Урок разноуровнего обобщающего повторения в 10 классе по теме: «Решение показательных уравнений»

Урок разноуровнего обобщающего повторения по теме «Решение показательных уравнений»

Учителя математики

Лихоеденко Любови Викторовны

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определённые ряды, причем при выполнении заданий одного уровня, они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

ЦЕЛЬ УРОКА:обобщить и систематизировать знания по темам «Показательная функция, её свойства и график » и «Решение показательных уравнений»; рассмотреть различные методы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложностей; организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

I ЭТАП УРОКА - ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ (1 минута).

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II ЭТАП УРОКА (5 минут)

Повторение теоретического материала по теме

«Показательная функция и её свойства».

Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Какую функцию называют показательной?»

Звучит определение.

Определение. Функцию вида у = а^х, где а>0 и а1, называют показательной функцией. Учитель просит перечислить основные свойства показательной функции.

Учащиеся перечисляютсвойства показательной функции:

Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел.

Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

Показательная функция у = а^х при а >1 возрастает на множестве всех действительных чисел, а при 0< a<1 убывает на множестве всех действительных чисел.

Показательная функция непрерывна. Отметить, что график функции проходит через точку (0;1) и расположен выше оси ОХ.

III ЭТАП УРОКА (5 минут)

Устная работа по решению простейших задач на тему

«Показательная функция и её свойства»

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы, следующего содержания:

На рисунке изображен график одной из функций. Укажите номер этой функции.

у = 2^х + 1. 2) у = + 1. 3) у =. 4) у = 2^х + 2

Ответ: 2

На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = -3^х. Укажите номер этого рисунка.

Ответ: 2.

На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = 3^х– 2. Укажите номер этого рисунка.

Ответ: 4.

Укажите характер монотонности функций:

а) у = 0,2^-х б) у = в) у = ( )^-х

г) у = е^х д) у = 2,5^х е) у = 1,7^-3х

ж) у = з) у = 2^х-1 и) у =

к) у = л) у= ^-2х м) у = ^х

н) у = о) у= п) у =

Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на сформулированные вопросы, комментируя свой ответ ссылкой на соответствующий теоретический факт.

IV ЭТАП УРОКА (20 минут)

Повторение теоретического материала по теме

«Решение показательных уравнений».

Перед решением задач учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основании которых решаются уравнения.

В зависимости от уровня подготовки класса это могут быть либо устные ответы учащихся на вопросы учителя, либо совместная работа учителя и учащихся, но в том или ином виде на уроке должны прозвучать следующие определения и выводы с примерами:

Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например, х=3 и х²-6х+9=0) или если оба уравнения не имеют корней (например, и ).

Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения, то второе уравнения называют следствием первого.

Например, уравнение является следствием уравнения , в то же время уравнение не является следствием уравнения

Определение 3.Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной , при которых одновременно имеют смысл выражения и .

Учитель совместно с учащимися приходит к выводу:

если при решении некоторого уравнения мы все время переходим к равносильному уравнению или осуществляем преобразования и отбор корней по ходу решения с учетом ОДЗ, то в итоге получим корни исходного уравнения, которые не нуждаются в проверке;

если же при решении уравнения мы на каком-либо шаге получаем уравнение-следствие и/или осуществляем преобразования без учета ОДЗ, то в конце решения необходимо сделать проверку полученных корней.

Уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени, называются показательными.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения

а^х = а^b, где а>0,а1, а х – неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием, а>0 и а 1 равны только тогда, когда равны их показатели.

Пример № 1.

Решите уравнение: 2^х · 5^х = 0,01,

Решение: ОДЗ: хR (2·5)^х = 10^-2,

10^х = 10^-2,

х = -2.

Ответ: - 2.

Пример № 2.

Решите уравнение: 2^х·х-3 · 5^х·х-3 = 0,01·(10^х-1)³.

Решение: хR (2·5)^х·х-3 = 10^-2 ·10^3х-3,

10^х·х-3 = 10^3х-5,

х² -3 = 3х-5,

х² – 3х + 2 = 0,

х=1 или х=2.

Ответ: 1;2.

Пример № 3.

Решите уравнение: 2^12х-1 – 4^6х-1 + 8^4х-1 – 16^3х-1 = 1280.

Решение: ОДЗ: хR 2^12х-1 – 2^12х-2 +2^12х-3 – 2^12х-4 = 1280,

2^12х-4(2³ – 2² + 2 -1) = 1280,

2^12х-4 ·5 = 1280,

2^12х-4 = 256,

2^12х-4 = 2⁸,

х = 1.

Ответ: 1.

Пример № 4.

Решите уравнение: 2·3^х-1 – 3^х-2 = 5^х-2 + 4·5^х-3.

Решение: ОДЗ: хR 3^х-2(2·3 -1) = 5^х-3 · (5+4),

5·3^х-2 = 5^х-3 · 3²,

3^х-4 = 5^х-4,

= ,

х = 4.

