Учебно-методическая разработка Методические рекомендации к проведению занятий по подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА №5 ГОРОДСКОГО ОКРУГА ДЕБАЛЬЦЕВО»

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Методические рекомендации к проведению занятий по подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

(Учебно-методические материалы по дисциплине «математика»)

Направленность (профиль) математика

Форма обучения: очная, экстернат

(очная/заочная)

Составитель;Шкурко Лариса Александровна

учитель математики и информатики

высшей квалификационной категории

руководитель объединения; «УМК

математики и информатики г.Донецк»

(название объединения, или иное)

Дебальцево

2026

Введение

Описание: пособие предназначено для подготовки к Единому государственному экзамену по математике на профильном уровне, для организации и проведения итогового повторения, диагностики и коррекции проблемных зон в знаниях старшеклассников.

Особенности:

• написано в соответствии с утверждённой демоверсией и спецификацией ЕГЭ по математике 2025 года ( Приложение 1).

• позволяет проверить навыки решения задач, качество усвоения материала, выстроить индивидуальные траектории повторения и эффективно подготовиться к сдаче ЕГЭ ;

• содержит подробный разбор задач экзамена, подготовительные и зачётные задачи к каждому заданию 1-19 ЕГЭ, тренировочные варианты в формате ЕГЭ

( Приложение 2).

Кому адресовано: учащимся старших классов, их родителям, учителям и методистам.

1) Общие сведения

Цель пособия: систематизировать теорию, методы решения и план подготовки к ЕГЭ по математике профильный уровень; формировать умения самостоятельной работы, решения комплексных задач и навыков самоконтроля.

Целевая аудитория: учащиеся 11 класса, учителя математики, репетиторы.

Основные источники: требования ФИПИ, типовые задания ЕГЭ по математике профильный уровень, сборники прошлых лет ЕГЭ, онлайн-курсы и разборы.

В пособии объясняется родителям специфику проведения экзамена по математике, а также возможности их детей.

Настоящий план методического пособия по подготовке к ЕГЭ по математике включает следующие разделы:

• Арифметика и алгебра. В этом блоке рассматриваются, например, текстовые задачи, задачи на проценты, смеси, сплавы, растворы, движение, задачи с физическим содержанием и другие. Цель — повторить основные темы алгебры: арифметические действия, порядок действий, десятичные и обыкновенные дроби и действия с ними, решение квадратных и дробно-рациональных уравнений.

• Геометрия и стереометрия. В этом разделе рассказывается о планиметрии, тригонометрии, внешнем угле треугольника, определениях медианы, биссектрисы, высоты, простых геометрических построениях, векторах на плоскости и стереометрии. Для наглядности можно использовать объёмные модели многогранников и тел вращения.

• Этапы решения задач ЕГЭ. В пособии описывается, как решать задания части ЕГЭ с кратким ответом: внимательно читать условие, выделять в тексте ключевые моменты, выполнять вычисления, фиксировать ответ, проверять его правильность, читать ещё раз вопрос в задании и записывать ответ.

• Практические задачи. В пособии рассказывается о простых практических задачах, которые следует включать в блоки повторения в начале и конце учебного года, в текущий внутришкольный контроль. Например, о задачах на вычисление сумм налогов, процентов по вкладу или кредиту, других задачах финансового характера.

2) Разделы и структура содержания плана подготовки к ЕГЭ по математике.

Очень часто перед учителями математики, методистами стоит задача составить годовой план подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ в соответствии с требованиями, который затем размещается в группах, на сайтах образовательных организаций, в папках учреждений, специально заведенных администрацией для подготовки выпускников к экзаменам. Ниже приведён готовый шаблон методического плана для подготовки к ЕГЭ по математике, профильный уровень, 11 класс. Это универсальная структура, которую можно адаптировать под ваш учебный план, региональные требования и текущий уровень учащихся.

Раздел 1. Теоретический раздел методического пособия.

Подготовка к экзамену: принципы, планирование, диагностика

• Правила прохода ЕГЭ(профиль): структура теста, формат ответов, критерии оценки.

• Стратегии выполнения заданий: сначала простые, затем сложные, работа над черновиком, проверка ответов.

• Диагностика ошибок: ведение карты ошибок, анализ причин (недостаток теории, ошибки вычислений, логика доказательств).

