Подготовка к экзамену по математике в СПО

Автономное учреждение

профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа-Югры

Сургутский политехнический колледж

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ:

«Подготовка к итоговой аттестации по математике»

для студентов первого курса очной формы обучения

обучающихся по программе подготовки квалифицированных рабочих (служащих)

(на базе основного общего образования)

Сургут, 2022

Математика. Методическое пособие пробных экзаменационных работ

© Сургутский политехнический колледж, -2022 год.

Составители:

С.А. Гладышева, преподаватель математики

И.А. Пелых, преподаватель математики

Данное пособие включает 10 пробных экзаменационных вариантов по дисциплине «Математика» и рекомендовано для подготовки студентов первого курса к итоговой аттестации. Задания составлены в соответствии с Государственным стандартом.

Учебное пособие предназначен для студентов колледжа первого курса базового уровня.

Одобрено на заседании методического объединения «Математика, информатика, физика».

Протокол № 1 от 10.09.2020 г.

Рекомендовано к печати Методическим советом «Сургутский политехнический колледж».

Протокол № 3 от 10.11.2020 г.

Пояснительная записка.

Данный сборник предназначен для подготовки к итоговой аттестации по дисциплине «Математика» студентов первого курса групп среднего и начального профессионального образования.

Данное методическое пособие может быть использовано преподавателями для подготовки учащихся к экзамену по математике, а также студентами — для самоподготовки и самоконтроля. Сборник состоит из 10 вариантов работ, включающих следующие разделы дисциплины:

• Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

• Геометрические тела и поверхности. Объемы и площади поверхностей геометрических тел;

• Показательная, логарифмическая, степенная функции;

• Основы тригонометрии;

• Производная и ее приложение;

• Интеграл и его приложения;

• Практические задачи.

Экзаменационная работа состоит из одиннадцати заданий. Эти задания разбиваются на 2 части.Первая часть работы направлена на то, что бы проверить обязательный уровень подготовки студентов, и включает в себя семь заданий по алгебре и началам математического анализа и одно геометрическое задание, которые в совокупности позволяют охватить проверкой значительный объём учебного материала. Для решения заданий первой части достаточно уметь использовать основные определения, владеть минимальным набором формул и алгоритмов. Задания по геометрии требуют, помимо знания формул и умения ими пользоваться, определенного уровня стереометрических представлений, умения работать с изображениями пространственных конфигураций. В то же время уровень доказательности при выполнении заданий предполагается минимальным.

Вторая часть работы содержит три более сложных задания и нацелена на проверку усвоения материала курса на более высоком уровне. Данная часть состоит из одного геометрического задания и двух заданий по алгебре и началам анализа. Содержание заданий по геометрии соответствует целям изучения геометрии в курсе «Математика», и для их решения достаточно изучавшегося в курсе геометрического материала. От студентов, однако, не требуется владения навыками сложных вычислений и преобразований, специальными приемами решения уравнений и неравенств, хотя часть заданий предполагает наличие определенных знаний и умений, приобретенных не только на первом курсе, но и в основной школе (подстановка, формулы сокращенного умножения, уравнение прямой и т. п.).

Для получения отметки «3» (удовлетворительно) студент должен набрать 12-15 баллов. Отметка «4» (хорошо) выставляется при 17-21 баллах. Отметка «5» (отлично) ставится за 22-24 балла. Каждый правильно выполненный пример (задание) оценивается 1 баллом.

Вариант №1

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) ; 4) .

1. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) 4)

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3)

1. ( 4 балла) Дана правильная четырехугольная пирамида

   1. 1. 1. Назовите основание пирамиды;

         2. Назовите апофему;

         3. Назовите высоту пирамиды;

         4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ = 5см., SЕ = 10 см.

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

1)

1. (1 балл) В магазине канцтоваров проходит распродажа. Ирина купила блокнот за 170 рублей с учетом скидки, до распродажи он стоил 270 рублей. Определите процент скидки.

Часть 2

1. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60⁰. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2. Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Решите уравнение:

4. Найдите первообразную функции , график которой проходит через начало координат

Образец разбора решения варианта №1

Часть 1

1. 1. (4 балла) Решение:

1) ;

2)

3) ;

4) .

1. (4 балла) Решение уравнений:

1) ;

2) ;

3)

4)

1. (3 балла) Решение неравенств:

;

2) ;

3)

1. ( 4 балла) Дана правильная четырехугольная пирамида

   1. 1. 1. Основание пирамиды:

         2. Апофема:

         3. Высота пирамиды:

         4. Площадь боковой поверхности пирамиды: АВ = 5см., SЕ = 10 см.

1. (2 балла) Решение по нахождению производной функции:

1. (2 балла) Решение по нахождению первообразных функции:

1. (1 балл) В магазине канцтоваров проходит распродажа. Ирина купила блокнот за 170 рублей с учетом скидки, до распродажи он стоил 270 рублей. Определите процент скидки.

