Медиана как статистическая характеристика

МЕДИАНА КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Тип урока:Тип урока: комбинированный (урок повторения, изучения и закрепления нового материала).

Цель урока: сформировать у учащихся представление о медиане набора чисел и умение вычислять ее для несложных числовых наборов, сформировать представление о медиане числового набора как об устойчивой характеристике, подвергающейся меньшей изменчивости, чем среднее арифметическое набора чисел.

Планируемые результаты:

Предметные: познакомятся с понятием меди­ана числового ряда

Метапредметные:

Познавательные- уметь определять возможные источники необходимых сведений, производить по­иск информации, анализировать и оценивать её достоверность;

Регулятивные - работая по предложенному или самостоятельно составленному плану, использоватьнаряду с основными и дополнительные средства;

Коммуникативные - понимая позицию другого, различать в его речи: мнение, доказательство, факты, гипотезы, аксиомы, теории, давать обоснования с помощью математической речи;,слушать и следить за логикой рассуждений; обосновывать свою точку зрения, отвечать на вопросы.

Личностные: формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения, активно участвовать в решении практических задач математической направленности, осознавать важность математического образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности.

Оборудование: доска, компьютер с проектором.

Ход урока:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Проверка домашнего задания.(5мин)

3. Актуализация опорных знаний. (5 мин)

4. Изучение нового материала.(10 мин)

5. Физкультминутка (3 мин)

6. Закрепление(10 мин)

7. Тест(5мин)

8. Рефлексия(2 мин)

9. Домашнее задание (3 мин)

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока и сформулировать его цели.(слайд 1)

• 1. Проверка домашнего задания. (фронтальный опрос)

  2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы учащимся: (слайд 2-4)

• Что называется средним арифметическим набора чисел? ( отв.Средним арифметическим числового массива называется отношение суммы всех чисел массива к их количеству).

• Чему равно среднее арифметическое числового набора, все числа в котором одинаковы и равны 5,6?

(отв.Среднее арифметическое числового набора, все числа в котором одинаковы равно 5,6?)

• Как можно описать среднее арифметическое с точки зрения физики?

(отв.В физике среднее арифметическое является точкой равновесия (центром масс).)

• В каких задачах вы сталкиваетесь с нахождением среднего арифметического величин?

(отв.Примеры задач на нахождение:

− среднего балла обучающегося,

− средней зарплаты, пенсии жителей страны,

− среднего урожая, средней скорости движения,

− средней производительности труда … )

• Что называется выбросом числового набора?

(отв:Выбросы — это значения, резко отличающиеся от других значений в собранном наборе данных) Исключив выбросы из набора данных, можно прийти к более точным выводам.

• Что называется модой числового набора?

(отв:Мода – наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение.)

• 1. Изучение нового материала.

В 2018 году в России было всего 15 городов с числом жителей более 1 млн человек. Данные о населении этих городов в тысячах человек приведены в таблице 1. (слайд 5)

Табл. 1. Численность населения городов-миллионеров РФ

- Найдем среднее значение численности жителей этих городов в 2018 году. (слайд: 6)

тыс.чел.

Обратите внимание: в таблице нет города, население которого было бы близко к этой величине. Почти во всех городах население лишь немного превышает 1 млн человек. Исключение составляют Москва и Санкт-Петербург.

- Является ли среднее арифметическое хорошим описательным параметром величины «население города-миллионера в России»?

- Если какой-нибудь иностранец узнает, что крупные города в России имеют среднее население 2,2 млн. человек, верное ли представление о типичном крупном городе создастся у этого иностранца?

- Как исправить положение? Нужно подобрать более подходящий описательный параметр.

- Мы уже сталкивались с таким свойством среднего арифметического в уроке , когда обсуждали население крупнейших городов Московской области. Численность населения города Балашиха оказалась «выбросом», который «оттащил» среднее от наиболее типичных значений. Здесь такими выбросами является население Москвы и С.-Петербурга.