Раздел 2. Тематические блоки (обобщённая структура)

Блок А: Алгебра и основы анализа

• • Полиномы и рациональные выражения; квадратные/последовательные уравнения; неравенства; системы уравнений и неравенств.

  • Функции: понятие, график, свойства, преобразования, составные функции.

  • Пределы и переход к производной/интегралу (минимальный элементарный курс анализа, полезные при профильном уровне).

• БлокB: Функции и их графики

  • Монотонность, экстремумы, экстремальные задачи (оптимизация).

  • Производные и их применение (модель, скорость изменения, линейная аппроксимация).

• БлокC: Геометрия и аналитическая геометрия

  • Планиметрия: треугольники, многоугольники, площади, аналогии и свойства параллельных и перпендикулярных прямых.

  • Аналитическая геометрия: графики прямых и окружностей, расстояния между точками, углы между прямыми, векторы на плоскости.

  • Геометрические конструкторы и доказательства геометрических фактов.

• Блок D: Тригонометрия

  • Тождества, преобразования, уравнения, графики тригонометрических функций.

• Блок E: Вероятность и статистика

  • Базовые вероятности, условная вероятность, распределения, статистические выводы на основе данных.

• БлокF: Комбинаторика (при необходимости; в некоторых версиях включается в задачи ЕГЭ)

• БлокG: Интегралы и дифференциальное исчисление (на уровне, требуемом профильным уровнем)

  • Применение производной к оптимизации и анализу функций, простейшие интегралы и их применение.

Раздел 3. Методы решения и алгоритмы

• Подходы к разбору задач: создание плана решения, выделение данных и цели, построение краткой схемы решения.

• Типовые способы доказательств и обоснований.

• Нормы оформления решений (для развернутых ответов): чёткая логика, шаги, проверки.

Раздел 4. Контроль и диагностика

• Модели контрольных работ, рубрики оценивания (на уровне учителя).

• Карта ошибок: разделение по темам, частые типы ошибок, способы устранения.

Раздел 5. Практика и материалы

• Подбор учебно-методических материалов: сборники ФИПИ, прошлые варианты ЕГЭ, онлайн-ресурсы.

• Примеры заданий по каждому блоку (см. раздел 6).

• Раздел 6. Примеры заданий и разборов (практикум)

• Набор задач различной сложности по каждому блоку.

• Подробные решения с пояснениями и выделением ключевых подходов.

Раздел 7. Приложения

• Шпаргалки по формулам (сжатый справочник).

• Графические схемы: типовые графики функций, геометрические иллюстрации.

• Контрольные листы для подготовки к экзаменационной тренировке.

3) Годовой план подготовки (примерная структура)

• Цель: к середине года — увеличить долю верных решений, к концу года — уверенная работа с типовыми заданиями ЕГЭ.

• Распределение по блокам (пример):

• Модуль 1 (4–6 недель): Алгебра и основы анализа. Цели: освежить полиномы, уравнения и неравенства, познакомить с функциями и границами.

• Модуль 2 (4–6 недель): Функции и графики; производные и их применение (оптимизация, скорость изменения).

• Модуль 3 (5–7 недель): Геометрия и аналитическая геометрия; векторы на плоскости.

• Модуль 4 (4–6 недель): Тригонометрия и её применение; уравнения и неравенства.

• Модуль 5 (4–6 недель): Вероятность, статистика и приложение к задачам ЕГЭ.

• Модуль 6 (6–8 недель): Интеграл и более сложные задачи на анализ; решение комплексных заданий ЕГЭ прошлого года.

• Рубежные недели: контрольные работы по всем блокам, разбор ошибок, работа над слабостями.

• Формат занятий: 1–2 занятия в неделю по 90 мин; 1 занятие — разбор ошибок и работа с прошлогодними задачами; самостоятельная работа между занятиями.

4) Рекомендованные методики и подходы

• Проблемно-обучение и модульная система: каждая неделя/модуль начинается с постановки проблемы, затем идёт теоретическое объяснение и практика.

• Постоянная практика с разбором решений и объяснением ошибок.

• Работа в парах: обмен решениями и коллективный разбор.

• Работа над скоростью и аккуратностью: использование тайм-менеджмента на тренировочных заданиях.

• Ведение индивидуальной карты ошибок: фиксировать тему, тип задачи, источник ошибки, план исправления.

• Регулярная тренировочная экзаменационная практика (имитация ЕГЭ): тайминг, формат письма, проверка и самоконтроль.