Решение:

Часть 2

1. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60⁰. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Д ано: правильная пирамида FABCD

ABCD - квадрат

FM -апофема

FO – высота пирамиды, 6 см

∟FMO = 60⁰

Найти:

Решение:

1. ,

2. Рассмотрим ∆ FOM. Прямоугольный, так как FO – высота пирамиды, ∟FOM = 90⁰ .

По условию угол между апофемой FM и основанием пирамидыравен 60⁰ (∟FMO = 60⁰) =>

=> => =>

=> => =>

1. По условию ABCD – квадрат, точки О и М середины отрезков АС и CD , ОМ - средняя линия => АD = 2∙ОМ , АD =

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответ:

1. Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Д ано: прямой круговой конус FABCD

ОC – радиус, 20 см

АО – высота, ось конуса

АС – образующая

FO – расстояние от центра конуса до образующей, 12 см

∟FMO = 60⁰

Найти:

Решение:

1. 

2. Рассмотрим ∆ OFC – прямоугольный, так как OF – расстояние от центра конуса до образующей, ∟OFC = 90⁰ .

Используя определение синуса угла=>

=>

1. Рассмотрим ∆ АOC – прямоугольный, так как АО – высота, ось конуса, ∟АOC = 90⁰ .

Используя основное тригонометрическое тождество найдем косинус угла С:

Используя определение косинуса угла=>

=> => =>

1. По условию ABCD – квадрат, точки О и М середины отрезков АС и CD , ОМ - средняя линия => АD = 2∙ОМ , АD =

2. 

Ответ:

1. Решите уравнение:

Решение:

Используем формулу двойного аргумента:

Используя основное тригонометрическое тождество, выразим косинус через синус:

Выполним замену. Пусть , тогда

Вернемся к замене:

нет решения, так как 3 [-1;1]

и

Ответ:

1. Найдите первообразную функции ,график которой проходит через начало координат

Решение:

Найдем общий вид первообразной:

Найдем константу с.Так как график первообразной проходит через начало координат (0;0), то составим уравнение:

с = 0

Составим первообразную:

Вариант №2

Часть 1

1. (4 балла)Вычислите:

1) ; 2) 3) ; 4) .

1. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) ;

1. (4 балла) Дан прямой круговой конус

   1. 1. 1. Назовите осевое сечение конуса;

         2. Назовите образующую;

         3. Назовите высоту конуса;

         4. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если диаметр равен 12 см., образующая 10 см.

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

1)

1. (1 балл)По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 рублей. Если на счету осталось меньше 16 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

Часть 2

1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.

3. Решите систему уравнений

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции

Вариант №3

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) ; 4) .

1. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) ;

1. (4 балла) Дан прямой круговой конус

   1. 1. 1. Назовите высоту конуса;

         2. Назовите образующую;

         3. Назовите радиус конуса;

         4. Найдите объём конуса, если радиус равен

4 см., высота 6 см.

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

2. 

3. (1 балл) На одну порцию рисовой каши требуется 40 грамм риса и 0,12 литра молока. Какое наибольшее количество порций каши может приготовить столовая, если в ее распоряжении есть 900 грамм риса и 3 литра молока?

Часть 2

1. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые ребра пирамиды.

2. Высота конуса равна 20 см, расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите объем конуса.

3. Решите уравнение

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

и осью абсцисс.

Вариант № 4

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) ;3) ; 4) .

1. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) ;

1. (4 балла) Дан прямой круговой цилиндр

1. 1. 1. 1. Назовите ось цилиндра;

         2. Назовите образующие;

         3. Назовите радиус цилиндра;

         4. Найдите объём цилиндра, если радиус равен

2 см., высота 5 см.

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

1. (1 балл)Стоимость проезда в маршрутном такси составляет 20 руб. Какое наибольшее число поездок можно будет совершить в этом маршрутном такси на 150 руб., если цена проезда снизится на 10%?

Часть 2

1. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 10 см. Сторона основания удалена от двух параллельных ей сторон противолежащей боковой грани соответственно на 5 см и 13 см. Найдите объем призмы

2. Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образую­щей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось ци­линдра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее ос­нование цилиндра, на расстоянии 18 см от центра ниж­него основания. Найдите радиус основания цилиндра.

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [1;е].

3. Решите неравенство

.

Вариант № 5

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) ; 4) .

1. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) ;

1. (4 балла) Дан прямой круговой цилиндр

1. 1. 1. 1. Назовите осевое сечение цилиндра;

         2. Назовите образующие;

         3. Назовите диаметр цилиндра;

         4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если диаметр равен 2 см., высота 4 см.

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

1. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно получить, потратив не более 200 рублей в воскресенье?

Часть 2

1. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а диагонали боковых граней см и см. Найдите объем параллелепипеда.

2. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.

3. Решите уравнение:

4. Исследуйте функцию и постройте ее график: y = -

Вариант № 6

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) ; 4) .

1. (3 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3)

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) (3x+1) .

1. (4 балла) Дан куб АВСD

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

1. f(x)= 4- ; 2) f(x)=-

7.(1 балл)Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Часть 2

8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30 с плоскостью боковой грани и угол в 45 с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

9. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 8 см, а противолежащий угол равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.