В данном случае поступить можно очень просто: удалить выбросы. Если исключить Москву и Петербург, останется 13 городов со средним населением 1198,3 тыс. человек. Это значение вполне удовлетворительно описывает массив численности населения крупных городов.

- Можно ли придумать такое среднее, которое не реагирует на выбросы, которая устойчивее среднего арифметического?

- Такая мера центра есть. Она называется медиана. Медиана числового набора делит его на две равные по численности части.

- Открываем тетради, записываем число и тему урока «Медиана числового набора»

Обозначение медианы: «m»

(записываем в тетради)

Пример 1 . Возьмем набор чисел 1, 4, 7, 9, 11. (слайд 7)

Удобно, что числа записаны по возрастанию. Подберем число m так, чтобы в наборе оказалось поровну чисел, которые не больше и которые не меньше, чем m .

Очевидно, что это 7 . Три числа не больше, чем 7, и три числа не меньше, чем 7. Отв: m = 7

Пример 2. Найдем медиану набора чисел 12, 2, 11, 3, 7, 10, 3. ( слайд 8)

- Как вы думаете, что в этом случае необходимо сделать чтобы найти медиану?

(Сначала расположим числа по возрастанию. 2, 3, 3,7, 10, 11, 12.)

- Верно. Получится упорядоченный по возрастанию ряд. Такой упорядоченный ряд называют вариационным рядом.

Чисел в этом ряду семь, поэтому медианой служит четвертое по счету. Это число 7, оно подчеркнуто. Четыре числа не больше, чем 7 (числа 2, 3, 3 и само число 7) и четыре числа не меньше, чем 7 (числа 7, 10, 11 и 12). Число 7 является медианой числового набора..

- В этом наборе нечетное число чисел, поэтому медиану было найти очень просто. Чуть сложнее дело обстоит, если чисел четное количество.

Пример 3. Найдем медиану набора 12, 2, 11, 3, 7, 10, 3, 15. (слайд 8)

- Как нам поступить в этом случае?

(Снова упорядочим числа2, 3, 3, 7, 10, 11, 12, 15.)

- Что мы теперь наблюдаем? (Теперь посередине ряда стоят два числа 7 и 10 (их выделим).)

- Верно. Медианой можно считать любое число от 7 до 10. Чаще всего эти серединные числа

усредняют: т.е находим среднее арифметическое этих чисел .

- Сделаем вывод, как найти медиану числового набора?

Чтобы найти медиану числового набора, нужно: (слайд 9)

1. Упорядочить набор по возрастанию (получить вариационный ряд).

2. Если в наборе нечетное количество чисел, то медианой будет число, стоящее посередине упорядоченного набора.

3. Если в наборе четное количество чисел, то медианой будет среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

5. Физкультминутка: Рисуй глазами треугольник( слайд 10)

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни Вершиной вниз.

И вновь глазами ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась. Ты молодец!

(Дети представляют внешний вид геометрических фигур.)

• 1. Закрепление

- Рассмотрим для наглядности ещё один пример. (слайд 11)

Пример 4. Врач в ходе диспансеризации измерил вес мальчиков в классе. В результате он получил 10 значений (в кг): 39, 41, 67, 36, 60, 58, 46, 44, 39, 69.

Найти среднее арифметическое и медиану для этого ряда.

Решение. (Двое желающих решают у доски) (слайд 12)

1.Первый ученик находит среднее арифметическое числового набора:

Сначала перепишем ряд в упорядоченном виде: 36, 39, 39, 41, 44, 46, 58, 60, 67, 69.

В ряде 10 чисел, то объем выборки n = 10.

Найдем среднее арифметическое. Для этого сложим все числа в ряде и поделим на их количество, на 10): (36+39+39+41+44+46+58+60+67+69):10 = = 499:10 = 49,9 кг. Отв: 49,9 кг

2. Второй ученик находит медиану числового набора: (слайд 13)

Сначала перепишем ряд в упорядоченном виде: 36, 39, 39, 41, 44, 46, 58, 60, 67, 69.