5) Контроль качества и оценивание

• Регулярные контрольные работы по темам.

• Разбор и коррекция решений, фиксация ошибок.

• Итоговый контроль в конце каждого модуля с моделированием ЕГЭ (тайминг, формат ответов, требования ФИПИ).

6) Работа с родителями.

Основные направления работы с родителями:

1. Объяснение целей и сути ЕГЭ

• Расскажите родителям о структуре экзамена, его пунктах и требованиях.

• Объясните, зачем нужна подготовка, и как она помогает уменьшить стресс и повысить результаты.

2. Вовлечение в подготовительный процесс

• Предложите родителям поддерживать регулярное расписание занятий.

• Посоветуйте вместе обсуждать сложные темы или задачи, чтобы мотивация росла.

3. Советы по созданию благоприятной обстановки

• Обеспечьте комфортные условия для занятий дома.

• Помогите организовать место для занятий без отвлекающих факторов.

4. Контроль прогресса и обратная связь

• Регулярно информируйте родителей о достигнутых успехах и выявленных трудностях.

• Поощряйте их участие в повторении ошибок и обсуждении решений.

5. Мотивация и эмоциональная поддержка

• Порекомендуйте родителям быть внимательными к психологическому состоянию ребенка.

• Напоминайте о важности отдыха, правильного питания и режима сна.

6. Совместное решение проблем

• Организуйте родительские собрания, где можно обсудить сложности и найти пути их решения.

• Обеспечьте поддержку и советами по подготовке к ответственным моментам.

Полезные материалы для родителей:

• Бланки с рекомендациями для самостоятельной работы.

• Контрольные задания и тесты для совместного выполнения.

• Советы по снижению стресса перед экзаменом.

Важно помнить:

• Не обвиняйте ребенка или родителей в неуспехе.

• Ведите диалог спокойно и позитивно.

• Пусть родители чувствуют свою поддержку и участие в процессе.

7) Формы контроля и памятки

• Шпаргалка по формулам (сжатый справочник для печати):

• Пределы и производные: пределы элементарных функций, базовые правила дифференцирования.

• Геометрия: площади треугольников, площадь круга, объём и площади поверхности фигур.

• Тригонометрия: основные тождества и преобразования.

• Вероятность: формула полной вероятности, условная вероятность.

• Карта ошибок: разделение ошибок по темам и типам задач; план их устранения (перешагивание на более сложные примеры, повтор теории).

8) Рекомендованные ресурсы

При составлении плана подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня можно использовать сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ, МИОО и другими организациями, например:

Раздел арифметика и алгебра

Авторы сборника: Г. И. Вольфсон, М. Я. Пратусевич, С. Е. Рукшин, К. М. Столбов.

Издание предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики и родителей.

Цель книги — не столько подготовить к решению конкретной задачи, сколько помочь учителю систематически заниматься интеллектуальным развитием учащихся на материале содержания задачи. Авторы сборника постарались дать обзор тем, которым традиционно в школе уделяется меньше внимания, и показать некоторые специфические методы решения задач. В сборник включены и более трудные задачи, примыкающие к так называемой «олимпиадной тематике». Эти задачи отмечены звёздочкой.

Материалы книги могут служить подспорьем в проведении элективных курсов, кружков и факультативов.

Для подготовки к ЕГЭ по математике можно использовать пособия, в которых есть примеры заданий и их решения, например, книгу Екатерины Сойниковой «Пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня в 2024 году».

Для подготовки к ЕГЭ по математике можно использовать, например, следующие ресурсы: Официальный сайт ФИПИ. На нём есть демоверсия, спецификация и список тем экзамена. Онлайн-тренажёр «РешуЕГЭ». Задания разделены по темам и сложности, есть таймер и автопроверка. Сборники задач, например, от Ященко, Лысенко, Полякова.

Сайт Трушина Б. В.. На нём есть материалы для подготовки к профильному уровню ЕГЭ по математике, в том числе задания по теории чисел, арифметике и алгебре.

Некоторые ресурсы, где можно найти информацию и примеры решения таких заданий:

infourok.ru. На сайте представлена презентация с задачами типа В6 (теория вероятностей) для подготовки к ЕГЭ по математике:

• kartaslov.ru. На ресурсе есть пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня, в котором есть раздел с заданием 6 и примерами его выполнения.

• 3.shkolkovo.online. На сайте представлен каталог заданий по ЕГЭ, в том числе задачи №6 из ЕГЭ прошлых лет.

