- Курс-практикум «Педагогический драйв: от выгорания к горению»
- «Труд (технология): специфика предмета в условиях реализации ФГОС НОО»
- «ФАООП УО, ФАОП НОО и ФАОП ООО для обучающихся с ОВЗ: специфика организации образовательного процесса по ФГОС»
- «Специфика работы с детьми-мигрантами дошкольного возраста»
- «Учебный курс «Вероятность и статистика»: содержание и специфика преподавания в условиях реализации ФГОС ООО и ФГОС СОО»
- «Центр «Точка роста»: создание современного образовательного пространства в общеобразовательной организации»
Свидетельство о регистрации
СМИ: ЭЛ № ФС 77-58841
от 28.07.2014
- Бесплатное свидетельство – подтверждайте авторство без лишних затрат.
- Доверие профессионалов – нас выбирают тысячи педагогов и экспертов.
- Подходит для аттестации – дополнительные баллы и документальное подтверждение вашей работы.
в СМИ
профессиональную
деятельность
Применение производной и интеграла к решению практических задач
26
0
Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики
«Чебоксарский медицинский колледж»
Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш
РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО на заседании ЦМК ОГСЭ Протокол № ____ «____» _______________ 20 ___ г. Председатель ЦМК ____________ | утверждено Зав. филиалом БПОУ «ЧМК» МЗ Чувашии в г. Канаш ____________ |
Методическая разработка теоретического занятия
Применение производной и интеграла к решению практических задач
учебная дисциплина ОБД 07 Математика
специальность 34.02.01Сестринское дело
(базовая подготовка)
Канаш, 2026
Составитель:Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш |
Рецензент:Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш |
Аннотация
Данная методическая разработка по теме «Применение производной и интеграла к решению практических задач» является уроком изучения нового материала. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на изучение определенного интеграла.
Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ3
1. методический блок4
1.1. Учебно-методическая карта4
Формы деятельности4
1.2. Технологическая карта8
2. Информационный блок10
2.1. План лекции10
2.2 Текст лекции.11
2.3. Глоссарий20
ВВЕДЕНИЕ
Данная методическая разработка по теме «Применение производной и интеграла к решению практических задач"» является уроком изучения нового материала. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей обучающихся. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для восприятия новой темы; проведение проверочных упражнений (устная работа)
Упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнения по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль обучающихся.
Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.
1. методический блок
1.1. Учебно-методическая карта
Тема занятия | «Применение производной и интеграла к решению практических задач» | ||||||
Учебная дисциплина | БД.04 Математика | ||||||
Специальность | 34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка) | ||||||
Курс | I | ||||||
Группа | 9М-11-20, 9М-12-20, 9М-13-20,9М-14-20, 9М-15-20. | ||||||
Место проведения | Кабинет № 4 | ||||||
Продолжительность занятия | 90 мин. | ||||||
Характеристика занятия | Вид | Вид занятия Лекция текущая, обзорная. | |||||
Тип | Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок | ||||||
Форма | Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельностиФронтальная. | ||||||
Технологии обучения | Традиционная (репродуктивная) технология обучения Технология развивающего обучения | ||||||
Методы обучения | Метод Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. - практические (упражнение, тренинг, опыты, самостоятельная работа по алгоритму). Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций | ||||||
Средства обучения | 1.По характеру воздействия на обучаемых: ИКТ - презентации; 2.По степени сложности: простые: учебники, печатные пособия. | ||||||
Методическая цель | Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы; | ||||||
Цели и задачи занятия | Воспитательная | Формулировать интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся. | Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся. | ||||
Образовательная | Знать определение первообразной, формулу Ньютона-Лейбница. Уметь решать задачи с помощью алгоритмов и методов; Уметь логически и полно выстраивать ответ. Систематизировать знания нахождения первообразной, вычислять определенный интеграл. | Нахождение первообразной. Вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. | |||||
Развивающая | Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы; | Формировать навыки познавательного мышления. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи. Развивать навыки и умения, в выполнении заданий по теме, умение работать в группе и самостоятельно. Развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ. | |||||
Планируемый результат | Уметь | Знать: определение интеграла и криволинейной трапеции. Уметь решать задачи с помощью алгоритмов и методов; Уметь логически и полно выстраивать ответ. | |||||
Знать | Применение производной и интеграла к решению практических задач | ||||||
Формирование компетенций у обучающихся | Общие (ОК) | Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем; | |||||
Профессиональные (ПК) | П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств; | ||||||
Межпредметные связи | Входящие | История | Производная функции. Определенный интеграл. Криволинейная трапеция. | ||||
Литература | |||||||
Выходящие | Геометрия | Трапеция. Фигура. | |||||
Внутрипредметные | Алгебра, геометрия | ||||||
Криволинейная трапеция и интеграл. | |||||||
Оснащение занятия | Методическое | Методическая разработка занятия. | |||||
Материально-техническое | Ручка, карандаш, тетрадь, линейка. | ||||||
Информационное | Компьютер, интерактивная доска. | ||||||
Список литературы | Основная | 1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с. | |||||
Дополнительная | 1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. – 2017. – 344 с. 2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов. – М., 2018. - 384 с. | ||||||