В ряде 10 чисел, для нахождения медианы надо найти два средних по счету значение найти их среднее.. Их среднее арифметическое равно (44+46):2 = 90:2 = 45 кг. Отв: m = 45 кг.

• • Мы получили среднее арифметическое равно 49,9 кг, а медиана равна 45кг.

- Какой вывод можно сделать?
Вывод:записать в тетрадь: (слайд 14)

• Медиана чаще всего близка или равна среднему арифметическому числового набора.

• Но если в числовом наборе есть выбросы - резко отличающиеся от всего набора значения, то медиана и среднее арифметическое могут сильно различаться.

• Медиана устойчива относительно выбросов в отличие от среднего арифметического.

• 1. Тест:(слайд 15- 16)

Задание №1 Найти медиану числового набора: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

Ответ: а) 5 б) 7 в) 9

Задание №2 Найти медиану числового набора: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Ответ: а) 5,5 б) 6,5 в) 6

Задание №3 Найти медиану числового набора: 11, 3, 21, 4, 17.

Ответ: а) 21 б) 11 в) 13

Задание №4 Найти медиану числового набора: 11, 25, 3, 21, 4, 17.

Ответ: а) 14 б) 12 в) 13

Задание №5 Назовите выброс числового набора: 11, 25, 23, 61, 14, 17.

Ответ: а) 11 б) 25 в) 61

Ответы на тест: ( слайд 17)(поменяйтесь тетрадью с соседом по парте)

Задание №1 Ответ: б) 7

Задание №2 Ответ: в) 6

Задание №3 Ответ: б) 11

Задание №4 Ответ: а) 14

Задание №5 Ответ: в) 61

• 1. Рефлексия (слайд 18) (У каждого на парте лежат карточки. Заполните их пожалуйста и сдайте вместе с домашней тетрадью)

Данная тема мне понятна.______________________________

Я научился (научилась)находить _______________________________

Я доволен(на) своей работой на уроке __________________________________

• 1. Домашнее задание. (слайд 19-20)

Самый большой кремль – это Московский кремль. Домашнее задание связано с ним.

Московский кремль имеет следующие башни:

Беклемишевская (Москворецкая) башня - 47 м

Константино - Еленинская (Тимофеевская) башня – 37 м

Набатная башня - 38 м

Царская башня - 17 м

Спасская башня - 71 м

Сенатская башня 34 м

Никольская башня - 70 м

Угловая Арсенальная (Собакина) башня - 60 м

Средняя Арсенальная (Гранёная) башня - 39 м

Троицкая башня - 80 м

Кутафья башня - 14 м

Комендантская (Колымажная) башня - 41м

Оружейная (Конюшенная) башня - 39 м

Боровицкая (Предтеченская) башня - 54 м

Водовзводная (Свиблова) башня - 61 м

Тайницкая башня - 38 м

Благовещенская башня- 32 м

Первая Безымянная башня - 34 м

Вторая Безымянная башня- 30 м

Петровская (Угрешская) башня - 27 м

Задания:

1. Выпишите ряд чисел, состоящий из высот башен. Найдите среднюю высоту башен кремля, округлив её до целого числа. Найдите медиану этого ряда.

2. Пересчитайте количество букв в основном названии каждой башни (без слова башня) и составьте числовой ряд из этих чисел. Например: «Беклемишевская (Москворецкая) башня». Выписываю число 14. Далее – «Константино - Еленинская (Тимофеевская) башня». Выписываю число 21 и

так далее. Получается числовой ряд: 14; 21; ... Найдите размах медиану этого ряда и

среднее арифметическое, округлив его до десятых.

Спасибо за урок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/592117-mediana-kak-statisticheskaja-harakteristika