Для подготовки к экзамену можно также воспользоваться видеоуроками, где разбираются задания по разным темам, в том числе по линейным и квадратным уравнениям, которые встречаются в задании 6 ЕГЭ по математике.

Раздел геометрия и стереометрия

Для изучения геометрии можно воспользоваться, например, сайтом dzen.ru, где представлена статья с заданиями геометрии из первой части ЕГЭ по математике профильного уровня, включая планиметрические задачи, задания на векторы и стереометрические задачи.

Для подготовки к стереометрии можно использовать, в частности, следующие ресурсы:

repetitor.1c.ru. На сайте представлены материалы для подготовки, в том числе видеолекции с теорией, тренажеры с пошаговым решением задач, тесты для самопроверки, интерактивные модели.

3.shkolkovo.online. На сайте есть база тренировочных задач по стереометрии (геометрии в пространстве) с подробным алгоритмом решения и правильным ответом.

ege-study.ru. Ресурс предлагает материалы для подготовки, в том числе классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

examer.ru. На сайте есть теория по теме «Стереометрия» для подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Несколько ресурсов, где можно найти задания из разделов «Геометрия» и «Стереометрия» для подготовки к ЕГЭ по математике:

ege-hub.ru. На сайте представлены задания по стереометрии с ответами и решениями.

ctege.info. На ресурсе есть сборник практических заданий по профильной математике, в том числе по стереометрии, с ответами и решениями.

math-ege.sdamgia.ru. На сайте можно найти задания по стереометрии и их решения.

yandex.ru. На ресурсе есть варианты заданий по стереометрии с ответами и разбором решения.

3.shkolkovo.online. На сайте есть задачи по стереометрии (геометрии в пространстве) с подробным алгоритмом решения и правильным ответом.

А также:

• Официальные материалы ФИПИ (типовые задания, критерии оценки).

• Сборники ЕГЭ по математике профильного уровня (прошлые варианты).

• Онлайн-платформы и разборы задач (подбор по профилю): видеоразборы, тесты, тренинговые версии ЕГЭ.

• Преподавательские методички и методические рекомендации по подготовке к ЕГЭ.

9) Рекомендации по адаптации

• Учитывайте локальный учебный план и требования конкретного региона.

• Адаптируйте темп и глубину материалов под уровень класса: для слабых учащихся увеличьте время на разбор тем, для сильных — добавьте дополнительные задачи повышенной сложности.

• Введите регулярные мини-тестирования и анализ ошибок для устойчивого роста.

В папкеПриложение 1 к данному методическому пособию можно ознакомиться с демонстрационным вариантом заданий 1-19 ЕГЭ профильного уровня за 2025 г. И демонстрационным вариантом заданий 1-19 ЕГЭ профильного уровня за текущий 2026 г.

Рекомендации, советы, алгоритмы решения заданий

Раздел 1. Этапы решения задач ЕГЭ.

Этапы решения задач:

1. Осмысление условия задачи (1-й этап). Нужно перевести все словесные данные на математический язык, записать подробно условие. При выборе неизвестных необходимо, чтобы их было как можно меньше.

2. Составление плана решения задачи (2-й этап). Правильно составленный план почти гарантирует правильное решение. При составлении плана следует задать вопрос: «Все ли данные задачи использованы?». Выявление неучтённых данных облегчает составление плана.

3. Осуществление плана решения задачи (3-й этап). План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана нужно рассмотреть все детали, которые вписываются в этот контур. Полезно проверять каждый шаг и убеждаться, что он совершён правильно.

4. Изучение найденного решения задачи (4-й этап). Заключительный этап, на котором нужно осмыслить выполненное решение, сформулировать и решить (если это возможно) другие задачи, связанные с решённой, и извлечь из всей проделанной работы выводы о том, как находятся и выполняются решения.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют чётких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выделяет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя.

Чтобы решать задания части с кратким ответом на ЕГЭ по математике, рекомендуется начинать подготовку с заданий базового уровня сложности. Это основа, на которую потом накладывается более сложная теория.

Несколько советов, которые могут быть полезны при решении заданий:

• Внимательно читать условие. В нём уже может содержаться ответ.

• Не тратить слишком много времени на задания, которые не получаются. Если в течение 5–10 минут ничего не получилось, стоит отложить задание на потом.

