Конспект урока на тему: Координатный метод

Тема: Координаты вектора, скалярное произведение векторов.

Типовая задача о треугольнике.

Задания для самопроверки:

1. Написать разложение вектора   по координатным ортам.

2. Даны векторы   и   .

Найти векторы   ,   ,   .

3. Длины векторов   и   равны   и угол между векторами

 . Найти скалярное произведение векторов.

4. Найти длины векторов   и скалярное произведение этих векторов.

5. Найти угол между векторами   

Типовая задача с треугольником на плоскости, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти…

Пример 1

Даны вершины треугольника  . Требуется:

1) составить уравнения сторон   и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны  ;
3) найти  ;
4) составить уравнение высоты  и найти её длину;
5) вычислить площадь треугольника  ;
6) составить уравнение медианы  ;
Решение: Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и самопроверки всегда строим чертёж на черновике.

Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки).

1) Составим уравнения сторон   и найдём их угловые коэффициенты.

Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум точкам.

Составим уравнение стороны   по точкам  :

Для проверки следует мысленно либо на черновике подставить координаты каждой точки в полученное уравнение. Теперь найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент: 

Аналогично находим уравнения сторон  . Не вижу особого смысла расписывать то же самое, поэтому сразу приведу готовый результат:

2) Найдём длину стороны  . Для точек   используем формулу:

По этой же формуле легко найти и длины других сторон. Проверка очень быстро выполнятся обычной линейкой.

3) Найдём  . Это угол при вершине  . Есть несколько способов решения, но самый универсальный способ – находить угол при вершине, как угол между векторами.

Используем формулу  .

Найдём векторы:

Таким образом:

Кстати, попутно мы нашли длины сторон  .

В результате:

для убедительности к углу можно приложить транспортир.

4) Составим уравнение высоты  и найдём её длину.

От строгих определений никуда не деться:

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

То есть, необходимо составить уравнение перпендикуляра, проведённого из вершины   к стороне  .

Из уравнения   снимаем вектор нормали  . Уравнение высоты   составим по точке   и направляющему вектору  :

Обратите внимание, что координаты точки   нам не известны.

Точка известна:  , уравнение прямой тоже известно:  , Таким образом:

5) Вычислим площадь треугольника.

Используем школьную формулу:
 – площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В данном случае:

6) Составим уравнение медианы  .

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

а) Найдём точку   – середину стороны  . Известны координаты концов отрезка:  , тогда координаты середины:

Таким образом: 

Уравнение медианы   составим по точкам  :

Чтобы проверить уравнение, в него нужно подставить координаты точек  .

отношение 

Нам известны точки  .
По формулам деления отрезка в данном отношении:

Таким образом, центр тяжести треугольника: 

Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна.

Домашнее задание:

Решить задачу по образцу для треугольника с координатами А(1;1) , В(6;5) и С(9;2)

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/605377-konspekt-uroka-na-temu-koordinatnyj-metod