Интернет-ресурсы | 1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа:http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.www. fcior. edu. ru 4.www. school-collection. edu. | ||||||
1.2. Технологическая карта
Структура комбинированного урока
Деятельность преподавателя | Деятельность обучающихся | Методическое обоснование | Формируемые ОК и ПК | |
1. Организационный этап -5 мин. | ||||
Проверяет готовность обучающихся к занятию. дает положительный эмоциональный настрой, организует, проверяет готовность уч-ся к уроку | Готовятся к началу занятия. | Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне. | ОК 1, ОК 4. П1. | |
2.Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин. | ||||
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях. | По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку. | Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося. | ОК1, ПК 1, ПК4 | |
3.Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин. | ||||
Озвучивает тему урока и цель, уточняет понимание обучающегося поставленных целей урока. Эмоциональный настрой и готовность преподавателя на урок. | Эмоционально настраиваются и готовятся обучающихся на урок. Ставят цели, формулируют тему урока. | Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог. | ОК 1, ОК 4. П1. | |
4.Актуализация знаний - 30 мин. | ||||
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему. Создает условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел, имели представление о пределе числовой последовательности | Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух. | Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения . Создание условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел. | ОК 1, ОК 4. П1. | |
5.Первичное усвоение новых знаний - 10 мин. | ||||
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний. | Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь. | Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел. | ОК1, ПК 1, ПК4 | |
6.Первичная проверка понимания - 10 мин. | ||||
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний; | Отвечают на заданные вопросы преподавателем. | Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет. | ОК1, ПК 1, ПК4 | |
7. Первичное закрепление - 5 мин. | ||||
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. Показывает на доске решение, опираясь на алгоритм. | записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга; | Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная. | ОК1, ПК 1, ПК4 | |
8.Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин | ||||
Отмечает степень вовлеченности обучающихся в работу на занятии. Задает вопросы по обобщению материала. | Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух; | Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий | ОК 1, ОК 4. П1. | |
9.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению 5 мин | ||||
Обсуждение способов решения домашнего задания. Записывает номера заданий на доске. | Обобщают полученные знания, делают вывод о выполнении задач урока. | Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению | ОК 1, ОК 4. П1. | |
10.Рефлексия (подведение итогов занятия) , 5 мин | ||||
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии. |
| Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей. | ОК1, ПК 1, ПК4 | |
2. Информационный блок
2.1. План лекции
№ п/п | Изучаемые вопросы | Уровень усвоения |
1. | Устная работа. Повторение. Проверка домашнего задания. | 1 |
2. | Объяснение темы «Применение производной и интеграла к решению практических задач» Определение производной. Правила дифференцирования. Определенный интеграл и криволинейная трапеция. | |
2 | ||
2 | ||
3. | Закрепление нового материала. | |
Задача 1-3
Задача 4-7 | 3 | |
4 | Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№1025-1028) | 3 |
5. | Домашнее задание № 1025- 1028 (четные). | 3 |
2.2 Текст лекции.
Применение производной и интеграла к решению практических задач.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
задачи, решаемые с применением производной
задачи, решаемые с применением первообразной и интеграла
Глоссарий по теме
Производной функции в данной точке называется предел разностного отношения:
Уравнение касательной к графику данной функции в данной точке y=f(x)+f '(x0)(x-x0)
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (a; b), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функция у=f(x) убывает на промежутке (a; b), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции. Слова «функция монотонна на данном промежутке» означают, что функция на этом промежутке возрастает или убывает.
Точка х1 называется точкой максимума функции f, если для всех х из окрестности точки х1 выполняется неравенство f(x)<f(x1).</f(x
Точка х2 называется точкой минимума функции f, если для всех х из окрестности точки х2 выполняется неравенство f(x)>f(x2).
Для точек максимума и минимума принято общее название – точки экстремума.
Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами. Их общее название – экстремум функции.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).
Дифференциальные уравнения связывают функцию и ее производные различных порядков. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной выступает не число, а функция.
Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.
Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b], отрезком [a; b] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.
Разность значений первообразной F для функции f точках b и a называется определенным интегралом этой функции от a до b.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Определение производной
Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:
Напомним правила вычисления производных:
Приведем пример:
Найти производную функции:
Решение:
Ответ: 
.
2. Решение задач с помощью производной.
Напомним, что геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной. Те есть значение производной в данной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в заданной точке: f'(x0)=kкас.(x0)
Задача 1.
Найдем угол, под которым график функции 
пересекает ось абсцисс.
Найдем производную данной функции: 
.
Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: 
.
То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.
Угол пересечения графика функции оси абсцисс - это угол, под которым касательная, проведенная к графику данной функции в точке с соответствующей абсциссой, пересекает ось абсцисс.
Угловой коэффициент касательной - это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому нужно найти значение производной данной функции в точках пересечения ее графика с осью абсцисс.
Найдем углы:
, 
, угол тупой, функция убывает
, 
, угол острый, функция возрастает
, угол острый, функция возрастает
Вспомним механический смысл производной.
Производная - это скорость материальной точки, положение которой изменяется по заданному закону.
Задача 2.
Движение материальной точки описывается данным уравнением:
x(t) = 4+5t – 6t2 + 2t3.
Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.
a(t)=-12+12·3=24.
Ответ: v=23; a=24.
Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.
Задача 3.
Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.
Решение:
Рисунок 1 - Иллюстрация к задаче 3
Исследуем функцию 
При 
Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной 
.
3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).
Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу
Пример.
Покажем, что функция 
является первообразной для функции 
.
Найдем производную: 
.
Преобразуем полученную функцию:
.
Получили функцию f(x).
4. Решение задач
Задача 4.
Найдите первообразную для функции 
, удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.
Решение:
Для функции 
первообразными является функции вида
По условию: F(1)=6
С=5,4
Ответ: 
Задача 5.
Точка движется прямолинейно с ускорением
Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с2)
Так как 
, то v(t) - первообразная для функции a(t).
Так как 
, то s(t) - первообразная для функции v(t).
, 
, 
Ответ: 
Задача 6.
Вычислите объем тела, ограниченного плоскостями x=0, x=0,5 , площадь сечения которого плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей от нее на расстоянии х, меняется по закону: 
Решение:
.
(куб.ед)
Рисунок 2 - Иллюстрация к задаче 6.
Задача 7.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.
.
Решение:
Ответ: 7,5 кв.ед.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Найдите аргумент, при котором функция 
достигает наибольшего значения на отрезке [-3; -1].
Решение:
Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: 
.
Теперь найдем производную:
.
Полученная производная изменяет свой знак в точках 2 и -2, в точке 0 функция и производная не определены.
Так как задан отрезок [-3; -1], то рассмотрим поведение производной вокруг точки -2.
Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.
Ответ: -2
2. Вычислите массу участка стержня от x_1
до 
, если его линейная плотность задается формулой 
.
Решение:
Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: 
.
Для того чтобы найти массу участка стержня от 
до x_2
, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:
.
Ответ: 
.
3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с2)
Решение.
Скорость в момент времени t равна 9,8t.
Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом:
м
Решаем номера из учебника №1025-1028(не четные)
Домашнее задание № 1025-1028(четные).
2.3. Глоссарий
Термин | Значение |
Определенный интеграл | -это тип интеграла, который вычисляется на определённом интервале и результатом которого является конкретное число. |
Интегрирование | - Процесс нахождения первообразной. |
Неопределённый интеграл | — это интеграл, который не имеет конкретных границ и представляет собой общее семейство функций. |
Контролирующий блок
1.При каких значениях аргумента скорость изменения функции f(x) равна скорости изменения функции g(x), если f(x)=x4/4,g(x)=−5/3x3−3x2
2.Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x2−2x на отрезке [1; 3]
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/633968-primenenie-proizvodnoj-i-integrala-k-reshenij
БЕСПЛАТНО!
Для скачивания материалов с сайта необходимо авторизоваться на сайте (войти под своим логином и паролем)
Если Вы не регистрировались ранее, Вы можете зарегистрироваться.
После авторизации/регистрации на сайте Вы сможете скачивать необходимый в работе материал.
- «Содержание работы педагога по профилактике буллинга и разрешению конфликтов в образовательной среде»
- «Создание единого образовательного пространства: федеральная образовательная программа начального общего образования (ФОП НОО)»
- «Охрана здоровья обучающихся: содержание и особенности организации»
- «Педагогические технологии и методы на занятиях по хореографии»
- «Менеджмент и маркетинг: особенности управления образовательной организацией»
- «Особенности подготовки обучающихся к итоговому сочинению (изложению)»
- Логопедия. Коррекционно-педагогическая работа по преодолению речевых нарушений у обучающихся младшего школьного возраста
- Педагог-библиотекарь в образовательной организации
- Социальная педагогика: воспитание и социализация детей в образовательной организации
- Учитель-наставник. Организационно-методическое сопровождение профессиональной деятельности педагогов
- Педагог-воспитатель группы продленного дня. Организация учебно-воспитательной деятельности обучающихся
- Образовательные технологии и методики обучения основам безопасности жизнедеятельности
Чтобы оставлять комментарии, вам необходимо авторизоваться на сайте. Если у вас еще нет учетной записи на нашем сайте, предлагаем зарегистрироваться. Это займет не более 5 минут.