Разработка урока по теме: «Площадь правильного многоугольника» (Интегрированный урок по математике, физике, биологии и литературе для учащихся 9-х классов)

Разработка урока

по теме:

«Площадь правильного многоугольника»

(Интегрированный урок по математике, физике, биологии и литературе для учащихся 9-х классов)

Цели урока:

Образовательная:

• Вывести формулу для вычисления площади правильного многоугольника;

• Формировать навыки решения задач на нахождение площадей правильных многоугольников;

• Формирование у учащихся мотивации к изучению предмета.

Развивающая:

• Формировать умение анализировать;

• Обобщать, развивать математическое мышление;

• Показать возможность использования математических знаний в процессе решения прикладных задач.

Воспитательная:

• Воспитывать ответственность за выполненную работу;

• Воспитывать умение правильно оценивать результаты своего труда;

• Способствовать воспитанию экологической культуры учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный опрос, индивидуальная, коллективная.

Методы обучения: словесный, репродуктивный, объяснительно-иллюстративный, проблемное изучение.

Материально-техническое обеспечение содержания урока: демонстрационный материал, компьютерная презентация.

План урока

Таблица 1

Конспект урока

1. Организационный этап

«Математика есть лучшее, и даже единственное введение в изучение природы». Д.И. Писарев

Проводится с применением ароматерапии - масло апельсина. (Апельсин повышает концентрацию внимания, снимает состояние волнения, неуверенности).

Здравствуйте, ребята! Вот и прозвенел звонок! Начинаем наш урок! Все друг другу улыбнулись и в работу окунулись!

Проверим готовность к уроку. На столах у вас лежат учебники, тетради. Откройте тетради, запишите дату и тему сегодняшнего урока.

1. Проверка домашнего задания

Учитель математики организует взаимопроверку домашнего задания в парах. Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют правильность решения задач по слайду.

№ 1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Решение

Вычислим сторону правильного треугольника

Найдем радиус окружности, описанной около правильного треугольника

По условию

Применим формулу . Значит, – сторона квадрата вписанного в окружность.

Ответ:

№1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.

Решение

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадраты, т.е. 3 см. Значит, диаметр окружности 6 см (получаем, что диаметр равен стороне квадрата).

Ответ: наибольший диаметр круглого стержня 6см.

1. Мотивация учебной деятельности

Учитель математики. «Человек родился быть господином, повелителем, царём природы, но мудрость, с которой он должен править… не дана ему от рождения: она приобретается учением».

Эти слова принадлежат русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому.

Сказанные полтора века назад, они казались загадочными. Человека, который посягнул на постулаты Евклида, не поняли.

Со временем люди изобрели электрический ток, радио, автомобиль, телефон, компьютер, интернет. Казалось, вот-вот природа отдаст все свои богатства, раскроет последние тайны, но…

Теперь, когда практически каждый из нас владеет могущественными способами влияния на природу, мы должны понять, что с природой нужно жить в согласии, по её законам. Именно это имел в виду гениальный ученый, предостерегая нас от бездумного «владения» окружающим миром.

Сегодня на уроке мы познакомимся с математическими, физическими, медицинскими способностями одного маленького, но как оказалось, очень важного живого существа – пчелой.

Учитель биологии.Когда-то великий ученый Эйнштейн говорил, что конец света на Земле наступит тогда, когда исчезнут пчёлы. К сожалению, мы и наши дети живем именно в это время – пчёлы действительно исчезают, и последствия этого будут весьма серьезные.Впервые повальное вымирание пчёл, которое в разы превышает их естественную гибель, было зафиксировано учеными в середине 20 века. К концу столетия этот процесс стал набирать обороты, а с 2006 года исчезновение медоносных пчёл происходит уже в небывалых масштабах. Этот печальный феномен получил название «синдром разрушения пчелиных семей».

1. Актуализация опорных знаний

Учитель математики проводит фронтальный опрос.

1. Многоугольником называется фигура…

2. Многоугольник называется правильным, если …

3. Укажите, является ли данный многоугольник правильным?

