулем.

Физминутка

Выполнить движения в соответствии с текстом стихотворения

Мы дружно трудились,

Немного устали.

Быстро, все сразу

За партами встали.

Руки поднимем,

Потом разведем

И очень глубоко

Всей грудью вдохнем

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

И продолжим наш урок.

Итоги исследовательской деятельности

-записать выводы в тетрадь (если х_1, х₂корни квадратного трехчлена ах² + bx + c, то ах² + bx + c = а (х – х₁)(х – х₂);

-проверить гипотезу (доказательство теоремы);

-сформулировать выводы (доказанная теорема позволяет, найдя корни квадратного трехчлена, записать его в виде произведения первого коэффициента, разности переменной и одного корня и разности переменной и другого корня, но если квадратный трехчлен не имеет корней, то его разложить на множители нельзя);

-продемонстрировать применение результатов исследования, сократив дробь: _.

_{6х2 – х - 2 = 0, Д = 4, х1 = - 1/2, х2 = 2/3. получив.}

_{-обсудить в группах почему нет общего множителя}

-сделать вывод (иногда удобно старший коэффициент вносить множителем в одну из скобок, в которой находится дробный корень или старший коэффициент раскладывать на два множителя и вносить один в одну скобку, второй в другую скобку).

Применяй!

Обучающимся предлагается:

- разложить квадратный трехчлен на множители, применяя теорему о разложении на множители, выполнив задание:

-2х² +5х + 18 = -2 (х -9/2)(х +2) = (9 - 2х) (х + 2).

-разложить квадратный трехчлен по этому алгоритму, работая в паре (обучающийся, сидящий на 1 варианте, раскладывает 1 трехчлен с карточки, проговаривая шепотом алгоритм решения, а сосед контролирует его работу, затем они меняются ролями, решение оформляется в тетради)

-разложить на множители по вариантам:

1 вариант. 2х² -3х -5 = (2х -5)(х +1).

2 вариант. 5у² – 2у - 3 = (5у +3) (у – 1)

-найти корни уравнения по свойству коэффициентов:

1) если а + b +с = 0, то х₁ = 1; х₂ = с/а

2) если а + с = b, то х₁ = -1; х₂ = - с/а

Проверьте себя!

Обучающимся предлагается пройти тестирование по изученной теме

Вариант 1.

1.Определить какой квадратный трехчлен нельзя разложить на множители?

1. x²– 8x+ 7;

2.x²– 8x+16;

3.x²– 8x+ 9;

4.x²– 8x+17.

2. Подставить вместо многоточия многочлен, чтобы было равенство:

2x²– 9x – 5 = 2(x – 5)(…)?

1. х +2; 2. х +0,5; 3. х -1/2; 4. х-2.

3.Сократить дробь:

1.x – 3;

2. x + 3;

3.x – 4;

4. другой ответ.

Вариант 2.

1. Определить какой квадратный нельзя разложить на множители?

1. 1. 5x²+x+ 1;

   2. ⅓x²–8x+ 2;

   3. 0,1x²+3x - 5;

   4. x²+4x+ 5

2. Подставить вместо многоточия многочлен, чтобы было равенство:

2x²+ 5x – 3 = 2(x + 3)(…)?

Ответ:_________ .

3. Сократить дробь:

1. 1. 3x²– 6x – 15;

   2. 0,25(3x - 1);

   3. 0,25(x - 1);

   4. другой ответ.