• Начинать с самой простой задачи, постепенно продвигаясь к самой сложной. На экзамене важно количество решённых заданий, а не их сложность.

• При подготовке полезно выяснить, сколько времени уходит на решение каждой задачи.Это позволит выстроить наиболее эффективную стратегию.

• Ответ в заданиях с кратким ответом должен быть целым числом или конечной десятичной дробью. В каждую клеточку бланка нужно вписать один символ, то есть цифру, знак «минус» или десятичную запятую.

Тема «Числа и вычисления» включает проценты, десятичные и обыкновенные дроби, арифметические действия, делимость. Задания по этой теме — в заданиях 1–3 экзамена.

Тема «Алгебра» включает уравнения и неравенства, свойства выражений, преобразования. Задания по этой теме — в заданиях 4–6 экзамена.

Задания 4, 5 и 6 ЕГЭ по математике проверяют разные темы: преобразования выражений, вычисления вероятностей и решение уравнений. Ниже приведены рекомендации по решению каждого задания.

Задание 4

Проверяет умение вычислять и преобразовывать выражения. Нужно уметь:

подставлять данные значения в выражения;

решать уравнения с одной неизвестной.

Алгоритм решения:

1. Выписать формулу из условия.

2. Определить, что нужно найти: единственную букву, значение которой не дано.

3. Выразить искомую величину.

4. Подставить значения из условия в формулу.

5. Найти неизвестное.

Совет: при работе с большими числами рекомендуется сначала выразить искомую величину, а уже после подставлять известные значения из условия.

Задание 5 ЕГЭ по математике базового уровня связано с вычислением вероятностей событий.

Чтобы решить такое задание, нужно знать:

• Классическое определение вероятности. Это отношение числа благоприятных для события исходов к числу всех равновозможных исходов. Формула: P(A) = m/n, где n — общее число равновозможных исходов,m — число исходов, благоприятствующих событию A.

• Понятие противоположных событий. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий, и P(A) + P(A) = 1.

• Определение несовместных событий. Два события A и B называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию A, так и событию B.

• Пересечение независимых событий. Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событийA и B:P(A*B) = P(A)•P(B).

Алгоритм решения:

1. определить из условия задачи необходимые величины

2. подставить значения и вычислить вероятность.

Задание 6 ЕГЭ по математике базового уровня, которое называется «Выбор оптимального варианта». Чтобы его решить, нужно уметь собирать комплект и выбирать наилучший вариант из двух, трёх или четырёх возможных.

Более детально с решением этих и остальных заданий ЕГЭ профильного уровня можно ознакомиться в папке Приложение2 к данному методическому пособию, в которой представлены решения всех 19 заданий ЕГЭ повариантно с объяснением в видеоформате.

Примеры заданий по разделам (для типизации подходов)

Пример 1. Алгебра и функции

Задача: Найти предел функции f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) при x -> 1.

Что делать: привести к факторизации, сократить и подставить.

Что проверить: корректность при x ≠ 1.

Пример 2. Функции и графики

Задача: Найти стационарные точки функции f(x) = x^3 - 3x + 2 и определить их характер.

Что делать: взять производную, найти корни, проверить вторую производную или исследовать по знаку производной. Пример 3. Геометрия/аналитическая геометрия

Задача: Найти расстояние между двумя точкамиA(1,2) и B(4,6).

Что делать: использовать формулу расстояния, проверить векторное представление. Пример 4. Тригонометрия

Задача: Решить уравнение sin(x) = 1/2 на интервале [0, 2π].

Что делать: подумать об основных значениях синуса и учесть период. Пример 5. Вероятность

Задача: В броске двух кубиков найти вероятность суммы равной 7.

Что делать: перечислить возможные пары (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) и разделить на общее число пар (36).

Раздел 2. Практическая часть методического пособия.

Практические задачи

В этом разделе представлены типовые задачи с решениями (для типизации подходов), которые можно давать на уроках алгебры и геометрии, а также разбирать на часах внеурочной деятельности и факультативах по математике при подготовке к ЕГЭ.

Несколько примеров типовых практических задач по математике для подготовки к ЕГЭ:

Задача 1. Детская площадка имеет форму прямоугольника со сторонами 15 м и 20 м. Одна из меньших сторон площадки идёт вдоль пешеходной дорожки, а остальные необходимо огородить забором. Нужно найти длину этого забора.