   1. равнобедренный треугольник

   2. квадрат

   3. ромб

   4. равносторонний треугольник

   5. прямоугольник

   6. выпуклый пятиугольник, у которого все углы и все стороны равны

   7. параллелограмм

   8. ромб с равными углами

   9. равнобокая трапеция

4. Формула суммы углов выпуклого многоугольника…

5. Формула угла правильного многоугольника…

6. Что такое периметр многоугольника?

7. Что находится по следующим формулам: , ?

1. Изучение нового материала

Учитель математики. На прошлом уроке мы вывели формулы для нахождения стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности через радиус описанной окружности. Сегодня мы попробуем вывести формулу нахождения площади правильного многоугольника.

Правильный многоугольник разбивается на равные треугольники. Достаточно найти площадь одного треугольника и умножить на их количество. Значит, проще находить площадь правильного многоугольника.

Доказательство теоремы у доски.

Т еорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности.

Дано: А₁…….А_n - многоугольник правильный,

А₁А₂ =А₂ А₃ =………=А_n-1А_n , все углы равны.

Доказать:

Доказательство: Рисунок 1

Правильный многоугольник делится на равные равнобедренные треугольники.

Все полученные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Найдем площадь одного треугольника.

Рассмотрим ∆A₁OA₂: ∟А₁ОА₂ - центральный (как его вычислить?) .

Проведем высоту A₁A₂=h. Эта высота будет радиусом вписанной окружности. Так как треугольник равнобедренный, то высота является медианой и биссектрисой.

Площадь одного треугольника Всегоимеем n треугольников.

Значит, площадь правильного многоугольника .

Итак, формула для вычисления площади правильного многоугольника:

, что и требовалось доказать.

1. Применение знаний и умений учащихся

«Далее этой ступени совершенства в архитектуре естественный отбор не мог вести, потому что соты пчёл абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска». Ч. Дарвин

Учитель математики. Пчёлы – удивительные творения природы. Геометрические способности пчёл проявляются при построении сот. Пчёлы строят восковые соты для хранения кормовых запасов и для выращивания потомства. Соты выступают в роли домика для пчелиной семьи. Состоят они из ячеек. Ячейки имеют форму шестигранной призмы. Математики считают, что именно такая форма оптимальна для максимального использования площади при наименьшем расходе строительного материала.

Из всех правильных многоугольников только треугольниками, квадратами и шестиугольниками можно заполнить плоскость без пробелов и наложений. Поэтому пчёлы должны «выбрать» одну из этих фигур.

 Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь.

Задача 1. Сравните периметры правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника, которые имеют одинаковую площадь, т.е. S₃=S₄=S₆=S.

Решение.

Для правильного треугольника со сторонойа имеем:

, .

Выразим периметр треугольника:

.

Для квадрата со сторонойbимеем:

, .

Выразим периметр правильного четырехугольника:

.

Для правильного шестиугольника со сторонойсимеем:

, .

Выразим периметр правильного шестиугольника:

.

Найдем отношение периметров:

Строя шестиугольные ячейки пчёлы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

Задача 2. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него правильного шестиугольника.

Работа с учебником.

Задача 3, №1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношение площадей этих многоугольников.

Учитель биологии.В мире насчитывается около 20 000 видов этих насекомых. Профессиональным размножением занимались древние египтяне, шумеры или вавилоняне. На настенных росписях скальных пещер Испании изображены люди, собирающие мёд из «гнезд». Это доказательство того, что несколько тысяч лет назад польза пчёл была известна.

Чем же так полезны пчёлы:

• единственное насекомое, которое добывает пищу не только для себя, а для людей;

• производят исключительно здоровый мед, потому что в отличие от осы, не собирают нектар с ядовитых растений.

Всего один неприятный момент в общении с этими жалящими – укус – болезненный, вызывающий аллергию.

Пользу от их деятельности в экосистеме невозможно переоценить. Только в Европе более 4000 сортов овощей зависят от опыления насекомыми. За опыление одного растения отвечают несколько видов насекомых – медоносная пчела, дикая, шмель. Вот почему сохранение видового разнообразия в природе так важно. Около 100 видов растений гарантируют 90% продовольствия в мире, а 80-90% опыления этих растений выполняется именно пчелами. Важно понимать, какую пользу приносят насекомые растениям, собирая нектар. Сохранение медоносных пород становится все более важным в связи с широко распространенной химизацией сельского хозяйства и общего загрязнения окружающей среды.

