Решение планиметрических задач

Содержательный компонент методики обучения решению планиметрических задач

Каждый школьник должен научиться решать задачи самостоятельно. Математик и педагог Д.Пойа писал, "что решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь ... если вы захотите научиться плавать, то вынуждены будете зайти в воду, а если вы захотите стать человеком, хорошо решающим задачи, вы вынуждены их решать".

Решение планиметрических задач подразумевает хорошее знание всех теорем и аксиом, а также формул по соответствующей теме. Поэтому сначала необходимо добиться от ученика знаний теоретического материала. 

Рассмотрим план решения планиметрической задачи на нахождение неизвестного. В первую очередь внимательно читаем текст задачи.
После прочтения задачи делается чертёж с помощью линейки, который должен как можно точнее отражать условие задачи. Не надо проводить отрезки точной длины, но, если у фигуры угол прямой, то таким его и изобразите. Если сказано, что дана медиана, то провести ее точно к середине стороны треугольника. Параллельные стороны изображаются параллельными, равнобедренные треугольники - равнобедренными. Желательно соблюдать пропорциональность отрезков. Правильно сделанный чертёж - это половина успеха правильного решения задачи. 

После этого необходимо написать, что дано и что надо найти. Далее приступаем к решению. Пишем формулы нахождения искомой величины. Смотрим, а что в ней не хватает из наших исходных данных. Если все есть, то подставляем числовые значения и получаем ответ, если нет, то продолжаем анализировать и выписывать формулу для поиска следующего параметра и так далее, а потом как бы возвращаемся назад, подставляя найденное число в предыдущую формулу, пока не доберемся до основной. 

Несмотря на то, что чертёж очень важен, нельзя на него опираться, говоря, что " из чертежа видно". Все, что вы видите, должно быть обосновано с помощью теорем, аксиом и свойств.

Пример решения задачи на нахождение неизвестного: найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и СD, если а) АD = 21 см., СB = 17 см., а высота ВN = 7 см.; б) угол D = 30 ,BC = 2 см., AD = 10 см., DC = 8 см.

а) Дано: ABCD – трапеция б) Дано: ABCD – трапеция

АD = 21 см уголD = 30

СB = 17 см BC = 2 см

BN AD AD = 10 см.

ВN = 7 см DC = 8 см.

Найти:S- ? Найти: S- ?

Решение:S =1/2(AD + BC)BN Решение: Рассмотрим треугольник

S = 1/2 (21 + 17) 7=133см DCМ: угол М = 90 , угол D = 30

Ответ:S=133см следо-но СМ = 1/2СD, СМ = 4 см.

т.к. СМ – высота, то h = 4 см.

S =1/2(AD + BC)BN

S = 1/2 (2 + 10) 4= 24 см

Ответ:S= 24 см

Как говорилось ранее, что при решении планиметрических задач необходимо приводить примеры на объёмных моделях. Со временем у ребенка разовьется воображение, и он сможет их мысленно представлять, а это будет способствовать успешному решению стереометрических задач.  Только поэтапные действия и максимум терпения приведут детей к успеху.

Рассмотрим методику обучения решению основных задач на построение, которые, являются традиционными для курса планиметрии: построение перпендикуляра к прямой; деление отрезка пополам; построение треугольника, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение прямой, параллельной данной; построение касательной к окружности.

Цель решения задач на построениезаключается в нахождении способа построения, и желательно наиболее экономного. Этой цели подчинена та часть решения, которая называется анализом. Предполагая, что задача решена, необходимо сделать приблизительный чертеж искомой фигуры и выяснить такие соотношения между данными задачи, которые позволят свести ее решение к другим, известным ранее, или основным задачам на построение. Целью этапа анализаявляется составление плана решения.

Вторая часть решения - это само построение,которое выполняется соответственно выбранному плану решения.

Для того чтобы убедиться в правильности построения, проводится доказательство (на основании известных теорем) того, что построенная фигура обладает требуемыми свойствами.

Важно отметить, что при изучении задач на построение огромное значение имеет чертеж, который наиболее целесообразно выполнять на доске перед всем классом. Но необходимо помнить, что "…переход от абстрактного (мышление) к конкретному (чертеж) воспринимается учащимися легко. А вот обратный переход, от конкретного к абстрактному, представляет для их понимания немалые трудности. Объясняется это тем, что учащиеся привыкли доверять чертежу полностью, а значит относиться к нему критически не умеют .

В частности поэтому, должен быть проведен еще один этап решения - исследование,где решается вопрос, при каких данных задача имеет решение, сколько решений имеет задача, нет ли каких-либо частных случаев, требующих особого рассмотрения.