Задача 2. Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла. Первая комната имеет размеры 4 м ? 4,5 м, вторая — 4 м ? 4 м, санузел имеет размеры 1,5 м ? 1,5 м, длина коридора — 10,5 м. Нужно найти площадь кухни (в квадратных метрах).

Задача 3. Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 104 см, а ширина экрана — 96 см. Нужно найти высоту экрана (в сантиметрах).

Задача 4. Столб подпирает детскую горку посередине. Нужно найти высоту этого столба, если высота горки равна 2,5 м (в метрах).

Задача 5. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м кв. Нужно найти площадь участка, выделенного на плане (в квадратных метрах).

Задача 6. Колесо имеет 24 спицы. Углы между соседними спицами равны. Нужно найти величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Задача 7. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 6 м. Нужно найти, на сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м.

Задача 8. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Нужно найти, сколько потребуется таких дощечек.

Задача 9. От столба высотой 13 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 5 м от земли. Расстояние от дома до столба — 15 м. Нужно вычислить длину провода.

Задача 10. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами. Высота малой опоры — 2,2 м, высота большей опоры — 2,7 м. Нужно найти высоту средней опоры (в метрах).

В блоки повторения в начале и конце учебного года при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуется включать практико-ориентированные задачи, которые предполагают применение математических знаний в быту, в реальных жизненных ситуациях.

Некоторые из таких задач:

• На проценты.

• На оптимальный выбор из предложенных вариантов.

• Чтение данных, представленных в виде диаграмм, графиков или таблиц.

• Вычисление площадей или других геометрических величин по рисунку.

• Задачи на вычисление по формулам.

• Задачи финансового характера, например, на вычисление сумм налогов, процентов по банковскому вкладу или кредиту.

Характер и трудность задач могут меняться со временем. Важно, чтобы практические темы органично сочетались с теоретическими вопросами.

Для организации повторения рекомендуется использовать практикумы, включающие наборы задач по разным темам, допускающие самопроверку.

Далее представлены типовые задачи, которые можно разбирать на уроках алгебры и геометрии, вероятности и статистики в 10-11 классах, факультативах, занятиях по внеурочной деятельности, давать в качестве заданий на самостоятельных и контрольных работах для лучшего усвоения материала, закрепления тем, контроля знаний учащихся.

Задача 1 (Алгебра и основы анализа)

Найти сумму корней уравнения:
x²−5x+6=0

Решение:
Это квадратное уравнение. Корни находят по формуле:
x1,2​=2⋅15±(−5)2−4⋅1⋅6​​

или проще, используя теорему Виета, сумма корней равна α+β=a−b​.

a=1, b=−5, c=6

Сумма корней: α+β=1−(−5)​=5

Ответ: Сумма корней равна 5.

Задача 2 (Функции и графики)

Задача: Дана функция f(x)=2x−4. Построить график функции и определить значение функции при x=3.

Решение:

График функции f(x)=2x−4 — это прямая, проходящая через точки:
при x=0, f(0)=−4;
при x=2, f(2)=0.

При x=3:
f(3)=2⋅3−4=6−4=2

Ответ: График — это прямая, проходящая через точки (0, -4) и (2, 0). Значение функции при x=3: 2.

Задача 3 (Геометрия и аналитическая геометрия)

Задача: В треугольнике ABC угол A=60∘, стороны AB=8, AC=10. Найти сторону BC.

Решение:
Используем закон косинусов:
BC²=AB²+AC²−2⋅AB⋅ACcosA

Подставляем:
BC²=8²+10²−2⋅8⋅10⋅cos60∘

BC2=64+100−2⋅8⋅10⋅21​

BC2=164−8⋅10=164−80=84

BC=84​=221​

Ответ: Сторона BC=221​.

Задача 4 (Тригонометрия)

Задача: Решить уравнение: sinx=23​​ в диапазоне 0^∘≤x≤360^∘.

Решение:
sinx=23​​ при:x=60^∘илиx=180^∘−60^∘=120^∘

Ответ:x=60^∘,120^∘.

Задача 5 (Вероятность и статистика)

Задача: В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наугад вытянут один шар. Найти вероятность того, что вытянутый шар — белый.

Решение:
Общее количество шаров: 4+6=10.
Вероятность:P(белый)=104​=52​

Ответ: 52​.

Примеры решения заданий базового уровня 1-12 одного из вариантов ЕГЭ

1) Алгебра. Упростить выражение

Задача: Упростить выражение (x^2 − 9)/(x − 3), если x ≠ 3.