Таблица 2

Известно, какую пользу пчелы приносят человеку. Эти перепончатокрылые дают людям полезные натуральные продукты, такие как мед (целебный для организма человека), пыльцу, прополис, маточное молочко. Пчелиный воск используется для изготовления ароматных свечей, для косметики, лекарств.

Учитель литературы. Пчел изучали и продолжают изучать биологи, химики, врачи, философы, писатели и поэты. Много написано о трудолюбивой пчеле серьезных философских трактатов, научных статей и книг, стихов и басен поэтами разных времен и народов. 

Демьян Бедный, «Пчела»

В саду зеленом и густом
Пчела под розовым кустом
Заботливо и радостно жужжала.
А под кустом змея лежала.
«Ах, пчелка, почему, скажи, судьба твоя
Счастливее гораздо, чем моя?—
Сказала так пчеле змея.—
В одной чести с тобой мне быть бы надлежало.
Людей мое пугает жало,
Но почему ж тогда тебе такая честь
И ты среди людей летаешь так привольно?
И у тебя ведь жало есть,
Которым жалишь ты, и жалишь очень больно!»
— «Скажу. Ты главного, я вижу, не учла,—
Змее ответила пчела,—
Что мы по-разному с тобою знамениты,
Что разное с тобой у нас житье-бытье,
Что ты пускаешь в ход оружие свое
Для нападения, я ж — только для защиты».

Учитель физики.

«Жизнь пчел подобна волшебному колодцу. Чем больше из него черпаешь, тем обильнее он наполняется». Карл фон Фриш

Значительная роль в изучении поведения пчел отводится австрийскому ученому Карлу фон Фришу.

В январе 1919г. Фриш сделал главное свое открытие, принесшее ему Нобелевскую премию через 54 года.

Ученый пометил краской несколько рабочих пчел и изучал поведение пчелы, которая нашла пищу и вернулась в улей.

«Я едва мог поверить своим глазам, когда она исполнила круговой танец на медовых сотах, чем привела в сильнейшее возбуждение находящихся рядом с ней пчел, помеченных краской, которые немедленно полетели к месту кормёжки... Это было, как я думаю, наиболее важное наблюдение в моей жизни, во всяком случае, имеющее самые далеко идущие последствия» - писал Карл фон Фриш.

Фриш изучал танец пчел всю свою жизнь. Он узнал, что этот танец разнообразен: если пища близко, то танец круговой, если далеко (дальше 85 м) — «вихляющий», в виде восьмерки. Узнал, что танцем пчелы указывают угол между местонахождением пищи и солнцем и что при переменной облачности пчелы ориентируются по плоскости поляризации света от просветов чистого неба.

Пчела-разведчик, найдя новый источник пищи, оставляет ароматное вещество, которое выделяется железами на кончике брюшка, собирает немного нектара и улетает на базу. Аромат поможет найти источник нектара снова. Прибыв в улей, пчелка, отрыгивая нектар, передает его другим пчёлам. Освободившись от нектара, он начинается танец. Когда расстояние примерно в радиусе 45 метров, пчела танцует круговыми движениями.

После танца пчела снова улетает к месту, где она нашла нектар, а другие пчелы следуют за ней.

Рисунок 2

Пчелы, посещая отдаленные места с источником пищи, принимают танец виляния.

Если медонос находится примерно в 100 м от улья, то пчела сделает примерно 10 кругов за 15 секунд. Если за это же время она совершит 7 кругов, то расстояние вдвое больше, 4 круга – 1 км, 2 круга – 6 км. Пчелы-разведчицы могут искажать данные о расстоянии до медоноса. Это зависит от погодных условий. При встречном ветре движение пчелы замедляется, а при попутном – ускоряется, поэтому некоторые погрешности присутствовать могут. Виляющим танцем пчела может не только рассказать о дальности нахождения найденного ею медоноса, но и указать направление, в котором надо лететь. Если насекомое танцует на летке (горизонтально), то линия соединения восьмерки и является направлением к медоносу. Между полукружьями восьмерки делается определенное расстояние – оно соответствует углу отклонения полета относительно солнца.