Ответ: 4.

Пример № 5.

Решите уравнение: 8^х– 4^х+0,5 – 2^х + 2 = 0.

Решение: ОДЗ: хR 2^3х – 2^2х+1 - 2^х +2 = 0,

2^3х – 2· 2^2х - 2^х +2 = 0,

Пусть 2^х = t,t>0.

Тогда t³ - 2t² – t + 2 = 0,

t² (t – 2) – (t – 2) =0,

(t – 2) (t² – 1) = 0,

(t – 2) (t – 1) (t + 1) = 0,

t = 2, t = 1, t = - 1.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

,

Ответ: 0; 1.

Пример № 6.

Решите уравнение: 27^х+ 12^х = 2 ·8^х.

Решение: ОДЗ: хR 3^3х+ 3^х ·2^2х = 2·2^3х,

Разделим обе части полученного уравнения на 3^3х > 0, тогда

1+= 2 · ,

Пусть =t,t>0. Тогда 2t³ – t² – 1 = 0,

2t³ – 2t² + t²– 1 = 0,

2t²(t - 1) + (t + 1) (t – 1) =0,

(t – 1) (2t² + t + 1) = 0,

t = 1.

Отсюда =1,

2х = 0,

х = 0.

Ответ: 0.

Пример № 7.

Решите уравнение: 2^х+5^х = 7^х.

Решение: ОДЗ: хR

Легко заметить, что х=1 – корень данного уравнения. Покажем, что других корней нет.

Получим + = 1.

Понятно, что функцияf(x) = + убывающая. Тогда горизонтальная прямая (в частности, у=1) может пересечь график функции f (х) не более чем в одной точке. Следовательно, исходное уравнение имеет не более одного корня.

Ответ: 1.

V ЭТАП УРОКА (10-15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая, что на её выполнение отводится (10-15 минут). Задания составлены по трём уровням сложности –

УРОВЕНЬ А – базовый уровень;

УРОВЕНЬ В – средний уровень;

УРОВЕНЬ С – высокий уровень.

Тексты поуровневых заданий выдаются вместе с бланками для их выполнения.

УРОВЕНЬ А (базовый уровень)

Вариант № 1

1. Изобразите эскиз графика функции у = 0,2^х.

2. Укажите множество значений функции у = 2^х +3.

3. Решите уравнение: 3^х+2 – 3^х = 72.

Вариант № 2

1. Изобразите эскиз графика функции у = 3^х.

2. Укажите множество значений функции у = – 2.

3. Решите уравнение: 2^х – 2^х-4 = 15.

Вариант № 3

1. Изобразите эскиз графика функции у= .

2. Укажите множество значений функции у = 0,5^х + 1.

3. Решите уравнение: 3^х-2 = .

УРОВЕНЬ В (средний уровень)

Вариант № 1

1. Изобразите эскиз графика функции у = 5^х +1.

2. Укажите наибольшее целое число из множества значений функции

у = - 2^х - 3.

3. Решите уравнение: · = .

Вариант № 2

1. Изобразите эскиз графика функции у =0,5^х - 2.

2. Укажите наименьшее натуральное число из множества значений функции

у = 3^х.

3. Решите уравнение: 2·3^х+3 – 5· 3^х-2 = 1443.

Вариант № 3

1. Изобразите эскиз графика функции у= + 3.

2. Укажите наименьшее целое число из множества значений функции

у = - + 5.

3. Решите уравнение: 3^х-1 + 3^х-2 + 3^х-3= 3159.

4. Решите уравнение: 4^х · 5^х-1 = 0,2 · 20^3-2х.

УРОВЕНЬ С (высокий уровень)

Вариант № 1

1. Изобразите эскиз графика функции у = 0,5^х-1.

2. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции

у = 1 - .

1) 0 2) 2 3) -3 4) -1.

3. Решите уравнение: – 5· +4 = 0.

Вариант № 2

1. Изобразите эскиз графика функции у = - 2^х + 3.

2. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции

у = 1 + .

1) 4 2) 3 3) 2 4) 1.

3. Решите уравнение: 4^х– 10·2^х-1 = 24.

Вариант № 3

1. Изобразите эскиз графика функции у = 4 - 3^х.

2. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции

у = – 5.

1) -9 2) -7 3) -5 4) -3.

3. Решите уравнение: 5^2х-1 + 5^х+1 = 250.

VI ЭТАП УРОКА.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

Домашнее задание. Может быть предложено на выбор учащихся несколько уравнений, среди которых каждый ученик найдёт то, которое соответствует его уровню подготовки.

Решите уравнения:

1. = 128.

2. Решите уравнение: 0,2^7х-4·15^7х-4 = 27.

3. Решите уравнение: 2^х = 3 – х.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/62889-urok-raznourovnego-obobschajuschego-povtoreni