Решение:

Разложим числитель : x^2 − 9 = (x − 3)(x + 3).

Тогда (x^2 − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3, при условии x ≠ 3.

Ответ:x + 3 (для x ≠ 3).

2) Алгебра. Система уравнений

Задача: Найти пары (x,y), удовлетворяющие системе: x + y = 5; x^2 + y^2 = 13.

Решение:

Выразимx = 5 − y и подставим в второе: (5 − y)^2 + y^2 = 13.

25 − 10y + y^2 + y^2 = 13 → 2y^2 − 10y + 12 = 0 → y^2 − 5y + 6 = 0.

Решение квадр. уравнения: (y − 2)(y − 3) = 0 → y = 2 или y = 3.

Соответственноx = 5 − y: при y = 2 → x = 3; при y = 3 → x = 2.

Ответы: (x,y) = (3, 2) и (2, 3).

3) Неравенство

Задача: Решить неравенство |2x − 5| ≤ 3.

Решение: −3 ≤ 2x − 5 ≤ 3

Добавим 5: 2 ≤ 2x ≤ 8

Разделим на 2: 1 ≤ x ≤ 4.

Ответ:x∈ [1, 4].

4) Производная и критические точки

Задача: Пусть f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x. Найти критические точки и характер.

Решение:

Производная:f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).

Критические точки: x = 1 и x = 3.

Можно проверить характер: на участках знакиf'(x) показывают изменение монотонности (например, взять вторую производную или тесты знаков). Но достаточно указать точки и порядок смены монотонности.

Ответ: критические точки x = 1 и x = 3.

5) Пределы и предел на бесконечности

Задача: Найти предел при бесконечности: lim_{x→∞} (5x^3 + 2x)/(x^3 − 1).

Решение:

Делим числитель и знаменатель на x^3:lim_{x→∞} (5 + 2/x^2)/(1 − 1/x^3) = 5/1 = 5.

Ответ: 5.

6) Геометрия: расстояние между точками

Задача: Найти расстояние между A(1, 2) и B(4, 6).

Решение:

Δx = 4 − 1 = 3, Δy = 6 − 2 = 4.

Расстояниеd = sqrt(Δx^2 + Δy^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Ответ: 5.

7) Геометрия аналитическая: уравнение прямой

Задача: Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 2) и B(3, 0).

Решение:

Наклонm = (0 − 2)/(3 − 1) = −2/2 = −1.

Уравнение через точку A:y − 2 = −1(x − 1) → y = −x + 3.

Ответ:y = −x + 3 (или x + y − 3 = 0).

8) Геометрия: площадь трапеции/треугольника по координатам

Задача: Найти площадь треугольника с вершинамиA(0, 0), B(4, 0), C(0, 3).

Решение:

Это прямоугольный треугольник с основания 4 и высотой 3. Площадь S = (1/2)·4·3 = 6. Ответ: 6.

9) Тригонометрия

Задача: Найти решения sinx = 1/2 на интервале [0, 2π].

Решение:

Основные значения: x = π/6 и x = 5π/6 в пределах [0, 2π].

Ответ:x = π/6, 5π/6.

10) Тригонометрия (уравнения)

Задача: Решить уравнение tanx = 1 на интервале [0, π].

Решение:

Основное решение: x = π/4. Период тангенса π, следующее решение x = π/4 + π не попадает в [0, π].

Ответ:x = π/4.

11) Вероятность

Задача: В броске двух честных игральных костей найти вероятность суммы равной 7. Решение:

Всего исходов: 6×6 = 36.

Возможные пары на сумму 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – всего 6 благоприятных.

Вероятность: 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667.

Ответ: 1/6.

12) Интеграл (пределы/числовые интегралы)

Задача: Найти определённый интеграл ∫_0^1 2xdx.

Решение:

∫ 2xdx = x^2, поэтому ∫_0^1 2xdx = [x^2]_0^1 = 1 − 0 = 1.

Ответ: 1.

В папкеПриложение 2 к данному методическому пособию можно ознакомиться подробно с решениями всех заданий 1-19 ЕГЭ профильного уровня за 2025 -2026 г.и предыдущих лет в текстовом формате, а также в видеоформате по ссылке к каждому заданию.

Желаем успехов в подготовке и сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня в 2026г!

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/634663-uchebno-metodicheskaja-razrabotka-metodichesk