Учитель математики. Ячейки бывают пчелиные, маточные, трутневые и переходные. На строительство одной пчелиной ячейки тратится около 13 мг воска. Для постройки всей соты – около 140 грамм, их размер зависит от величины рамки. В улье она находиться в вертикальном положении. В заполненной рамке может находиться до 4 кг меда. 

Строя соты, пчелы делают между ними расстояние около 13 мм. Это необходимо для свободы передвижения.

Задача 4. Диаметр ячейки сот у пчёл равен 5,45мм. Найдите площадь ячейки.

Соты представляют собой шестигранные призмы с гранью 2,71мм. Однако донышко сот не плоское, оно представляет собой трехгранный угол, составленный из трех ромбов. Возникает вопрос, каков должен быть плоский угол при вершине ромба, чтобы уложиться на минимальной поверхности?

       Первым заинтересовался этой проблемой итальянский астроном и геодезист Миральди. В 1712 году он установил, что угол должен быть близок к 110˚. Впоследствии Реомюр, Вейл и Кениг уточнили эту величину: 109˚ 26'. Они были изумлены, узнав, что пчелы делают соты с углом 109˚ 28'. Фонтанель, секретарь Французской академии наук, заметил, что пчелы, несмотря на более слабые, чем у Ньютона и Лейбница, математические способности, получают указания от самого Творца.

Минута релаксации. Упражнение «Лимон».

Инструкция: Сядьте удобно, руки свободно положите на колени (ладонями вверх), плечи и голова опущены, глаза закрыты. Мысленно представьте себе, что у вас в правой руке лежит лимон. Начинайте медленно его сжимать до тех пор, пока не почувствуете, что “выжали” весь сок. Расслабьтесь. Запомните свои ощущения. Теперь представьте, что лимон находится в левой руке. Повторите упражнение. Вновь расслабьтесь и запомните ощущения. Затем – одновременно двумя руками. Расслабьтесь. Насладитесь состоянием покоя.

Учитель литературы. Отношение человека к пчелам всегда было особым. Ни одно другое животное, пожалуй, не удостаивалось такой чести за всю мировую историю. Пчелам поклонялись, их оберегали, ухаживали за ними, а еще им приписывались совершенно фантастические свойства.

Наши старейшие предки славяне называли пчелку Божьей угодницей. Они верили в ее магическую мудрость и даже святость. Не случайно древние отмечали, что в ульи с пчелами никогда не бьет молния. Поговаривали, что пчела водится лишь у добрых людей, у злых – не приживается. Верующие считают покровительницей пчел пресвятую Богородицу. Не случайно в древних заговорах пчелиная матка фигурировала под именем Мария. Один из старинных обычаев: в праздник Успения Богородицы угощать добрых людей, особенно детей, освященным медом. Если все сделать верно – будет хороший приплод.

Давайте попробуем разгадать кроссворд. Он состоит из шестиугольников, которые напоминают пчелиные соты.

Рисунок 3

Ответы: Верёвочки в кедах – шнурки; ключ из глубин земли – родник; отсутствие шума – тишина; головной убор хозяина трона – корона; «Он под деревом сидит» - доктор; верхняя одежда для весны и осени – куртка; лимон или апельсин – цитрус; хищный зверь с острой мордой – барсук.

Учитель биологии. Существует несколько причин, почему исчезают пчелы, и ухудшается их общее состояние здоровья. Они подвержены болезням, паразитам (включая Varroa destructor и Nosema ceranae), влиянию промышленного сельского хозяйства (использование химикатов), спектр воздействия которого на «производителей меда» очень широк. Изменение климата также ухудшило здоровье насекомых-опылителей, способствуя тому, что пропали пчелы.

Многих интересует, что будет, если не будет опылителей. Если все пчелы на планете вымрут, человеку придется голодать в течение нескольких лет, потому что треть сельскохозяйственных культур в мире опыляются насекомыми. Британские ученые пришли к выводу, что исчезновение опылителей означало бы потери в 440 миллионов фунтов стерлингов в год. Французы подсчитали, каждый год «труженицы» нарабатывают в этой стране 2 миллиарда евро, помогая растениям приносить плоды.