Во всех задачах, приведенных в учебниках геометрии, этапы анализаи исследование отсутствуют. Поскольку основные задачи на построение являются сравнительно простыми задачами, отсутствие анализапри ее решении вполне оправдано, однако в учебнике есть задачи, при решении которых проведение анализаобеспечивает построение. При наличии времени учитель может продемонстрировать указанный этап решения на примере решения нескольких задач.

Этап исследования опускается в учебниках, авторы объясняют это тем, что к данному моменту у учащихся еще отсутствуют в полном объеме нужные теоретические знания.

Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

Итак, усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Пример решения задачи на построение:построить квадрат по его диагонали.

Построение: Проведя диагональ А С, мы увидим, что построение квадрата сводится к построению равнобедренного прямоугольного треугольника А В Спо его гипотенузе A C , который затем легко дополнить до квадрата.

Треугольник А В Сможно строить различными способами. Например:

1) Строим угол B A C , содержащий 45°, и на одной его стороне откладываем отрезок А С , и равный данной диагонали. Проведя C B A B , получим треугольник А В С , который дополняем до квадрата A B C D , что можно сделать различными способами.

2) Проведем через середину А Сперпендикуляр В О А С и отложим B O =A Oи соединим Вс А и С ; получим треугольник A B C .

3) На А С , как на диаметре, строим окружность и из точки Овосставляем перпендикуляр О В А Сдо пересечения с окружностью в точке B . Соединив В с Аи С , получим треугольник A B C . Проведя B D A C , мы сразу можем получить точки Bи D , как и в предыдущем случае. Очевидно, что построение треугольника A B Cвозможно и другими способами .

Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении различных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они применяют в первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем решение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.

Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.

Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.

Лурье М.В. в своей книге «Техника решения задач» выделяет пять этапов решения задачи: исследование задачи; иллюстрация задачи; планирование решения; выполнение решения; проверка результата.

Когда требуется решить задачу, первое, что должно быть сделано, — ее исследование. Для этого необходимо: установить, что дано, что нужно получить; прояснить незнакомые слова; выделить важные слова, которые несут смысловую нагрузку; преобразовать имеющуюся информацию в более приемлемую форму. Затем стоит упростить задачу, изложив ее своими словами и разделив на составные части.
После исследования условия желательно сделать чертеж. Иллюстрация задачи – это использование средств наглядности для выявления величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними. .
После иллюстрирования задачи намечаются шаги, которые требуются для ее решения, и порядок, в котором они должны быть выполнены. Шаги, необходимые для решения задачи, и их последовательность — это алгоритм. Планирование решения означает разработку алгоритма. Здесь определяется связь между исходными данными и неизвестным. Если прямая связь не может быть найдена, тогда рассматривается вспомогательная или аналогичная задача.
Выполнение решения (выполнение плана) - следование алгоритму.
Необходимо проверить каждый шаг, выполняя свой план решения, и убедиться, что план безошибочен, что процесс на последнем шаге выполнения решения соответствует заданию, которое было определено первоначально.
Конечное решение задачи требует проверки, которая может быть нескольких видов:

установления соответствия между искомой величиной и исходными данными;

составление и решение обратной задачи;

решение задачи другим способом;

прикидка ответа – установление области значений искомой величины.

Изучив и проанализировав методику решения планиметрических задач Лурье М.И. , Полонского И.Б., Зеленяк О.П., мы сформулировали свою методику обучения решения планиметрических задач, опираясь на рассмотренные.

1-й этап - усвоения содержания задачи.

Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т.е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем:

а) Решение планиметрических задач подразумевает хорошее знание всех теорем и аксиом, а также формул по соответствующей теме. Поэтому сначала необходимо добиться от ученика знаний теоретического материала.

б) Затем следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче. Ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения.

в) Полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые.

г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения.

д) Уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

Задача: Стороны параллелограмма равны 10см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

1 этап - усвоение содержания задачи

Дано:

2 этап - составление плана решения задачи.

Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи:

а) Известна ли решающему какая-либо аналогичная задача? Вспомнить как её решали.

б) Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

в) Если возникли трудности у учащихся при составлении плана, необходимо задать наводящие вопросы. Начинать надо с общих вопросов. Может оказаться, что общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к частным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи.

г) Выстраиваем алгоритм. Здесь определяется связь между исходными данными и неизвестным. Если прямая связь не может быть найдена, тогда рассматривается вспомогательная или аналогичная задача.

Задача: в параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, при чём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, НQ = 5 см, угол MNH = 30 .