10. Решите уравнение:

11. Вычислите интеграл: dx

Вариант №7

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) 4) .

2. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) 4) ( =

1. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) (3x+1)

1. (4 балла) Дана правильная шестиугольная призма

1. (2 балла) Найдите производную функции:

1)

6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:

1. f(x)= 3-; 2) f(x)=

7. (1 балл) Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Часть 2

8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см., угол между этой диагональю и образующей равен 60 . Вычислите объём цилиндра.

9. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 14см, высота призмы равна   см. Вычисли объём и площадь поверхности призмы.

10. Решите уравнение: x-5

11. Найдите наименьшее значение функции у =   на отрезке 

Вариант № 8

Часть 1

1.(4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) 4) .

2. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) 4) ( =

3. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) (4x-1)

4. (4 балла) Дана правильная треугольная призма

5.(2 балла) Найдите производную функции:

1)

6.(2 балла) Найдите все первообразные функции:

1)f(x)= 5-; 2) f(x)=

7. (1 балл) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Часть 2

8. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 2см и 8  см. Большее диагональное сечение призмы равно 24. Вычисли объём призмы. (24

9. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 22 см, а противолежащий угол равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.

10. Решите уравнение: −8⋅+12⋅=0.

11. Исследуйте функцию и постройте ее график: y = -

Вариант № 9

Часть 1

1. (4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3) 4) .

2. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) 4) ( =

3.(3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) (3-2x)

4.(4 балла) Дан параллелепипед АВСD

5.(2 балла) Найдите производную функции:

6.(2 балла) Найдите все первообразные функции:

1. f(x)= 7+; 2) f(x)=

7. (1 балл) Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Часть 2

8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а боковое ребро — 16 см. Найдите площадь боко­вой поверхности пирамиды.

9. Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 8см. Найдите объем этого цилиндра.

10. Решите уравнение:

11. Исследуйте функцию и постройте ее график: y = -

Вариант № 10

Часть 1

1.(4 балла) Вычислите:

1) ; 2) 3)+ ; 4) .

2. (4 балла) Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) 4) ( =64

3. (3 балла) Решите неравенство:

; 2) ; 3) (2x-1)

4. (4 балла) Дана правильная четырехугольная пирамида:

5.(2 балла) Найдите производную функции:

1)

6.(2 балла) Найдите все первообразные функции:

1)f(x)= 7+; 2) f(x)=

7. (1 балл) Среди 40000 жителей города 60% не интересуются футболом и никогда не смотрят футбольные матчи по телевизору. Среди жителей, интересующихся футболом, 80% смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

Часть 2

1. Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.

10. Решите уравнение: -

11. Решите систему уравнений:

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для общеобразоват. учреждений : базовый и углубленный уровень / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М. В. Ткачева [и др.]. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 463 с.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для общеобразоват. учреждений : базовый и углубленный уровень. - М.: Просвещение

3. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для общеобразоват. учреждений : базовый и углубленный уровень / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М. В. Ткачева [и др.]. – М.: Просвещение, 2014. – 463 [1] с.

4. Математика в школе : научно-теоретический и методический журнал. – Москва : ООО «Школьная пресса». – 2015-2019.

5. Бутузов, В. Ф. Геометрия. Рабочая тетрадь 11 класс : учебное пособие для общеобразоват. Организаций : базовый и углубленный уровни /В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина. – 11-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 75 с. : ил.

2. Геометрия : 10-11 кл.: учебник для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / Л. С.Атанасян [и др.]. – 4-е изд. – Москва: Просвещение, 2017. – 256 с.

3. Геометрия : 10-11 кл.: учебник для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / Л. С.Атанасян [и др.]. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 255 [1] с.

4. Глазков, Ю.А. Геометрия. Рабочая тетрадь. 10 класс : учебное пособие для общеобразоват. Организаций : базовый и углубленный уровни / Ю. А. Глазков, И. И. Юдина, В. Ф. Бутузов. – 11-е изд.. – Москва : Просвещение, 2017 . – 95 с. : ил.

5. Зив, Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы.10 класс : учебное пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубленный. – 16-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 157 с. : ил.

6. Зив, Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы.11 класс : учебное пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубленный. – 15-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 127 с. : ил.

7. Математика в школе : научно-теоретический и методический журнал. – Москва : ООО «Школьная пресса». – 2015-2019.

Интернет - ресурсы

1. http://reshuege.ru/ Все задачи открытого банка заданий ЕГЭ по математике 2013 года с образцами решений.

2. http://mathege.ruОткрытый банк заданий ЕГЭ по математике

3. http://www.fipi.ru/Федеральный институт педагогических измерений

4. http://ege.edu.ru/Официальный информационный портал ЕГЭ

5. http://www.mathvaz.ru«Досье школьного учителя математики»

6. https://infourok.ru/go.html?href=http%3A%2F%2Fcollege.ru%2Fmatematika%2FОткрытый колледж: Математика

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/560096-podgotovka-k-jekzamenu-po-matematike-v-spo