Первое массовое вымирание наблюдалось в Соединенных Штатах в 1960-х годах. В 2006–2007 треть всех особей погибла в Северной Америке. В 2008 кризис достиг Европы. В России за последние 10 лет популяция сократилась на 40%.

Учитель физики.Свое название сотовые сети получили в соответствии с сотовым принципом организации связи, который заключается в следующем.

Зона радиопокрытия вокруг базовой станции в общем случае представляет собой окружность. Как известно, из равносторонних фигур, вписанных в окружность, только шестиугольники могут без разрывов покрыть какую-либо поверхность. Вот почему они используются в качестве математической модели сотовой сети. Размеры сот (ячеек) сотовой связи на практике составляют от десятков метров (в крупных бизнес-центрах) до десятков километров.

 Электромагнитные волны, излучаемые вышками сотовой связи и самими мобильными телефонами, создают реальную угрозу для пчел-медоносов. К такому выводу пришли индийские ученые. Эксперимент, проведенный в южном штате Керала, показал, что внезапное падение популяции пчел вызвано башнями, устанавливаемыми по всему штату компаниями мобильной связи, которые расширяют свою сеть.

Электромагнитные волны, излучаемые этими вышками, негативно влияют на «навигационные навыки» рабочих пчел, которые собирают цветочный нектар для обеспечения жизнедеятельности пчелиных семей, говорит доктор Саинуддин Паттажи, проводивший данное исследование.

Ученый обнаружил, что, когда мобильный телефон находится вблизи улья, рабочие пчелы не могут вернуться домой, ульи остаются с одной королевой-маткой и яйцекладкой. Эксперимент показал, что рой погибает в течение десяти дней.

Учитель биологии. Для восстановления популяции насекомых во всем мире необходимы два типа действий.

Прекращение использования вредных химических веществ. Примеры нескольких европейских стран показывают, что фермерство без пестицидов возможно и экономически целесообразно.

Поддержание методов ведения сельского хозяйства, оказывающих благотворное влияние на здоровье опыляющих насекомых, так как известно, какую пользу приносят природе. На практике это означает, что количество и разнообразие цветов следует увеличивать, поддерживая края полей цветковыми растениями.

Вымирание – глобальное явление, которое угрожает всей цивилизации. Если не примут меры для их спасения от массовой гибели, мир столкнется с кризисом, а пчелы исчезнут уже в 2035 году. Уменьшение количества этих насекомых служит предупреждением о неблагоприятных изменениях, происходящих в природной среде, куда все чаще вмешивается человек. Польза пчел велика, они являются «живым золотом» нашей экосистемы.

1. Постановка домашнего задания

Учебник. Читать, учить стр. 273, выучить формулу площади правильного многоугольника. Выполнить письменно №1087, №1094 (а, в).

Дополнительное задание.Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Докажите, что плоскость можно ещё покрыть правильным треугольником и квадратом.

1. Итог урока. Рефлексия

«Великий архитектор Вселенной все более представляется нам чистым математиком». Джеймс Джинс

Учитель математики выставляет оценки за урок, предлагает учащимся продолжить предложения.

Сегодня на уроке я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

У меня получилось…

Урок дал мне для жизни…

Как в заключение не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Так с помощью геометрии мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, ещё раз убедившись во всесторонней эффективности математики.

Спасибо за урок. До свидания.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азевич А.И. Геометрические вариации на пчелиную тему// Математика в школе. - М: Наука, 1998. №21. С. 43 – 45.

2. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. - М.: Просвещение, 2016.

2. Глухова А.С. Правильные многоугольники в природе// Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». 1999. № 38. С. 38 – 40.

3. Предметные недели в школе. Математика./сост. Гончарова Л.В.- Волгоград: Учитель, 2003. – 131с.

4. Фриш К. Из жизни пчел. / Халифман И.А. (отв. ред.). М.: Мир, 1980. – 214с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/613118-razrabotka-uroka-po-teme-ploschad-pravilnogo-