1 этап – усвоение содержания задачи

Дано:

MNPQ – параллелограмм

NH MQ

MNH = 30

MH = 3 см, HQ = 5 см.

Найти:MN,NP -?

M,N -?

2 этап – составление плана решения задачи

а) чтобы найти M =P, надо 180– MHN - MNH;

б) чтобы найти NP=MQ, надо знать MH + HQ (MH = 3 см,HQ = 5 см);

в) чтобы найти MN=PQ, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник MNH и его свойства;

г) чтобы найти N=Q, надо знать MNH + HNP (MNH = 30 ,HNP = 90 ).

3 этап - реализация плана решения задачи.

План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо.

а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны"; "смежные углы" – в сумме дают 180 .

в) При решении некоторых задач помогает совет: "Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов".

Задача: из вершины B и D параллелограмма ABCD, у которого АВВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM прямой АС. Докажите что четырёхугольникBMDK параллелограмм.

1 этап – усвоение содержания задачи

Дано:

ABCD – параллелограмм

BK AC

DM AC

Док-ть:BMDK- параллелограмм

2 этап – составление плана решения задачи

а) чтобы доказать, что BMDK- параллелограмм, нужно доказать, что BK = MD и KD = BM;

б) чтобы доказать, что BK = MD, нужно доказать, что треугольники ABK и DCM равны;

в) чтобы доказать, что KD = BM, нужно доказать, что треугольники KDA и MBC равны;

г) чтобы доказать, что треугольники ABK = DCM и KDA = MBC , нужно использовать признак равенства треугольников по гипотенузе и острому углу.

3 этап - реализация плана решения

Док-во:

Рассмотрим треугольники ABK и CDM

АВ = СD; АВ// CD (по 1-му признаку параллелограмма);

АС – общая, следовательно 1= 2 (как накрест лежащие углы при АВ//CD и секущей АС);

Значит треугольники АВК=CDM (по гипотенузе и острому углу), тогда ВК = MD (из определения равенства треугольников);

Рассмотрим треугольники CBM и ADK

АD = СB; АD//CB (по 1-му признаку параллелограмма);

АС – общая, следовательно 3= 4 (как накрест лежащие углы при АD//BC и секущей АС);

Значит треугольники АDК=CBM (по гипотенузе и острому углу), тогда КD = BM (из определения равенства треугольников);

Т.к. ВК = MD и КD = BM, значит BMDK- параллелограмм. Ч.Т.Д.

4 этап - анализ и проверка правильности решения задачи.

Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный вариант.

По В.М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: безошибочно, обоснованно, имеет исчерпывающий характер.

Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи.

Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи, но, разумеется, не могут служить планом для решения любой задачи. Эти советы, правильно ориентируют решающего задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают вероятность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же плана для решения любых планиметрических задач построить не возможно.

Задача:найдите углы треугольника, если известно, что один угол в два раза больше другого, а третий угол на 15меньше второго.

1 этап – усвоение содержания задачи

Дано:

Треугольник АВС

ВАС - ?

АВС – в 2 раза б.ВАС

ВСА – на 15м.АВС

Найти:ВАС,АВС,ВСА

2 этап – составление плана решения задачи

а) чтобы найти градусную меру углов треугольника, необходимо использовать свойство суммы углов треугольника;

б) составить уравнение, обозначив неизвестное за х;

в) решить полученное уравнение;

г) сделать проверку.

3 этап - реализация плана решения

Пусть(х) - градусная мераВАС,

тогда ( 2х) - градусная мера АВС и ( 2х- 15 ) - градусная мера ВСА.

Т.к. сумма углов в треугольнике равна 180 , составляем следующее уравнение х+2х+2х- 15 = 180

х+2х+2х=180 +15

5 х=195

х=39

Т.к. за ( х) обозначали градусную меруВАС, значит ВАС=39 ;

за ( 2х) градусную меру АВС, значит АВС= 78 ; за ( 2х- 15 ) градусную меру ВСА, значит ВСА=63 .

Ответ:ВАС=39 , АВС= 78 ,ВСА=63

4 этап - анализ и проверка правильности решения задачи

Т.к. сумма улов в треугольнике равна 180, то выполнив проверку должны получить 180 .

ВАС +АВС + ВСА=180

39 +78 +63 =180

Задача решена, верно.

Таким образом, если систематически использовать не только рассмотренные модели на всех этапах процесса обучения решения планиметрических задач, но и проводить анализ планиметрической задачи согласно данным этапам, то процесс обучения геометрии станет наиболее эффективным.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/58338-reshenie-planimetricheskih-zadach