Методическая разработка по алгебре для учителей, применяемая при изучении темы: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Методическая разработка по алгебре для учителей, применяемая при изучении темы:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Составитель: Пузикова Т.А.

Ярославль 2025

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ ........................ 5

1.1 Виды тригонометрических уравнений и методы их решений. ................... 5

1.2 Виды тригонометрических неравенств и методы их решений ................. 14

1.3 Использование единичной окружности при изучении школьного курса тригонометрии ..................................................................................................... 15

ГЛАВА 2. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАМКАХ ЕГЭ………………………………………………..22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ..……………………...……25

Приложение …………………………………………………………………..…26

Введение

В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:

1. Решение уравнений и неравенств;

2. Решение систем уравнений и неравенств;

3. Отбор корней.

Анализ учебной и научно–методической литературы свидетельствует, что большое внимание уделяется абсолютно всем трем направлениям.

Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.).

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, построенный на принципах личностно-ориентированного подхода. В рамках такого обучения исключается формальная передача знаний и механистическая отработка умений. Изучение тригонометрии должно опираться как на логический, аналитический компонент, так и на образное, интуитивное восприятие материала. При этом учащимся необходимо предоставлять широкие возможности для дифференциации и индивидуализации обучения, учитывая их уровень подготовки, особенности мышления и интересы.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

1.1 Виды тригонометрических уравнений и методы их решений

При решении многих математических задач, в основном возникающих до 10 класса, порядок выполнения вычислительных операций, ведущих к конкретной цели, будет определен однозначно. Задачи данного типа содержат линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения, а также уравнения, которые сводятся к квадратным. Совершенно очевидно, что результат решения различных задач будет целиком зависеть от правильности выбора метода решения, а также последовательности этапов решения. В этом случае необходимо обязательно обладать навыками выполнения тождественных преобразований.

Совершенно иная ситуация возникает с тригонометрическими уравнениями. Установить, то, что уравнение является тригонометрическим, для нас особой проблемы не составляет. Последующие сложности возникают при определении последовательности действий, которые бы могли привести к истинному ответу.

При решении уравнений, глядя на его внешний вид, в некоторых случаях трудно установить его тип. А не зная этого типа практически невозможно подобрать необходимую формулу из большого их числа.

Основная проблема, с которой сталкиваются обучающиеся в школе состоит в том, что они никак не представляют для себя полный диапазон применения и использования материала тригонометрии, так как он не изучается в школе отдельным блоком, потому что изучение тригонометрии длится на протяжении изучения алгебры и начала анализа в 10-11 классах.

К определению тригонометрического уравнения различные авторы относятся по-разному. Мы назовем тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, которое содержит неизвестную (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения

Для решения различных видов тригонометрических уравнений следует уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных видов.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

К уравнениям данного вида относят:

Рассмотрим случай, когда

1.2 Виды тригонометрических неравенств и методы их решений

Неравенства, которые мы называем тригонометрическими, могут быть представлены тождественными (безусловными) и условными. На практике тождественные неравенства нам необходимо доказать, а вот условные – решить. Тригонометрическое неравенство считается тождественным, которое справедливо при всех допустимых значениях неизвестных, входящих в заданное неравенство.

Тригонометрическое неравенство считается условным, когда оно справедливо не при всяком значении неизвестных.

Решая данные тригонометрические неравенства учитель должен помнить, что тригонометрические функции

Рисунок2- обозначение координат точки В

В тригонометрии определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса дается через координаты точек на единичной окружности. При использовании данных определений мы имеем возможность обосновать свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

- Синусом называется отношение

Решение: Запишем решения данного уравнения

- При заданных значениях функции и ограничениях на значения аргумента отметить соответствующие точки и записать значения аргумента (к примеру, указать на графике и сделать соответствующие записи для точек, удовлетворяющих условиям

Преобразование тригонометрическогоуравнения может привести не только к равносильному уравнению, но и к уравнению-следствию. Если на каком-то шаге мы перешли к уравнению, про которое точно знаем, что оно –следствие исходного, и при этом не уверенны, что оно равносильно ему, то, найдя корни нового уравнения, необходимо сделать проверку(например, подставив найденные значения в исходное уравнение).

Однако следует иметь в виду, что проверка путем подстановки найденных значений в тригонометрическое уравнение в большинстве случаев сопряжена с техническими трудностями. Если сомнение вравносильности первого и последнего в цепочке преобразований уравнения вызвано расширением в ходе преобразований области допустимых значений, лучше начать решение с записи ограничений, определяющих область допустимых значений исходного уравнения, и, найдякорни последнего уравнения, проверить, удовлетворяют ли они этим ограничениям.

Причиной расширения области допустимых значений тригонометрического уравнения может быть также использование некоторых тригонометрических формул. В первую очередь следует обратить внимание на формулы, выражающие синус, косинус, тангенс или котангенс угла через тангенс половинного угла. Использование этих формул может привести к

сужению области допустимых значений и, как следствие, к потере корней. Применение тех же формул в обратном направлении, напротив, может привести к расширению области допустимых значений и, как следствие, к появлению посторонних корней. Сказанное относится также к формулам тангенса суммы и разности аргументов.

Также к приобретению корней может привести использование формул

или . Решение тригонометрических уравнений, связанных с отбором корней, имеет отличие от ситуаций, возникающих прирешении дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических и другихуравнений, состоящее в том, что при решении простейших тригонометрическихуравнений получают бесконечные серии

решений, зависящих от целочисленного параметра.

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений

обычно используют один из следующихспособов.

● Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

● Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

● Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

● Функционально-графический способ:

выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бордовская, Н.В. Педагогика: учебное пособие / Н. В. Бордовская, А. А. Реан. – СПб.: Питер, 2006. – 304 с.

2. Выгодский, М.Я.: Справочник по элементарной математике. Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики. - М.: Элиста, 1996. – 208с.

3. Галицких, Е. О. Диалог в образовании как способ становления толерантности: учебно-методическое пособие / Е. О. Галицких. – М.:Академический Проект, 2004. – 25с.

4.Мордкович, А.Г.: Краткое справочное пособие по школьному курсу математики. - М.: Новая школа, 1994. – 154с.

Приложение 1

Письменная работа № 1

Письменная работа № 2

Письменная работа № 3

Письменная работа № 4

Письменная работа № 5

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/611829-metodicheskaja-razrabotka-po-algebre-dlja-uch